以形助數(shù)??化難為易

摘 要：數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)教育重要學(xué)科，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，使用數(shù)形結(jié)合，可實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)化，實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)。文章對(duì)數(shù)形結(jié)合概念和應(yīng)用意義進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，分別從講解新知、理解概念、理解題意、解決問題等方面對(duì)其應(yīng)用策略進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;小學(xué);數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?文章編號(hào)：2095-624X（2020）19-0031-02

數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合為重要解題思想，此方法的應(yīng)用和小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成息息相關(guān)。應(yīng)用過程中可將復(fù)雜數(shù)學(xué)問題和直觀的圖形相結(jié)合，讓學(xué)生以清晰的思路，完成問題求解，高效學(xué)習(xí)。因此，研究此思想在教學(xué)中的具體運(yùn)用意義重大。

一、數(shù)形結(jié)合概述

1.概念

從表面意義上分析，數(shù)形結(jié)合即指將數(shù)學(xué)知識(shí)、圖形二者之間相關(guān)聯(lián)，以圖形將數(shù)學(xué)知識(shí)表達(dá)出來。小學(xué)教學(xué)，需將學(xué)生身心特點(diǎn)以及發(fā)展規(guī)律充分考慮，才可保證教學(xué)成效。小學(xué)生感性意識(shí)強(qiáng)，因此，數(shù)形結(jié)合非常適合應(yīng)用在教學(xué)當(dāng)中。應(yīng)用過程，可將煩瑣概念、復(fù)雜數(shù)據(jù)等加以轉(zhuǎn)化，變?yōu)閷W(xué)生易于接受的方式，直觀呈現(xiàn)知識(shí)，符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律[1]。

2.應(yīng)用意義

此思想的應(yīng)用可幫助學(xué)生構(gòu)建完善數(shù)學(xué)體系，鞏固基礎(chǔ)，高效學(xué)習(xí)。小學(xué)生主要運(yùn)用形象思維，隨著年齡的增長(zhǎng)以及閱歷加深，可逐漸轉(zhuǎn)化成抽象思維。數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性特點(diǎn)明顯，可通過圖形，將抽象知識(shí)加以轉(zhuǎn)化，變?yōu)樾蜗髨D形，學(xué)生觀察更加容易，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)形成特定感知，真正走進(jìn)數(shù)學(xué)世界。與此同時(shí)，在教學(xué)過程，還可以教學(xué)內(nèi)容為切入點(diǎn)，以數(shù)形結(jié)合，指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，明確幾何問題，掌握解題技巧，形成實(shí)踐能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用策略

1.講解新知

小學(xué)生抽象思維較弱，加之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)邏輯性強(qiáng)，在新知識(shí)講解環(huán)節(jié)，為保證學(xué)生高效學(xué)習(xí)，可將此思想應(yīng)用其中。

如講解“長(zhǎng)方體和正方體”內(nèi)容時(shí)，教學(xué)重點(diǎn)為讓學(xué)生掌握長(zhǎng)方體、正方體的特點(diǎn)。教學(xué)過程中，筆者借助多媒體設(shè)備，展示墨水盒、圓柱、長(zhǎng)方體和正方體等圖片，讓學(xué)生進(jìn)行觀察，并提問“上述物體所有面都處于同一平面嗎？”學(xué)生很容易觀察出“不在同一平面”，此時(shí)，筆者順勢(shì)引導(dǎo)，告訴學(xué)生這些圖形為“立體圖形”，之后展示長(zhǎng)方體教具，讓學(xué)生觸摸和觀察，提問“長(zhǎng)方體的組成結(jié)構(gòu)是什么？”“面與面交點(diǎn)叫什么”“棱與棱交點(diǎn)叫什么？”等，通過實(shí)物觀察和問題引導(dǎo)，順利引出長(zhǎng)方體“面”“棱”和“頂點(diǎn)”等知識(shí)。在上述教學(xué)過程，涉及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可為小學(xué)生搭建橋梁，使用實(shí)物操作的方式，對(duì)圖形結(jié)構(gòu)展開分析，順利過渡到新知學(xué)習(xí)當(dāng)中，對(duì)原有認(rèn)知進(jìn)行深化，對(duì)“長(zhǎng)方體”結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)等深入理解，快速找到“棱和棱”“面和面”之間的關(guān)系，對(duì)長(zhǎng)方體“棱”和“頂點(diǎn)”等數(shù)量加以明確，使學(xué)生掌握長(zhǎng)方體面位置、大小等存在的關(guān)聯(lián)，提高教學(xué)成效[2]。

2.理解題意

數(shù)學(xué)教學(xué)中，線段圖為常用方法之一，可直觀呈現(xiàn)題中數(shù)量關(guān)系，輔助學(xué)生分析問題，高效解題。如講解“分?jǐn)?shù)乘法”時(shí)，涉及倍數(shù)求和這一問題，在解決這類題時(shí)，可使用線段圖方式。“一件衣服原價(jià)為180元，現(xiàn)價(jià)比原價(jià)降低1/5，求衣服現(xiàn)價(jià)。”講解此題時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生按照題干數(shù)量關(guān)系，畫出線段圖。學(xué)生畫圖之前，重點(diǎn)指導(dǎo)其注意線段圖單位線段代表的數(shù)量為“36”，畫5cm線段代表衣服原價(jià)，畫1cm線段代降價(jià)錢數(shù)，之后看圖解答問題。學(xué)生在直觀的線段圖示中，可更直觀掌握已知條件之間的關(guān)系，進(jìn)而列出算式180×（1-1/5）即為衣服現(xiàn)價(jià)。通過線段圖，將數(shù)形結(jié)合巧妙融入問題講解過程，幫助學(xué)生更直觀地找到解決問題的思路，理解題干意思，進(jìn)而快速解答問題。

3.解決問題

（1）幾何問題。求解幾何問題時(shí)，常涉及數(shù)形結(jié)合的滲透。如：講解“正方形”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，可在問題求解環(huán)節(jié)滲透此思想?！皩⑦呴L(zhǎng)10cm的正方形，在四角內(nèi)剪去邊長(zhǎng)為2cm的正方形，求出剩余圖形邊長(zhǎng)。”解決此問題時(shí)，學(xué)生可能存在困惑，認(rèn)為題干當(dāng)中存在“剪去”和“剩余”等詞語，就會(huì)走進(jìn)思維誤區(qū)，錯(cuò)誤認(rèn)為周長(zhǎng)變短。對(duì)此，講解過程，可運(yùn)用此思想，將題干信息以圖的形式呈現(xiàn)出來，并使用平移的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察原圖形周長(zhǎng)和裁剪后圖形的周長(zhǎng)有怎樣的關(guān)聯(lián)。學(xué)生在觀察過程中，可快速發(fā)現(xiàn)原圖形和剩下圖形二者周長(zhǎng)相等，進(jìn)而體會(huì)物體圖形面積變小，周長(zhǎng)可能不變。通過此案例，可以看出，數(shù)形結(jié)合在求解幾何問題時(shí)，可將圖形加以轉(zhuǎn)化，變?yōu)橐?guī)則圖形，快速解出答案。通過此思想的運(yùn)用，可感受到幾何問題中“變”和“不變”等關(guān)系，掌握問題求解方法。

（2）尋找最值。數(shù)學(xué)中，最值問題的尋找為常見問題，在求解過程中，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生通過圖形，快速找到最大值和最小值等。如講解“公倍數(shù)和公因數(shù)”內(nèi)容時(shí)，提出問題“找出12和24的公因數(shù)，并找出最大公因數(shù)”。常規(guī)方法為，將12和24所有公因數(shù)列舉出來，之后找到最大的公因數(shù)。但是，解題時(shí)間較長(zhǎng)。對(duì)此，可在數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用下，指導(dǎo)學(xué)生使用集合圖，將二者公因數(shù)以集合的形式體現(xiàn)出來，并讓學(xué)生觀察圖形，可以看出，二者最大公因數(shù)即為其他公因數(shù)乘積。這種方法直觀、快速，并且在此基礎(chǔ)上，還可指導(dǎo)學(xué)生使用“短除法”的方式，快速求解兩數(shù)最大公因數(shù)，對(duì)于學(xué)生思維的培養(yǎng)以及認(rèn)知的形成有重要影響[3]。

（3）追擊問題。小學(xué)數(shù)學(xué)，追擊問題為典型題，在解答過程中，可應(yīng)用此思想，將行程圖畫出，順利求解。如：小明和小紅家相距12km，二人同時(shí)出發(fā)，同向而行去學(xué)校，小紅步行速度為4km/h，小明騎自行車，速度為小紅的3倍，求小紅出發(fā)多久之后，小明和小紅相遇？學(xué)生讀完此題之后，由于描述內(nèi)容抽象，可能出現(xiàn)思維混亂的問題。此題常規(guī)解決方法為：假設(shè)小紅出發(fā)x小時(shí)之后，小明和她相遇，則可列出方程12x-4x=12，解得x=1.5，求解過程涉及列方程，并需要準(zhǔn)確找到二者速度差和行駛路程之間的關(guān)系，才可順利求解。為簡(jiǎn)化求解方式，筆者引導(dǎo)學(xué)生使用畫圖方法，將二人行駛狀態(tài)描述出來，理清問題思路。圖1為行程圖。

通過上圖，可以看出，小明和小紅相遇時(shí)，比小紅多行駛了12km，可以此作為解題關(guān)鍵點(diǎn)，先求解出二者的速度差，由小紅步行速度4km/h可知，小明的速度為4×3=12km/h，因此，二者的速度差為8km/h，根據(jù)二者行駛的路程差，可求解出相遇時(shí)所用時(shí)間，即12÷8=1.5h。追擊問題為小學(xué)數(shù)學(xué)重要題型之一，此類題型條件變化多樣，并且難易程度不一，故此，為培養(yǎng)學(xué)生解決此類問題的能力，需要從其邏輯思維培養(yǎng)入手，針對(duì)題干當(dāng)中信息復(fù)雜的現(xiàn)狀，可在數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用下，將復(fù)雜的問題，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖示，并將關(guān)鍵信息標(biāo)注其中，讓學(xué)生快速找到解題重點(diǎn)，高效解題。

（4）復(fù)雜計(jì)算。數(shù)學(xué)教學(xué)，涉及大量的計(jì)算內(nèi)容，部分計(jì)算題較為復(fù)雜，但是通過算式可找到運(yùn)算規(guī)律，將問題轉(zhuǎn)化成圖形，在數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用下，高效求解。如：講解“分?jǐn)?shù)的加法和減法”這部分知識(shí)時(shí)，計(jì)算算式1/2+1/4+1/8+1/16的結(jié)果時(shí)，筆者讓學(xué)生對(duì)算式展開觀察，找出其特點(diǎn)，學(xué)生可直觀看出4個(gè)加數(shù)分子全部是1，并且分母均為2的倍數(shù)，分別為2×1;2×2;2×2×2;2×2×2×2。之后提問“以怎樣的方式計(jì)算較為簡(jiǎn)便？”由于學(xué)生已經(jīng)具備異分母分?jǐn)?shù)加減的計(jì)算基礎(chǔ)，可想出“從左至右”的方式計(jì)算，或者“先通分，再計(jì)算”等，此時(shí)，筆者提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考“能否使用轉(zhuǎn)化方式，將上述算式轉(zhuǎn)化為圖形，之后再計(jì)算？”并為學(xué)生出示圖2。

將正方形視為單位1，并將算式內(nèi)的分?jǐn)?shù)依次填寫到其中，思考“空白部分占據(jù)正方形整體的幾分之幾？”將算式和圖形之間相互聯(lián)系，讓學(xué)生掌握算式向圖形轉(zhuǎn)化的方法。學(xué)生填寫過程，可以確認(rèn)空白部分代表1/16，因此，正方形中涂色部分的和可以用算式1-1/16表示。此時(shí)，學(xué)生恍然大悟，原來數(shù)學(xué)計(jì)算題還可轉(zhuǎn)化到圖形當(dāng)中，以巧妙的方式求解，并且經(jīng)驗(yàn)證，使用數(shù)形結(jié)合方法結(jié)果為1-1/16=15/16，和常規(guī)方法1/2+1/4+1/8+1/16=8/16+4/16+2/16+1/16=15/16結(jié)果相同，但是對(duì)比求解過程，顯然數(shù)形結(jié)合方法更加簡(jiǎn)便，可將復(fù)雜的計(jì)算過程化簡(jiǎn)，快速求解[4]。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，教育者需要高度關(guān)注數(shù)形結(jié)合這一思想的應(yīng)用價(jià)值，從教學(xué)內(nèi)容、重點(diǎn)出發(fā)，找到此思想的滲透途徑，幫助學(xué)生內(nèi)化新知，深入理解數(shù)學(xué)概念，弄清問題含義，高效解決問題，提高教學(xué)效率。

[參考文獻(xiàn)]

[1]吳幼山.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2020（13）：141-142.

[2]潘從光.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2020（12）：116-117.

[3]李海霞.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2020（10）：107-108.

[4]張遂保.“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)中高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].西部素質(zhì)教育，2020（4）：248.

作者簡(jiǎn)介：黎映耀（1979—），女，壯族，廣西靖西人，小學(xué)高級(jí)教師，本科，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。