初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)錯(cuò)誤原因及對(duì)策的探究

費(fèi)曉波

[摘? 要] 俗話說(shuō)：“錯(cuò)誤是真理的向?qū)?，是成功的階梯. ”學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤是難免的現(xiàn)象，如何找到錯(cuò)誤的原因，采取怎樣的應(yīng)對(duì)措施是值得每個(gè)教育者思考的問(wèn)題. 文章就初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中常見(jiàn)的錯(cuò)誤原因及應(yīng)對(duì)措施，怎樣科學(xué)糾正錯(cuò)誤，如何將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為促進(jìn)學(xué)生進(jìn)步與發(fā)展的資源展開(kāi)分析.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué);錯(cuò)誤;對(duì)策

初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中受原有知識(shí)結(jié)構(gòu)和生活經(jīng)驗(yàn)的影響，很容易出現(xiàn)思維定式或理解上的偏差，出現(xiàn)各式各樣的錯(cuò)誤. 教師若能針對(duì)錯(cuò)誤采取一定的措施，科學(xué)地預(yù)防錯(cuò)誤發(fā)生，及時(shí)糾正錯(cuò)誤，化錯(cuò)誤為促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)的資源，就能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而產(chǎn)生較好的數(shù)學(xué)思想，更好地理解數(shù)學(xué)概念、定理等[1]■.

■ 常見(jiàn)錯(cuò)誤形成原因及應(yīng)對(duì)措施

1. 原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)導(dǎo)致錯(cuò)誤形成

學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，初中階段的學(xué)生已經(jīng)有了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)，受時(shí)間和空間的影響，再次遇到相似的學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，不少學(xué)生會(huì)被原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)所干擾，導(dǎo)致新知構(gòu)建的過(guò)程中出現(xiàn)各類錯(cuò)誤.

例1? “圓”的教學(xué)

學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)接觸過(guò)圓的性質(zhì). 因此，不少學(xué)生認(rèn)為所謂的圓就是圓的外周邊及內(nèi)部;圓及圓里面所有的點(diǎn)都在圓上面;半圓包含了一個(gè)封閉的曲線和直徑等各種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).

應(yīng)對(duì)措施? 根據(jù)這種原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，教師可有針對(duì)性地編擬一些題目，讓學(xué)生從題目中發(fā)現(xiàn)概念的內(nèi)涵，辨析定義的本質(zhì)屬性.

2. 學(xué)生思維定式導(dǎo)致錯(cuò)誤形成

思維定式也稱為慣性思維，由之前的經(jīng)驗(yàn)形成的一種心理上的定向趨勢(shì)，這種慣性思維可以幫助人們快速解決一些問(wèn)題，但也會(huì)妨礙人們采取新的解決問(wèn)題的方法. 思維定式對(duì)學(xué)生的感知、思維、記憶和情感等會(huì)起到正向或者反向的推動(dòng)作用. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中常因思維定式導(dǎo)致學(xué)生的思維進(jìn)入一些誤區(qū)，導(dǎo)致學(xué)生思維的創(chuàng)造性和靈活性受到阻礙.

例2? “一元二次方程”的教學(xué)

問(wèn)題：直角三角形ABC的兩條邊是方程x2-7x+12=0的解，請(qǐng)問(wèn)斜邊的長(zhǎng)是多少？

學(xué)生根據(jù)題意解方程，兩根是3或4，不少學(xué)生受3、4、5為一組勾股數(shù)的慣性思維影響，快速解答斜邊為5.

應(yīng)對(duì)措施? 這是典型的受定向思維所影響的常見(jiàn)錯(cuò)誤. 因此，教師在課堂教學(xué)中要及時(shí)擴(kuò)充并完善學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)舉一反三和變式訓(xùn)練等方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析和比較，自主發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，辨析易混淆的數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化正確的數(shù)學(xué)思維，突破慣性思維的約束，從而激發(fā)學(xué)生的興趣，拓寬解題思路.

3. 解題方法不當(dāng)導(dǎo)致錯(cuò)誤形成

一題多解在初中數(shù)學(xué)題中屢見(jiàn)不鮮，但也有部分題目只能有一種解法. 學(xué)生在解題過(guò)程中常常會(huì)因?yàn)榻忸}方法的使用不恰當(dāng)，導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的產(chǎn)生.

例3? “圓的對(duì)稱性”教學(xué)

問(wèn)題：AB，CD是⊙O的兩條弦，CD=8，∠AOB與∠COD互補(bǔ)（見(jiàn)圖1），求弦AB的弦心距. 若將△COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，讓OD和OB重合，很容易就會(huì)發(fā)現(xiàn)弦AB的弦心距是弦CD的一半.

應(yīng)對(duì)措施? 這種方式是這道題唯一的解題方法，學(xué)生若想不到這個(gè)解題辦法，則無(wú)法解開(kāi)這道題. 因此，教師在教學(xué)過(guò)程中要注重解題方法的指導(dǎo)與訓(xùn)練，滲透良好的解題思路，形成較好的數(shù)學(xué)思維.

■ 化被動(dòng)為主動(dòng)，將錯(cuò)誤優(yōu)化成

教學(xué)資源

任何事物都具有雙面性，數(shù)學(xué)錯(cuò)誤也同樣是一把雙刃劍，利用好了就是豐富的一手教學(xué)資源，利用不好就是一堆令人唾棄的廢品. 教師如何在教學(xué)過(guò)程中將這些錯(cuò)誤變廢為寶呢？可以從以下幾方面出發(fā)：

1. 利用錯(cuò)誤引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突

學(xué)生常因?qū)χR(shí)理解不夠全面或其他原因?qū)е乱恍╁e(cuò)誤. 教師如果將這些錯(cuò)誤適當(dāng)?shù)匮由扉_(kāi)來(lái)，引起學(xué)生認(rèn)知的沖突，學(xué)生就能在這些認(rèn)知沖突中對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生新的知識(shí)結(jié)構(gòu)和興趣.

例4? “完全平方公式”的教學(xué)

師：（a+b）2等于多少？

生：（a+b）2=a2+b2.

對(duì)于這個(gè)錯(cuò)誤的解答，教師可先轉(zhuǎn)移學(xué)生的注意力.

師：5等于7嗎？

生：（覺(jué)得不可思議）5怎么能等于7呢.

學(xué)生的注意力瞬間被轉(zhuǎn)移過(guò)來(lái)，對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)充滿了興趣.

師：假設(shè)a=3、b=4，那（a+b）2的值是多少？

生：（a+b）2=（3+4）2=49.

師：那么a2+b2的值是多少呢？

生：32+42=25.

師：可見(jiàn)（a+b）2的值是49，也就是72;而a2+b2的值是25，也就是52，因此（a+b）2=a2+b2這個(gè)答案對(duì)嗎？

生：錯(cuò)誤的.

師：那這道題的正確答案應(yīng)該是什么呢？

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對(duì)這道題產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，同時(shí)又充滿了好奇與興趣，學(xué)習(xí)思維也得到相應(yīng)的發(fā)展.

2. 利用錯(cuò)誤引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維

錯(cuò)誤發(fā)生的過(guò)程其實(shí)也是一種新的嘗試過(guò)程，教師可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤中蘊(yùn)藏的創(chuàng)新元素，及時(shí)給予引導(dǎo)與點(diǎn)撥，讓學(xué)生自主地突破錯(cuò)誤的思維障礙，產(chǎn)生創(chuàng)新意識(shí)，體驗(yàn)創(chuàng)新思維帶來(lái)的價(jià)值和快樂(lè)[2]■. 一些問(wèn)題條件發(fā)生了改變，結(jié)論亦會(huì)隨之變化. 教師可根據(jù)這類題的錯(cuò)誤發(fā)生，引發(fā)學(xué)生形成創(chuàng)新意識(shí)，形成創(chuàng)新思維.

例5? “平面直角坐標(biāo)系”的教學(xué)

問(wèn)題：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)A（1，1），請(qǐng)?jiān)趚軸上找到點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，請(qǐng)求P點(diǎn)的標(biāo).

錯(cuò)解：找出滿足此題條件的P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）與（2，0）（見(jiàn)圖2）.

■

分析：根據(jù)題意，等腰三角形AOP可從以下三個(gè)角度考慮：

（1）如果AO=AP，則點(diǎn)P是以AO為半徑，以A點(diǎn)為圓心的圓和x軸的交點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）;

（2）如果OP=AP，則點(diǎn)P是線段AO的中垂線和x軸的交點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）;

（3）如果AO=PO，則點(diǎn)P是以AO為半徑，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓和x軸的交點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)是（■，0）者（-■，0）.

解題講究的是周密、嚴(yán)謹(jǐn)，錯(cuò)誤并不可怕，只要在錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，勇敢地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，再根據(jù)錯(cuò)誤用各種方法去修正它，修正錯(cuò)誤的過(guò)程就是訓(xùn)練思維能力的過(guò)程，良好的思維能引導(dǎo)學(xué)生全方位地審視問(wèn)題，找出問(wèn)題和結(jié)論的內(nèi)在關(guān)系，深化認(rèn)識(shí)，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

3. 利用錯(cuò)誤引發(fā)學(xué)生的反思

用錯(cuò)題引發(fā)反思是指在錯(cuò)誤或挫折中得到一定的經(jīng)驗(yàn)或教訓(xùn)，重新認(rèn)識(shí)錯(cuò)題，養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 新課標(biāo)也明確要求學(xué)生在錯(cuò)誤中逐步形成反思意識(shí)，通過(guò)訂正錯(cuò)題、反思錯(cuò)誤而糾正錯(cuò)誤[3]■. 由此逐漸加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的掌握情況，提高學(xué)生的反思能力.

例6? “一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”教學(xué)

問(wèn)題：已知方程x2+2（m+2）x+m2-5=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這兩個(gè)根的積比它們的平方和小16，求m值.

根據(jù)題意，設(shè)兩個(gè)根為x■，x■，寫(xiě)出x■+x■=-2（m+2），x■·x■=m2-5，兩個(gè)根的積比它們的平方和小16，可得（x■+ x■）-x■·x■ = 16，通過(guò)化簡(jiǎn)和整理得：m■=-1，m■=-15. 到此，學(xué)生就認(rèn)為答題完美結(jié)束了，若將解題答案代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在一些問(wèn)題，究竟是哪個(gè)環(huán)節(jié)出了問(wèn)題？今后遇到類似的問(wèn)題應(yīng)該怎么做呢？

由此可見(jiàn)，要避免同類錯(cuò)誤的再次發(fā)生，反思是最好的途徑. 教師應(yīng)在學(xué)生錯(cuò)誤發(fā)生后給予恰當(dāng)引導(dǎo)，讓解題過(guò)程變得更為嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué). 讓學(xué)生反思解題方法、過(guò)程、思路以及錯(cuò)誤形成的具體原因，通過(guò)反思避免同樣錯(cuò)誤的再次發(fā)生，從而更加深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，形成良好的反思能力.

每個(gè)學(xué)生受身心發(fā)展和生活經(jīng)驗(yàn)的影響，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握深度和廣度都有一定的區(qū)別，解題習(xí)慣和思維模式也不一樣，出現(xiàn)的錯(cuò)誤自然是花樣百出的. 這就給教師的教學(xué)提出了更高的要求，怎樣幫助學(xué)生在錯(cuò)誤中成長(zhǎng)成了每個(gè)教師的責(zé)任. 因此，教師應(yīng)將學(xué)生的錯(cuò)誤類型進(jìn)行整理、分類，通過(guò)比較和分析找出一些有代表性的錯(cuò)題，從學(xué)生的錯(cuò)題出發(fā)優(yōu)化教學(xué)資源，在錯(cuò)題中引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，產(chǎn)生創(chuàng)新思維，培養(yǎng)反思能力，從而有效地提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[3]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.