推桿針輪活齒傳動齒形修形分析及優(yōu)化

費(fèi)宇，張世友，姚進(jìn)，謝超，李華

(1．四川大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610065； 2.四川省機(jī)械研究設(shè)計院，四川 成都 610063)

活齒傳動是一種兼具結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比范圍廣、承載能力大、傳動效率高等優(yōu)點的高性能多齒嚙合傳動[1]。傳統(tǒng)的活齒傳動中，中心輪齒形多為具有復(fù)雜曲線的內(nèi)輪廓，其加工難度大，加工精度不易保證，限制了活齒傳動的應(yīng)用[2-4]。推桿針輪活齒傳動以針輪(簡單曲線)為中心輪，而將復(fù)雜齒形轉(zhuǎn)移到活齒外輪廓上，與傳統(tǒng)的活齒傳動相比，其加工難度減小且加工精度易于保證，是一種在精密傳動領(lǐng)域很有應(yīng)用潛力的活齒傳動形式[5-7]。

對于推桿針輪活齒傳動這樣的多齒嚙合傳動而言，理論上有一半的活齒與針輪嚙合參與傳動，并且參加傳動的所有嚙合副之間的間隙為零。但是，在多齒嚙合傳動中，加工和裝配中不可避免地會產(chǎn)生誤差。為防止發(fā)生齒形干涉，并使嚙合副獲得合適的齒側(cè)間隙以及改善傳動性能，多齒嚙合傳動的嚙合副齒形必須進(jìn)行修形[8]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對多齒嚙合傳動的嚙合副修形進(jìn)行了大量研究。Meng等[9]提出一種修形后擺線針輪傳動初始間隙的計算方法，得出“負(fù)等距+正移距”的組合修形可以獲得最小的回轉(zhuǎn)誤差，Guan等[10]對這種組合修形產(chǎn)生的齒形進(jìn)行了受力分析方法的研究，并進(jìn)一步研究了這種組合修形對承載能力的影響。曲繼方[11]針對具有復(fù)雜內(nèi)齒廓中心輪的活齒傳動，提出了“轉(zhuǎn)角等距移距齒廓修形法”，李劍鋒等[12]針對這一類型的活齒傳動推導(dǎo)了中心輪的齒形通用方程式，并進(jìn)行了初步的修形研究。李劍鋒等[13-14]研究了凸輪激波滾動活齒傳動的修形方法，提出頂根復(fù)合和轉(zhuǎn)角-頂根復(fù)合修形2種方法，并對相應(yīng)的修形齒形進(jìn)行了受力分析。這些研究極大地推動了各種多齒嚙合傳動修形的應(yīng)用和發(fā)展，但針對推桿針輪活齒傳動修形的研究仍然較少。

本文對推桿針輪活齒傳動的修形方法和修形量的優(yōu)化進(jìn)行了研究。通過分析使用等距、移距、轉(zhuǎn)角等修形方法獲得的活齒的修形齒形特點，提出“等距+移距”的組合修形適用于推桿針輪活齒傳動的活齒修形。進(jìn)一步，以回差大小作為修形齒形的評價標(biāo)準(zhǔn)，建立了修形齒形的回差數(shù)學(xué)模型，并分析了“等距+移距”組合修形不同組合方式的回差，得到針對推桿針輪活齒傳動的齒形修形最佳組合方式。在此基礎(chǔ)上，建立了以回差最小為目標(biāo)函數(shù)的組合修形最佳修形量的優(yōu)化模型，并結(jié)合實例驗證了該優(yōu)化方法的可行性。

1 推桿針輪活齒傳動的結(jié)構(gòu)和齒形修形方法

1.1 推桿針輪活齒傳動的結(jié)構(gòu)及工作原理

如圖1所示，推桿針輪活齒傳動由激波器H、活齒架G、針輪K和一組推桿活齒T構(gòu)成，針輪K圓周上均布有一組圓柱形針齒P?；铨X齒形是由針齒的運(yùn)動包絡(luò)形成的整條外輪廓曲線，每個活齒分別與激波器和針輪接觸形成平面高副。若活齒數(shù)為zG，針輪上的針齒數(shù)為zK，則zK-zG=±1。

圖1 推桿針輪活齒傳動Fig.1 Push-rods oscillatory transmission with a needle gear

以激波器H作為輸入件、活齒架G固定、針輪K作為輸出件，當(dāng)激波器以等角速度ωH繞機(jī)架中心O順時針轉(zhuǎn)動時，由于激波器具有偏心距，激波器將推動與其接觸的推桿活齒沿活齒架上的活齒槽縱向移動，在它們的綜合作用下，將推動針輪K繞機(jī)架O以等角速度ωK順時針轉(zhuǎn)動，實現(xiàn)了活齒傳動的速度轉(zhuǎn)換和功率傳遞。其傳動比為：

(1)

當(dāng)zK>zG時，輸入與輸出轉(zhuǎn)向相同；當(dāng)zK

1.2 推桿針輪活齒傳動齒形修形方法

1.2.1 現(xiàn)有齒形修形方法及特點

齒形修形方法有很多[8]，分為直接修形(等距修形、移距修形和轉(zhuǎn)角修形)和間接修形。間接修形的方法在實際操作中由于具有加工裝置互換性差的問題，一般不常使用。本文只對直接修形方法進(jìn)行介紹。

1)等距修形(設(shè)等距修形量為Δrrp)。在活齒齒形加工裝置上加工活齒時，刀具的半徑(相當(dāng)于嚙合時的針齒半徑)相對于標(biāo)準(zhǔn)的針齒半徑rp有一個增量Δrrp，便可以加工得到如圖2所示的原活齒齒形的等距修形曲線，規(guī)定刀具半徑相對于標(biāo)準(zhǔn)針齒半徑增大時修形量為正，反之為負(fù)。

圖2 活齒齒形的等距修形Fig.2 Isometric modification of tooth profile

圖2中實線為活齒的理論齒形曲線，虛線為等距修形過后的實際齒形曲線，其為活齒理論齒形的等距線。當(dāng)?shù)染嘈扌瘟喀rp為正時會在全齒廓上形成均勻的間隙，而當(dāng)Δrrp為負(fù)時則會在全齒廓上形成均勻的過盈。

2)移距修形(假設(shè)移距修形量為Δrp)。在活齒齒形加工裝置上加工活齒時，刀具的幾何中心位置的實際向徑相對于理論向徑即針輪半徑RK有一個增量Δrp，便可以加工得到如圖3所示的原活齒齒形的移距修形曲線，規(guī)定刀具幾何中心靠近針輪中心時修形量為正，反之為負(fù)。

圖3 活齒齒形的移距修形Fig.3 Move modification of tooth profile

圖3中實線為活齒的理論齒形曲線，虛線為移距修形過后的實際齒形曲線，其為活齒理論齒形的等向徑曲線。當(dāng)移距修形量Δrp為正時會在全齒廓上形成均勻的間隙，而當(dāng)Δrp為負(fù)時則會在全齒廓上形成均勻的過盈。

3)轉(zhuǎn)角修形。在活齒齒形加工裝置上加工活齒理論齒形時，當(dāng)理論齒形加工完成后，給加工完成的活齒工件附加一個轉(zhuǎn)角，以微量磨削活齒理論齒形的一側(cè)齒廓，得到如圖4所示的原活齒齒形的轉(zhuǎn)角修形曲線。

圖4 活齒齒形的轉(zhuǎn)角修形Fig.4 Angle modification of tooth profile

圖4中轉(zhuǎn)角修形曲線僅僅改變了活齒理論曲線在圓周方向上的位置，并使得活齒變薄，從而使共軛齒形在圓周方向上形成齒側(cè)間隙，但在齒根和齒頂處不會形成間隙，因此轉(zhuǎn)角修形在實際修形中不會單獨(dú)使用。

1.2.2 推桿針輪活齒傳動齒形修形方法的確定

由1.2.1小節(jié)所述可以看到轉(zhuǎn)角修形不會單獨(dú)使用，等距修形和移距修形方法單獨(dú)使用時得到的齒形間隙或是過盈都是均勻的，這樣的齒形除了能提供潤滑間隙外，并不能達(dá)到調(diào)整各對共軛齒形間載荷分配和實現(xiàn)共軛齒形合理的嚙合部位的目的。本文考慮“等距+移距”的組合修形方法。

在推桿針輪活齒傳動的活齒修形中，考慮等距修形和移距修形的組合修形，是在保證共軛齒形齒頂和齒根徑向間隙Δ=Δrp+Δrrp不變(本文取0.02 mm)的前提下，采用組合方法來獲得比較理想的活齒齒形，即齒形中部的間隙較小，齒形兩端的間隙略大，大部分的工作齒廓集中在齒形中部的活齒齒形。

“等距+移距”的組合修形可以得到以下4種組合：“正等距+正移距”、“負(fù)等距+負(fù)移距”、“正等距+負(fù)移距”以及“負(fù)等距+正移距”。由于“負(fù)等距+負(fù)移距”的組合修形產(chǎn)生的間隙為負(fù)間隙，裝配和傳動過程中會發(fā)生齒形干涉，因而無法采用。以“負(fù)等距+正移距”的組合修形便可以加工得到如圖5所示的修形曲線。

圖5 “負(fù)等距+正移距”組合修形Fig.5 Combination of “negative isometric modification+positive move modification”

圖5中可以看到，修形形成的活齒齒形特征是活齒齒形中部到齒根和齒頂形成了逐漸增大的間隙，這樣的齒形會在活齒傳動中使得嚙入的活齒承受的載荷量逐漸增加，嚙出的活齒承受的載荷量逐漸釋放，延緩了嚙出卸載和嚙入承載的過程，減輕了嚙入嚙出的沖擊。“負(fù)等距+正移距”的組合修形利用合理的齒側(cè)間隙不僅提高了活齒傳動的傳動性能，還解決了活齒齒頂和齒根部分參與到嚙合時受力狀態(tài)惡劣的難題。因而本文選擇“等距+移距”的組合修形方法來對推桿針輪活齒傳動的齒形進(jìn)行修形。

2 活齒齒形修形的回差數(shù)學(xué)建模與最佳組合方式

活齒采用“等距+移距”組合修形后，變小的活齒在與針齒嚙合時，相對于理論的標(biāo)準(zhǔn)位置，激波器需要轉(zhuǎn)過一個角度，推動活齒沿活齒架上的徑向?qū)Р垡苿?，才能和針齒接觸，激波器相對于理論位置轉(zhuǎn)過的這一角度叫做激波器相對轉(zhuǎn)角?？蛰d時，只有一個活齒與針輪上的針齒嚙合，其他活齒與針輪上的針齒之間都存在一定的間隙，加載后，只有克服了間隙，其他的活齒才能參與到嚙合中去，并且載荷越大，同時參與嚙合的活齒數(shù)越多。同時，當(dāng)輸入軸反向轉(zhuǎn)動時，齒側(cè)間隙會導(dǎo)致輸出軸上的輸出滯后，即產(chǎn)生回差，并且間隙越大，回差越大。在機(jī)器人關(guān)節(jié)減速器中，回差是一個很重要的性能指標(biāo)，本文以修形產(chǎn)生的回差大小為修形齒形優(yōu)劣的評價標(biāo)準(zhǔn)。

2.1 等距修形產(chǎn)生的相對轉(zhuǎn)角

以激波器H為輸入構(gòu)件，針齒為輸出構(gòu)件，固定活齒架G，建立圖6所示的等距修形產(chǎn)生的激波器相對轉(zhuǎn)角示意圖。圖中，O2為針齒中心，OH為激波器H中心，O為機(jī)架中心，也是針輪和激波器的旋轉(zhuǎn)中心，以O(shè)為原點建立直角坐標(biāo)系xOy。OOH=e為激波器的偏心距，φH為激波器相對于機(jī)架的轉(zhuǎn)角，φK為針齒(針輪)相對于機(jī)架的轉(zhuǎn)角，粗實線所示為未經(jīng)過修形的活齒齒形，細(xì)實線所示為等距修形過后活齒的齒形。

圖6 等距修形產(chǎn)生的激波器相對轉(zhuǎn)角Fig.6 Relative angle of the surge wheel caused by isometric modification

(2)

考慮△OO1OH和△OO＇1O＇H，由余弦定理可以得到：

(3)

式中：

解得等距修形產(chǎn)生的激波器相對轉(zhuǎn)角為:

(4)

2.2 移距修形產(chǎn)生的相對轉(zhuǎn)角

圖7 移距修形產(chǎn)生的激波器相對轉(zhuǎn)角Fig.7 Relative angle of the surge wheel caused by move modification

Δrp·cosθ·cos (θ-φK)

(5)

同理可得到移距修形產(chǎn)生的相對轉(zhuǎn)角為:

(6)

2.3 組合修形產(chǎn)生的回差

考慮“等距+移距”組合修形產(chǎn)生的激波器相對轉(zhuǎn)角ΔφH，假設(shè)組合修形時激波器推動活齒沿x軸負(fù)方向移動的距離為Δx，則:

Δx=Δx1+Δx2

(7)

則“等距+移距”組合修形產(chǎn)生的激波器相對轉(zhuǎn)角為:

(8)

當(dāng)以針輪作為輸出時，組合修形后產(chǎn)生的針輪相對轉(zhuǎn)角可以表示為:

ΔφK=ΔφH/i

(9)

式中i為推桿針輪活齒傳動的傳動比。

由于“等距+移距”組合修形后的齒形相對于活齒的理論位置左右對稱，且多齒嚙合時最小齒隙的地方總是最先接觸，組合修形導(dǎo)致的回差γ可以用針輪相對轉(zhuǎn)角最小值的2倍來表示，即:

γ=2ΔφK min

(10)

2.4 “等距+移距”組合修形的最佳組合方式

1.2節(jié)的研究表明，“等距+移距”的組合修形只有3種組合方式是適合活齒修形使用的，即“正等距+正移距”，“正等距+負(fù)移距”和“負(fù)等距+正移距”。本文以實例來分析這3種組合修形方式的回差，從而確定修形的最佳組合方式。確定一組推桿針輪活齒傳動的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 推桿針輪活齒傳動結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of the push-rods oscillatory transmission with a needle gear

在保證修形后活齒齒頂和齒根形成0.02 mm徑向間隙的條件下，參照式(9)和式(10)來研究。由于修形后的齒形是左右對稱的，因而下面只研究修形活齒一半的齒形，即研究在激波器旋轉(zhuǎn)0°～180°的范圍內(nèi)針輪的相對轉(zhuǎn)角。

圖8為采用“等距+移距”組合修形后產(chǎn)生的針輪相對轉(zhuǎn)角。初步設(shè)計“負(fù)等距+正移距”組合修形的修形量為Δrrp=-0.01 mm、Δrp=0.03 mm，“正等距+負(fù)移距”組合修形的修形量為Δrrp=0.03 mm、Δrp=-0.01 mm，“正等距+正移距”組合修形的修形量為Δrrp=0.01 mm、Δrp=0.01 mm。

圖8 組合修形產(chǎn)生的針輪相對轉(zhuǎn)角Fig.8 Relative angle of the needle gear caused by combination modification

由圖8可以看到，采用“負(fù)等距+正移距”的組合修形方式在齒形工作區(qū)段產(chǎn)生的針輪相對轉(zhuǎn)角，無論是最小相對轉(zhuǎn)角還是平均相對轉(zhuǎn)角，在3種組合修形方式中都是最小的，因而對推桿針輪活齒傳動而言，“負(fù)等距+正移距”組合修形方式更優(yōu)，當(dāng)推桿針輪活齒傳動的結(jié)構(gòu)參數(shù)改變時，結(jié)果與該實例一致。在本實例中，“負(fù)等距+正移距”產(chǎn)生的最小針輪相對轉(zhuǎn)角ΔφK min=0.01°，將其代入式(10)可以得到實例中產(chǎn)生的回差γ=0.02°。

3 推桿針輪活齒傳動的活齒齒形修形量優(yōu)化

3.1 優(yōu)化模型

要滿足精密傳動的要求，修行產(chǎn)生的回差要盡可能小。通過優(yōu)化設(shè)計方法可以求得“負(fù)等距+正移距”組合修形的最佳的修形量，使得在滿足一定條件的情況下，修形產(chǎn)生的回差最小。

本文在滿足齒頂和齒根徑向間隙為0.02 mm，即Δrrp+Δrp=0.02的條件下，以針輪相對轉(zhuǎn)角ΔφK最小為目標(biāo)函數(shù)，以φH、Δrrp、Δrp為自變量進(jìn)行優(yōu)化求解。由式(8)和式(9)得目標(biāo)函數(shù)為：

(11)

結(jié)合式(2)、(5)、(7)進(jìn)行分析。

采用“負(fù)等距+正移距”組合修形，所以有Δrrp≤0，Δrp≥0；修形后的齒形是左右對稱的，所以可以限制激波器轉(zhuǎn)角φH的范圍為0°～180°；為了減小優(yōu)化分析的范圍，限定Δrrp≥-0.1，Δrp≤0.1。其具體的約束條件如下：

(12)

3.2 結(jié)果與分析

保持結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，利用Matlab的多維非線性優(yōu)化求解函數(shù)fconmin可以求得采用“負(fù)等距+正移距”組合修形時使得針輪相對轉(zhuǎn)角ΔφK最小的激波器轉(zhuǎn)角以及最佳修形量分別為φH=91.67°，Δrrp=-0.061 mm，Δrp=0.081 mm。此時修形產(chǎn)生的針輪相對轉(zhuǎn)角如圖9所示。

和圖8相比，圖9針輪平均相對轉(zhuǎn)角和最小相對轉(zhuǎn)角都有所減小，其中最小相對轉(zhuǎn)角ΔφK min=0.003°，相應(yīng)地，修形導(dǎo)致的回差γ=0.006°，滿足機(jī)器人關(guān)節(jié)減速器的傳動精度要求。

圖9 優(yōu)化修形產(chǎn)生的針輪相對轉(zhuǎn)角Fig.9 Relative angle of the needle gear caused by optimized modification

優(yōu)化修形后得到的修形齒形如圖10所示?？梢钥吹絻?yōu)化后的修形齒形的齒形中部的間隙較小，從齒形中部到齒根和齒頂?shù)拈g隙則逐漸增大，所以大部分的工作齒廓集中在齒形中部(15°～165°)。

圖10 組合修形優(yōu)化齒形Fig.10 The optimized tooth profile with combination modification

4 結(jié)論

1)“等距+移距”的組合修形利用合理的齒側(cè)間隙不僅提高了活齒傳動的傳動性能，還解決了活齒齒頂和齒根部分參與到嚙合時受力狀態(tài)惡劣的難題，適合推桿針輪活齒傳動的齒形修形。

2)分析了“等距+移距”組合修形不同組合方式的回差，結(jié)果表明，“負(fù)等距+正移距”的組合修形方式較其他兩種組合方式，修形產(chǎn)生的回差最小，是最適合推桿針輪活齒修形的組合方式。

3)實例中最佳修形量的優(yōu)化結(jié)果表明，采用等距修形量Δrrp=-0.061 mm和移距修形量Δrp=0.081 mm的組合修形，在激波器轉(zhuǎn)角為φH=91.67°時產(chǎn)生的回差僅為0.006°，滿足機(jī)器人關(guān)節(jié)減速器的精度要求，證明了優(yōu)化方法的可行性。