酉矩陣束方法的陣列稀布優(yōu)化研究

徐 娟 張 月 趙建平

(曲阜師范大學(xué) 物理工程學(xué)院，山東 濟(jì)寧 273165)

0 引言

天線是一種用來(lái)發(fā)射和接收電磁波的設(shè)備，被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、廣播、導(dǎo)航等民用和軍事領(lǐng)域.天線種類繁多，涉及的工作頻帶范圍很寬[1].在實(shí)際的工程應(yīng)用中，由于單個(gè)天線的輻射方向圖的主瓣寬度較寬，天線的方向性及增益有限，故單個(gè)天線很難滿足特定的需求.為了獲得良好的天線特性，往往需要采用陣列天線.針對(duì)陣列天線的稀布優(yōu)化是近年來(lái)的研究熱點(diǎn).對(duì)天線陣列進(jìn)行稀布可以簡(jiǎn)化天線饋電系統(tǒng)，節(jié)約天線設(shè)計(jì)成本.Skolnik等人提出了經(jīng)典密度加權(quán)方法[2].該方法的實(shí)現(xiàn)比較簡(jiǎn)單，得到的解可能是最優(yōu)解，但是計(jì)算量比較大，且很多情況下得到的是接近最優(yōu)解的次優(yōu)解.窮舉法[3]開始被應(yīng)用于解決陣列天線優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題.窮舉法可以保證找到最優(yōu)解，但是其運(yùn)算量較大，且隨著變量的個(gè)數(shù)呈指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，故窮舉法不適合用于大型陣列天線的稀疏優(yōu)化.國(guó)內(nèi)學(xué)者姚昆提出分區(qū)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法[4].該方法適用于線陣的稀疏優(yōu)化，得出峰值旁瓣電平較小的陣列.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和智能優(yōu)化算法的不斷發(fā)展，很多優(yōu)化算法被應(yīng)用于陣列優(yōu)化當(dāng)中.用于稀布陣列天線綜合的算法主要包括遺傳算法[5,6]、粒子群算法[7]、矩陣束方法[8-10]、前后向矩陣束算法[11,12]、酉矩陣束算法[13].遺傳算法是一種全局搜索算法，利用自然中優(yōu)勝劣汰、適者生存的自然遺傳規(guī)律實(shí)現(xiàn)對(duì)種群的進(jìn)化.粒子群優(yōu)化算法是由Kennedy和Eherhart首先提出的一種全局的隨機(jī)搜索算法，被廣泛應(yīng)用于模式分類、函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、模糊系統(tǒng)控制以及其它領(lǐng)域中.目前，許多文獻(xiàn)將矩陣束算法應(yīng)用于陣列的優(yōu)化，但是該方法只適用于筆形波束方向圖綜合，對(duì)帶相位加權(quán)的陣列，性能較差.這是由于矩陣束算法的矩陣運(yùn)算是在復(fù)數(shù)域進(jìn)行的，所以求得的陣元位置也可能是復(fù)數(shù)，需要進(jìn)行近似處理，舍棄掉虛數(shù)部分，因此會(huì)產(chǎn)生誤差.前后向矩陣束方法是矩陣束方法的改進(jìn)型，該方法對(duì)與位置對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)施加必要的限制，使賦形效果更加精確.但是，這種方法沒(méi)辦法從根本上解決陣元位置為復(fù)數(shù)的情況.酉矩陣束算法將復(fù)數(shù)域運(yùn)算通過(guò)酉變換變成實(shí)數(shù)域運(yùn)算，這樣一來(lái)可以提高算法的運(yùn)算精度.相比于傳統(tǒng)遺傳算法和粒子群算法算法以及矩陣束算法、前后向矩陣束算法，酉矩陣束算法具有運(yùn)算時(shí)間少，擬合精度高等優(yōu)點(diǎn).近兩年，南京理工大學(xué)的陳如山教授團(tuán)隊(duì)使用酉矩陣束算法對(duì)陣列進(jìn)行優(yōu)化研究.但是也只是停留在理想的算法條件下，本文將酉矩陣束算法與全波仿真陣列進(jìn)行結(jié)合，對(duì)仿真陣列進(jìn)行稀布優(yōu)化，進(jìn)一步驗(yàn)證了算法的精確性和實(shí)用性.

1 酉矩陣束算法理論

假設(shè)空間中的一個(gè)陣元如圖1.有M個(gè)陣元組成的面陣，第i個(gè)陣元的位置為(ri,θi,φi)，激勵(lì)為Ri[13].ri代表陣元位置到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，θi是陣元位置的俯仰角，φi是它的方位角，每個(gè)陣元都是全向輻射元.

圖1 陣元的參考坐標(biāo)

對(duì)期望方向圖從u=-1到u=1和v=1到v=-1等間隔進(jìn)行采樣，采樣點(diǎn)數(shù)分別為M、N.則m=-S,-S+1,…,S-1,S；n=-T,-T+1,…T-1,T；M=2S+1；N=2T+1.任意采樣點(diǎn)的值為

其中wx=kdxΔ1，wy=kdyΔ2，Δ1=1/S，Δ2=1/T.

采樣數(shù)據(jù)構(gòu)成增廣矩陣

矩陣中

其中B、C滿足

Πe1、Πe2的維數(shù)分別是BC×BC、(M-B+1)×(N-C+1).Ych1、Ych2是酉矩陣，維數(shù)分別為BC×BC、2(M-B+1)(N-C+1)×2(M-B+1)(N-C+1).一個(gè)G×G維的酉矩陣表達(dá)式為

對(duì)矩陣Dr進(jìn)行奇異值分解Dr=U∑∑H,矩陣Dr的奇異值為{σi}，∑=diag{σ1,σ2,…,σM,…,σW;σ1≥σ2…≥σW}.

舍棄掉∑中一些不重要的奇異值，可得Dr的低秩逼近矩陣

Q可通過(guò)下式確定

引入置換矩陣P

P=[pT(1),pT(1+C),…,pT(1+(B-1)C),pT(2),pT(2+C),…,pT(2+(B-1)C),…pT(C),pT(C+C),…,pT(C+(B-1)C)]T.

將特征值進(jìn)行配對(duì)

引入變量β將F1、F2進(jìn)行線性組合，進(jìn)行對(duì)角化分解

βF1+(1-β)F2=T-1DT,

T為變換矩陣

Wx=TF1T-1,Wy=TF2T-1,

求解陣元位置

求陣元激勵(lì)

其中

2 天線單元及陣列仿真

2.1 天線單元仿真

天線單元采用介電常數(shù)為2.2的Rogers 5880介質(zhì)基板，采用同軸饋電的方式，單元如圖2所示，單元尺寸為L(zhǎng)=7 mm，W=8 mm，a=2.8 mm，b=1.6 mm，介質(zhì)基板厚度h=0.508 mm，探針的半徑為r=0.021 mm，仿真軟件采用HFSS 13.0軟件.建立仿真模型后，運(yùn)行仿真軟件，可以得到仿真結(jié)果.

圖2 天線單元仿真正視圖

圖3 天線單元仿真?zhèn)纫晥D

由圖4單元的S11特性可以看出天線單元的工作頻段約為32.5-34.2 GHz，中心頻率約為33.4 GHz.由圖5和圖6得天線單元方向圖增益為7.795 dB，波束指向?yàn)?°.

圖4 天線單元S11 圖5 天線單元的平面方向圖

圖6 天線單元的三維方向圖

2.2 天線陣列仿真

由單元構(gòu)成的一個(gè)9×9陣列如圖7所示，陣元間距為波長(zhǎng)的一半.運(yùn)行HFSS仿真軟件，得到陣列仿真結(jié)果.

圖7 9×9陣列天線仿真模型

由圖8可以看出天線陣列的中心頻率同樣在33.4 GHz處，通過(guò)比較圖6和圖10可以看出雖然陣列的三維方向圖不如單元的圓滑，但是陣列的方向圖增益比天線單元高出大約1.33 dB，更加容易滿足對(duì)于增益有要求的工程.由圖11天線單元和陣列的方向圖對(duì)比，可以看出陣列的增益更優(yōu)于單元.

圖8 9×9陣列天線S11特性 圖9 9×9陣列天線平面方向圖

圖10 9×9陣列天線三維方向圖 圖11 陣列與單元方向圖對(duì)比

3 酉矩陣束算法稀布陣列

將天線單元的增益信息從HFSS仿真軟件中導(dǎo)出，帶入到UMP算法中，與算法中的陣因子相乘，進(jìn)一步對(duì)陣列天線仿真模型進(jìn)行稀布優(yōu)化，算法運(yùn)算軟件采用MATLAB R2013b.對(duì)上述9×9陣列進(jìn)行稀布，得到一個(gè)6×6的陣列，稀布率為44.4%.極大地減少了成本，降低了工程造價(jià)，同時(shí)也減少了陣元間耦合.UMP優(yōu)化結(jié)果如圖12-16.

圖12和圖13可以看出陣列優(yōu)化前后方向圖性能并未受太大影響，由圖16平面方向圖對(duì)比可以看出稀布后的方向圖與之前陣列方向圖擬合效果較優(yōu).由圖14可看出使用UMP方法稀布后的陣列陣元排布比較稀疏，減小了陣元間的耦合.圖15為稀布后的陣元激勵(lì)，稀布后陣元的具體位置由表1給出.

圖12 陣列天線稀布前三維方向圖

圖13 陣列天線稀布后三維方向圖

圖14 陣列天線稀布前后陣元位置對(duì)比 圖15 稀布陣列陣元激勵(lì)

圖16 陣列天線優(yōu)化前后平面方向圖對(duì)比

表1 稀布后的陣元位置

由以上結(jié)果可以看出使用UMP對(duì)陣列進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的方向圖性能與優(yōu)化前相差不大，故陣列使用UMP方法進(jìn)行稀布后的陣列方向圖性能可以滿足工程的要求.就陣元排布來(lái)說(shuō)，稀布后的陣元排布更加稀疏，可以大大減少陣列陣元間的耦合效應(yīng)，在滿足方向圖要求的同時(shí)節(jié)約了工程設(shè)計(jì)成本.

4 稀布陣列全波仿真結(jié)果

用UMP優(yōu)化陣列后，將優(yōu)化的陣元數(shù)目、陣元激勵(lì)和陣元位置等結(jié)果帶入HFSS仿真軟件里，對(duì)稀布后的陣列進(jìn)行仿真建模，得到稀布后6×6的陣列仿真結(jié)果，進(jìn)一步與稀布前9×9陣列的仿真結(jié)果對(duì)比.

由圖19和圖20可以看出稀布后的陣列增益比稀布前只減少0.1 dB，基本可以滿足工程的要求.另外，由圖18可以看出進(jìn)行稀布后的陣列的S11與滿陣元的S11僅有可忽略不計(jì)的微小差異.由圖17可以看出，稀布后的陣列圖17(b)的陣元排布比圖17(a)更為稀疏.

圖17 稀布前后陣列仿真模型對(duì)比

圖18 稀布前后仿真陣列S11對(duì)比 圖19 稀布前后陣列平面方向圖對(duì)比

圖20 稀布前后陣列三維方向圖對(duì)比

通過(guò)使用UMP方法稀布后的陣列仿真結(jié)果與滿陣元時(shí)候的仿真結(jié)果對(duì)比，可以得出以下結(jié)論.(1) 稀布陣與滿陣元方向圖比較，增益損耗在可接受范圍內(nèi)，說(shuō)明稀布優(yōu)化后的方向圖性能良好，可以滿足我們?nèi)粘９こ添?xiàng)目的要求.(2) 稀布以后的陣元排布比稀布前的陣元排布較為稀疏，可以減少陣元之間的耦合效應(yīng)，提高天線陣列的性能.(3) 陣元數(shù)目減少，可以節(jié)約工程成本，同時(shí)也降低了陣列系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)的復(fù)雜性.

5 結(jié)論

本文主要使用酉矩陣束的方法來(lái)稀布優(yōu)化陣列，并對(duì)稀布后的陳列進(jìn)行全波仿真驗(yàn)證.選取同軸饋電的天線單元，其中心頻率在33.4 GHz處，選用此單元組成的9×9陣列使用酉矩陣束算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化.稀布優(yōu)化后的陣列其方向圖與滿陣元方向圖擬合效果尚佳，于是在仿真軟件HFSS里創(chuàng)建稀布優(yōu)化后的陣列模型，將其運(yùn)行結(jié)果與滿陣元時(shí)的仿真模型結(jié)果相比較，其方向圖增益只降低約0.1 dB，基本可以滿足要求.另外，稀布后的陣元位置，在相同的口徑范圍內(nèi)稀疏排布，減小了陣元之間的耦合效應(yīng)，陣元數(shù)目減少了，節(jié)約了成本.優(yōu)化算法與陣列全波仿真相結(jié)合，為以后稀布優(yōu)化算法滿足實(shí)際工程上的需求打下基礎(chǔ).

本文雖然將陣列單元的增益帶入到優(yōu)化算法的陣因子表達(dá)式中，但是并未充分考慮陣元之間復(fù)雜的耦合關(guān)系.在后續(xù)的研究工作中，可以將陣元間的耦合關(guān)系帶入到優(yōu)化算法中，使算法優(yōu)化結(jié)果更為精確.另外，在實(shí)際工程里陣列的陣元個(gè)數(shù)達(dá)成千上萬(wàn)個(gè)，因此需要更為智能和高效的優(yōu)化算法.