關(guān)于“圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)與探討

葛余芳

[摘? 要] “圖形的旋轉(zhuǎn)”是“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，教學(xué)中需要聯(lián)系生活實(shí)際，讓學(xué)生感知旋轉(zhuǎn);通過(guò)辨析探討，完成概念定義;開(kāi)展演示探究活動(dòng)，掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì);滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生思維. 文章基于上述四個(gè)方面開(kāi)展教學(xué)探討，精設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，與讀者交流學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 圖形;旋轉(zhuǎn);概念;性質(zhì);探究

“圖形的旋轉(zhuǎn)”是蘇教版八年級(jí)上冊(cè)的重要內(nèi)容，圖形旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)需要掌握的三大圖形變換之一，同屬“空間與圖形”領(lǐng)域. 其中旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)是探究的重點(diǎn)，除了需要掌握上述重點(diǎn)知識(shí)外，還需要培養(yǎng)學(xué)生空間幾何觀，學(xué)會(huì)用變化的觀念來(lái)分析問(wèn)題，提升相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維. 該章節(jié)的動(dòng)態(tài)內(nèi)容對(duì)于學(xué)生而言，理解起來(lái)存在一定的難度，教學(xué)中建議遵循“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，數(shù)學(xué)活動(dòng)為主線(xiàn)”的指導(dǎo)思想，采用知識(shí)探究的教學(xué)方式.

聯(lián)系實(shí)際，新知引入

“圖形的旋轉(zhuǎn)”是繼平移、翻轉(zhuǎn)后需要學(xué)生掌握的另一種圖形變換，教學(xué)引入階段可以參考前面兩大知識(shí)內(nèi)容，充分聯(lián)系實(shí)際，從學(xué)生接觸、觀察到的事物和現(xiàn)象出發(fā)，利用具體、感性的實(shí)物來(lái)初步認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn).

引入階段可以設(shè)置兩個(gè)實(shí)踐活動(dòng)，包括利用多媒體演示生活中常見(jiàn)的與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的圖片，以及借助教具近距離展示圖形旋轉(zhuǎn).

活動(dòng)一：利用多媒體展示圖1所示生活中的一些旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

活動(dòng)二：準(zhǔn)備一把常用的直角三角板，教師演示直角三角板繞著直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生觀察直角板旋轉(zhuǎn)的過(guò)程.

教學(xué)指導(dǎo)：（1）引導(dǎo)學(xué)生觀察上述圖形變化，對(duì)比平移、翻轉(zhuǎn)，分析是否與之前學(xué)習(xí)的相同，并舉例生活中其他的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象;（2）分析上述動(dòng)圖及直角板移動(dòng)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從移動(dòng)距離和轉(zhuǎn)動(dòng)角度來(lái)確定這種變化.

學(xué)生對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)還很陌生，利用動(dòng)圖展示和實(shí)物旋轉(zhuǎn)的方式，學(xué)生可以直觀地認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)與平移、翻轉(zhuǎn)不同，積累相關(guān)的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)由具體中抽象，由感性到理性過(guò)渡的過(guò)程有助于學(xué)生后續(xù)利用理論來(lái)分析實(shí)際，進(jìn)而為后續(xù)的概念、性質(zhì)的探索做鋪墊.

辨析探討，概念生成

理解旋轉(zhuǎn)的概念、掌握旋轉(zhuǎn)的三要素是教學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是生活實(shí)際向數(shù)學(xué)理論的重要過(guò)渡. 旋轉(zhuǎn)的概念與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，三要素是數(shù)學(xué)上對(duì)旋轉(zhuǎn)本質(zhì)特征的定義，因此教學(xué)中需要分為圖形旋轉(zhuǎn)分析和數(shù)學(xué)定義兩個(gè)階段，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知能力，教學(xué)中建議利用平面直角坐標(biāo)系，采用“引導(dǎo)設(shè)問(wèn)”的方式提取旋轉(zhuǎn)的三要素，完成概念定義.

1. 直觀呈現(xiàn)，感知差異

活動(dòng)：利用投影在屏幕上展示3條旋轉(zhuǎn)的線(xiàn)段，逐一演示線(xiàn)段繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如圖2所示.

直角坐標(biāo)系可以對(duì)線(xiàn)段進(jìn)行定位，因此有利于學(xué)生觀察圖形變化，在設(shè)計(jì)時(shí)建議針對(duì)旋轉(zhuǎn)的三要素展開(kāi)多類(lèi)別呈現(xiàn)，變換旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度，引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn).

2. 設(shè)問(wèn)引導(dǎo)，分析要素

通過(guò)上述線(xiàn)段在直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生對(duì)其有了直觀的感受，教學(xué)中有必要圍繞旋轉(zhuǎn)的三要素進(jìn)行分析討論，理解旋轉(zhuǎn)過(guò)程，掌握旋轉(zhuǎn)概念.

設(shè)問(wèn)1：對(duì)比圖（a）和圖（c），觀察兩條線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)過(guò)程有何相同點(diǎn)？（均圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)）

設(shè)問(wèn)2：對(duì)比圖（a）和圖（b），觀察兩條線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)方向是否相同？（旋轉(zhuǎn)方向不一致）

設(shè)問(wèn)3：對(duì)比圖（b）和圖（c），觀察兩條線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)角度是否相同？（旋轉(zhuǎn)角度不一致）

教學(xué)中通過(guò)對(duì)比分析的方式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的“旋轉(zhuǎn)中心”“旋轉(zhuǎn)方向”和“旋轉(zhuǎn)角度”，然后結(jié)合三要素來(lái)概括旋轉(zhuǎn)的概念，即在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角.

3. 控制變量，理解內(nèi)涵

“旋轉(zhuǎn)中心”“旋轉(zhuǎn)方向”和“旋轉(zhuǎn)角度”是旋轉(zhuǎn)的三要素，三要素的綜合才能詮釋旋轉(zhuǎn)的概念. 在教學(xué)中需要強(qiáng)調(diào)三要素之間的關(guān)系，理解其內(nèi)涵，可以設(shè)計(jì)定向活動(dòng)，使學(xué)生理解“三要素”缺失其中任何一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)的情形均不唯一. 可以設(shè)計(jì)如下活動(dòng)并思考，準(zhǔn)備一個(gè)△ABC，進(jìn)行如下操作：

（1）讓三角形圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)30°，可以得到怎樣的情形，旋轉(zhuǎn)后的位置是否唯一？

（2）讓三角形分別圍繞點(diǎn)A和點(diǎn)B進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為30°，旋轉(zhuǎn)后的圖形位置是否唯一？

（3）讓三角形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分析旋轉(zhuǎn)后的圖形位置是否唯一？

（4）思考給定哪些條件才可以確保圖形旋轉(zhuǎn)后的位置唯一？

上述活動(dòng)通過(guò)缺失條件可使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“三要素”缺一不可，深刻理解圖形旋轉(zhuǎn)概念的內(nèi)涵，為后續(xù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)提供條件.

整體演示，性質(zhì)探究

圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)同樣是該部分探究的核心，對(duì)于后續(xù)幾何旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的突破有著關(guān)鍵作用. 圖形旋轉(zhuǎn)是動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，提取性質(zhì)實(shí)則就是探究旋轉(zhuǎn)中的不變性，因此教學(xué)中需要設(shè)計(jì)活動(dòng)呈現(xiàn)圖形整體變化的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生分析圖形旋轉(zhuǎn)前后的不變性質(zhì).

設(shè)置如下兩個(gè)探究活動(dòng)：

活動(dòng)一：利用直角三角形教具，設(shè)定為△ABC，用圖釘固定一點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC圍繞點(diǎn)C按照逆時(shí)針的方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后設(shè)定為△A′B′C′，如圖3所示，讓學(xué)生思考圖形旋轉(zhuǎn)前后的哪些性質(zhì)有改變，哪些性質(zhì)沒(méi)有改變.

引導(dǎo)學(xué)生思考時(shí)關(guān)注旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的兩點(diǎn)：一是位置，二是三角形的特性. 學(xué)生很容易可以發(fā)現(xiàn)僅是圖形的位置發(fā)生了變化，而三角形的大小和形狀沒(méi)有變. 為使學(xué)生深入理解旋轉(zhuǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)、線(xiàn)的變化，還需深入呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的軌跡，引入旋轉(zhuǎn)角度，探究旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角度、線(xiàn)段長(zhǎng)的相關(guān)性質(zhì).

活動(dòng)二：呈現(xiàn)△ABC繞平面內(nèi)一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度的過(guò)程，并繪制對(duì)應(yīng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡，如圖4所示. 分析圖形上每個(gè)頂點(diǎn)、邊長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)角度是否相同，對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)到點(diǎn)O的距離是否相同，你可以得出怎樣的結(jié)論？

引導(dǎo)學(xué)生標(biāo)出旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后提取對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度，進(jìn)而得出結(jié)論;也可以隨機(jī)在圖形上取一點(diǎn)，以及旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，讓學(xué)生觀察其轉(zhuǎn)化角度.

根據(jù)上述兩個(gè)活動(dòng)，學(xué)生對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)必有一個(gè)初步的了解，性質(zhì)歸納時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從以下兩方面進(jìn)行：（1）整體上，圖形的大小和形狀;（2）局部中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度. 通過(guò)實(shí)踐、觀察、歸納等探究活動(dòng)，學(xué)生可以積累眾多與旋轉(zhuǎn)本質(zhì)屬性相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分類(lèi)歸納性質(zhì)更為條理、清晰，也有助于提升學(xué)生的探究能力.

滲透思想，發(fā)展思維

“著眼生活實(shí)際，體驗(yàn)探究過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維”是該章節(jié)對(duì)學(xué)生情感方面的要求. 在旋轉(zhuǎn)概念、性質(zhì)的教學(xué)中需要合理滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 本章節(jié)的教學(xué)需要滲透的思想有模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、抽象思想、歸納思想等.

模型思想和抽象思想則主要體現(xiàn)在教學(xué)引入階段，需要聯(lián)系實(shí)際，基于實(shí)際問(wèn)題來(lái)抽象問(wèn)題模型. 例如，對(duì)于圖5中的時(shí)鐘，設(shè)定其中心為O，指針為線(xiàn)段OP，旋轉(zhuǎn)后到達(dá)OP′的位置. 則可以構(gòu)建線(xiàn)段OP圍繞旋轉(zhuǎn)中心O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠POP′的旋轉(zhuǎn)過(guò)程. 數(shù)形結(jié)合思想主要滲透在旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探究中，根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程可以繪制圖形的旋轉(zhuǎn)軌跡，根據(jù)圖像則可以獲得相應(yīng)的幾何關(guān)系，包括線(xiàn)段長(zhǎng)、角度、圖形形狀等. 如圖6中△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到了△A′B′C′，根據(jù)圖像可知如下關(guān)系：△ABC≌△A′B′C′，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，從而完成圖形旋轉(zhuǎn)到等量關(guān)系的提取. 而最后的概括中體現(xiàn)了歸納思想，上述利用高度凝練的語(yǔ)言對(duì)旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)進(jìn)行了概括，如結(jié)合三要素的核心內(nèi)容來(lái)概括旋轉(zhuǎn)的定義，根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性的不變量關(guān)系來(lái)概括其性質(zhì).

這些數(shù)學(xué)思想對(duì)于提升學(xué)生的思維有著極大的幫助，數(shù)學(xué)的探究活動(dòng)是低層次的，學(xué)生僅可以從中獲得一些較為“粗糙”的經(jīng)驗(yàn)，但滲透了數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐活動(dòng)則可以將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與人的心智、情感、思維相關(guān)聯(lián)，豐富活動(dòng)內(nèi)容，提升活動(dòng)層次，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

綜上，對(duì)“圖形的旋轉(zhuǎn)”章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了新知引入、概念探討、性質(zhì)探究以及思想滲透，從生活經(jīng)驗(yàn)中凝練知識(shí)，在觀察、分析中獲得了旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì). 一系列的探究活動(dòng)有效提升了學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的能力，充分感受到圖形旋轉(zhuǎn)的魅力，從而獲得深入學(xué)習(xí)的動(dòng)力.