廣義強(qiáng)色散DGH方程的不變子空間和精確解

李雪霞 劉漢澤 常麗娜

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

非線性偏微分方程在物理、化學(xué)、生物等領(lǐng)域的模型研究方面，起著至關(guān)重要的作用，尋找非線性微分方程精確解也是數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)之一，目前構(gòu)建非線性偏微分方程精確解的方法主要包括：李對(duì)稱法、首次積分法、指數(shù)函數(shù)展開法和(G'/G)-展開法、不變子空間法等.不變子空間方法起源于李群分析，其實(shí)質(zhì)是通過構(gòu)造非線性偏微分方程(PDE)的不變子空間，將非線性PDE轉(zhuǎn)化為常微分方程(ODE)組，通過求解ODE組的解得到原非線性PDE的解.其最初是由Galaktionov等提出，后來經(jīng)過多位學(xué)者擴(kuò)展并得到了廣泛應(yīng)用，例如，得到了Hunter-Saxton方程、可壓縮歐拉方程等的精確解[1].

不變子空間方法的突出特點(diǎn)是適用范圍廣，它是一種與對(duì)稱群相關(guān)的方法，通過這種方法，非線性演化方程可以被約化為有限維動(dòng)力系統(tǒng)；同時(shí)它也是一個(gè)算法，可以為非線性偏微分方程構(gòu)造更多的孤子解和相似解.但是不變子空間方法還有許多問題需要繼續(xù)研究，例如如何根據(jù)不同的非線性方程，構(gòu)造出更多的精確解；再者，如何提高求解常微分方程組的效率，比如借助Maple程序，等等，都需要進(jìn)一步研究.

1993年，Camassa和Holm得到了一類完全可積的非線性的新型淺水波方程Camassa-Holm方程[2]

ut+2aux-uxxt+3uux=2uxuxxx+uuxxx.

(1)

方程(1)具有雙Hamilton結(jié)構(gòu),并完全可積.a≠0時(shí),具有光滑孤立波解;a=0時(shí),方程(1)具有形如u=ce-|x-ct|(c為速度)的尖峰孤立波解(peakon).

Dullin，Gottwald和Holm利用一類淺水波方程非局部漸近形式推導(dǎo)出DGH方程

ut+2aux-uxxt+3uux+γuxxx=2uxuxx+uuxxx，

(2)

其中uxx是線性色散項(xiàng),當(dāng)γ=0時(shí)即為Camassa-Holm方程，當(dāng)色散項(xiàng)為(u-uxx)xxx時(shí),則方程即為廣義強(qiáng)色散DGH方程，它描述了淺水流中曲面波的單向傳播

ut+2c1ux-uxxt+c2uux+γ(u-uxx)xxx=2uxuxx+uuxxx，

(3)

其中u=u(x,t)為未知函數(shù)，c1,c2,γ為任意常數(shù).

近年來，許多學(xué)者對(duì)DGH方程也做了許多研究，2007年，田立新對(duì)DGH方程的哈密爾頓結(jié)構(gòu)和解的整體存在性及Blow-up現(xiàn)象進(jìn)行了研究.郭柏林和劉正榮通過使用平面的自治系統(tǒng)的定性分析研究方法，研究了DGH方程的尖峰孤立波解.與其它方法相比，不變子空間方法可以得到DGH方程的許多新形式的精確解，包括有理函數(shù)解，這些解不同于對(duì)稱約化解，也不同于孤立子解[3,4].

本文首先介紹不變子空間的方法原理,其次求出廣義強(qiáng)色散DGH方程在n維微分算子下的所有允許的不變子空間.最后,我們通過常微分方程解的子空間作為基函數(shù)構(gòu)造偏微分方程多項(xiàng)式函數(shù),基函數(shù)構(gòu)造偏微分方程多項(xiàng)式函數(shù),指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)形式的精確解，并且在運(yùn)用不變子空間方法的基礎(chǔ)上，將方程的部分精確解以圖像的形式表達(dá)出來，使DGH方程的解更加形象.

1 不變子空間方法

考慮一般的演化方程[5,6]

ut=F[u],

(4)

其中u=u(x,t)，F(xiàn)[u]是一個(gè)k-階微分算子，且F[u] ≡F(x,u,ux,uxx,…).假設(shè)給定一個(gè)n維不相關(guān)的函數(shù)f1(x),…,fn(x),那么可以得到n維線性組合的子空間Wn=Ω{f1(x),f2(x),…,fn(x)}.對(duì)于給定的微分算子F,如果滿足F[Wn]包含于Wn, 則稱算子F允許線性子空間Wn, 即線性子空間Wn在F算子下被認(rèn)為是恒定的，即存在n個(gè)函數(shù)φi(c1,c2,…,cn),滿足

其中C1,…,Cn為任意常數(shù),那么方程(4)有形如

(5)

的解，其中ci滿足n維動(dòng)力系統(tǒng)

φ′(t)=φi(φ1(t),…,φn(t)),i=1,2，…,n.

(6)

如果是由n階線性常微分方程[7,8]

L[y]≡y(n)+an-1(x)y(n-1)+…+a1y+a0y=0

(7)

的解空間來定義k階微分算子F允許的子空間Wn,并在這些不變子空間中構(gòu)造方程(3)的解,且(7)式中ai均表示常數(shù),那么n需要滿足的條件為n≤2k+1，并且Wn在算子F的不變條件為

L[F[u]]|L[u]=0≡0,

(8)

在以上這些不變條件下,就可以得到方程(3)解的形式,并且可以求出精確解,下文中使用的符號(hào)

2 廣義強(qiáng)色散DGH方程的不變子空間

2.1 二維不變子空間

首先將方程(3)寫作一般演化方程(4)的形式

ut-uxxt+γ(u-uxx)xxx=2uxuxx+uuxxx-2c1ux-c2uux,

(9)

方程右邊的非線性算子F為

F[u]=2uxuxx+uuxxx-2c1ux-c2uux,

(10)

式中最高次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)k=3，則由維數(shù)定理可知,我們需要考慮n=2,3,…,7維常微分方程定義的不變子空間.在本小節(jié),我們考慮方程(9)右邊的微分算子F[u] 是由二階常微分方程[9-12]

L2[y] ≡y″+a1y′+a0y=0

(11)

定義的不變子空間.則W2的不變條件為

L2[F[u]]|L2[u]=0=D2F+a1DF+a0F|L2[u]=0=0，

(12)

求解上述方程組，我們得到下列全部三組解

(ii)a0=0,a1=0,c1=c1,c2=c2;

(iii)a0=a0,a1=0,c1=c1,c2=-3a0.

根據(jù)以上三組解，方程(9)微分算子F[u]允許定義的二維不變子空間W2為

2.2 三維不變子空間

假設(shè)微分算子F[u]是由三階常系數(shù)線性方程L[y]≡y?+a2y″+a1y′+a0y=0的解空間所定義的不變子空間，其不變條件為

L[F[u]]|[H]=(D3F+a2D2F+a1DF+a0F)|[H]=0，

(13)

求解上述方程組,我們得到了唯一的一組解{a0=0,a1=a1,a2=0,c1=c1,c2=-3a1} ，由此,我們得到DGH方程的三維不變子空間W3

我們可以從求出的二維和三維子空間中看出不變子空間方法只與方程的非線性項(xiàng)有關(guān).根據(jù)上述類似的計(jì)算方式,我們可以推算出非線性算子(形如F[u])允許的由(7)式(n=4,5,6)分別定義的四維,五維和六維不變子空間,其七維不變子空間不存在.

2.3 四維不變子空間

2.4 五維不變子空間

2.5 六維不變子空間

3 廣義強(qiáng)色散DGH方程的精確解和圖像

根據(jù)上文第二部分求得的不變子空間的基函數(shù),我們可以把廣義強(qiáng)色散DGH方程的解分成三類,并且對(duì)應(yīng)方程的三種解:多項(xiàng)式函數(shù)解,指數(shù)函數(shù)解和三角函數(shù)解,然后利用Maple軟件畫出解的圖像,使方程的解更加直觀.下面我們就具體以廣義強(qiáng)色散DGH方程為例來求方程的精確解.

3.1 方程的多項(xiàng)式解[13-15]

由2.1中F22知，廣義強(qiáng)色散DGH方程

ut-uxxt+γ(u-uxx)xxx=2uxuxx+uuxxx-2c1ux-c2uux,

(14)

假設(shè)有多項(xiàng)式形式的解為

u1=φ0(t)+φ1(t)x,

(15)

常數(shù)項(xiàng)

(16)

求解(16)可得

(17)

其中C1,C2為任意常數(shù).則可以得到方程(14)的解為

(18)

方程解的圖像如

3.2 方程的三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)解

由2.2中F3知，方程可寫為

ut-uxxt+γ(u-uxx)xxx=2uxuxx+uuxxx-2c1ux+3a1uux,

(19)

假設(shè)有三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)形精確解

(20)

(21)

常數(shù)項(xiàng)φ0′(t)=0.求解上述方程可知φ0(t)=C1,φ1(t)=C2sin(At)+C3cos(At),φ2(t)=C2cos(At)-C3sin(At),由此,可以得到方程(19)的三角函數(shù)精確解為

(22)

由此,可以得到方程(19)的指數(shù)函數(shù)精確解為

(23)

4 結(jié)語

我們只選取了部分不變子空間的基函數(shù)進(jìn)行求解,得到了廣義強(qiáng)色散DGH方程的多項(xiàng)式函數(shù)解,三角函數(shù)解和指數(shù)函數(shù)解.不同的基函數(shù)進(jìn)行組合可以求出不同的精確解,這也使得不變子空間方法的應(yīng)用更為廣闊;同時(shí),針對(duì)方程組也可以應(yīng)用相同的方法進(jìn)行求解,上述研究理論為以后的研究提供了方向,對(duì)于不變子空間方法還有很多理論值得我們?nèi)パ芯?