錯中明辨　“倍”加深刻

摘 要：在數(shù)學(xué)課堂上，每名學(xué)生對知識的理解不同，“生成性錯誤”的出現(xiàn)是不可避免的，教師需要在課堂上聆聽學(xué)生不同的聲音。特別是當(dāng)“錯點(diǎn)”出現(xiàn)時，教師需要擁有一雙智慧的眼睛，能夠?qū)⑦@些錯誤變?yōu)閷氋F的教學(xué)資源，進(jìn)行巧妙的引導(dǎo)，讓學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、思考、探究，將“錯點(diǎn)”轉(zhuǎn)化成“亮點(diǎn)”，從而內(nèi)化成學(xué)生自身的知識，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué)實踐;“倍的認(rèn)識”

中圖分類號：G42? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-624X（2020）16-0067-02

引 言

“倍的認(rèn)識”作為具體形象思維與抽象思維之間的重要紐帶，其知識生長點(diǎn)是乘法與除法的意義，它在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比和函數(shù)的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要作用[1]?！氨丁笔切W(xué)數(shù)學(xué)中一個相對抽象的概念，其本質(zhì)是兩個量之間的比率，也就是說，先確定一個標(biāo)準(zhǔn)量，再判斷另一個量中包含這樣的幾個標(biāo)準(zhǔn)量，即幾倍。但學(xué)生容易出現(xiàn)倍的認(rèn)知結(jié)構(gòu)錯誤，學(xué)生如果能夠在錯誤中明辨數(shù)學(xué)概念，正確地形成和理解數(shù)學(xué)概念，將會對概念的建立“倍”加深刻。

一、抓住錯誤，讓“倍”的構(gòu)建過程更自然

【教學(xué)片段1】

師：學(xué)校里要布置教室，我們班打算張貼這些紅花、黃花、藍(lán)花，你能幫忙數(shù)一數(shù)它們各有幾朵嗎？

生：紅花有2朵，黃花有6朵，藍(lán)花有10朵。

師：我們先來看一看紅花和黃花，把它們整理到黑板上。請你仔細(xì)觀察，其數(shù)量之間有什么關(guān)系（見圖1）？

生1：紅花比黃花少4朵。

生2：黃花比紅花多4朵。

生3：黃花的數(shù)量是紅花的3倍。

生4：黃花的數(shù)量比紅花多3倍。

師：真棒！你們不僅會觀察，還善于思考。比較兩個數(shù)量，除了誰比誰多、誰比誰少這種相差關(guān)系之外，還可以用倍數(shù)關(guān)系來表示。這節(jié)課我們一起來研究這種關(guān)系——“倍的認(rèn)識”。（板書課題）

師：剛才一位同學(xué)說，黃花的數(shù)量比紅花多3倍，這句話對不對呢？我們在以后的學(xué)習(xí)中再討論。先來看，黃花的數(shù)量是紅花的3倍是什么意思？

教學(xué)診斷：出現(xiàn)“黃花的數(shù)量比紅花多3倍”時，教師沒有指出學(xué)生的錯誤，只是說我們以后再討論，其實這個“多3倍”的問題還遺留在學(xué)生腦中，學(xué)生沒有真正理解倍的含義，導(dǎo)致學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)中會出現(xiàn)0倍的問題。因此，教師應(yīng)在課堂上及時解決這個問題。

當(dāng)學(xué)生說出倍的關(guān)系時，教師可以安排其他學(xué)生分享自己的想法，辨析問題。

師：這兩句話中都有3倍，它們都對嗎？

生1：黃花的數(shù)量是紅花的3倍，對的。黃花的數(shù)量比紅花多3倍，錯。

師：為什么？

生2：應(yīng)該是黃花的數(shù)量比紅花多2倍。

師：為什么黃花的數(shù)量比紅花多2倍？

生2：因為多4朵，就是多2倍。

師：你觀察到了黃花比紅花多的部分，多2倍。如果把黃花和紅花同樣多的部分也算上，黃花的數(shù)量是紅花的幾倍？

生：3倍。

師：你能想辦法讓別人一眼就看出黃花的數(shù)量是紅花的3倍嗎？

傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教師不喜歡學(xué)生出錯，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤，教師就會用“在以后的學(xué)習(xí)中再討論”搪塞過去。這是因為教師捕捉不到錯誤資源的價值，不知何時解決學(xué)生的問題。面對課堂教學(xué)中生成的錯誤資源，教師需要擁有一雙智慧的眼睛，將這些錯誤變?yōu)閷氋F的教學(xué)資源，巧妙地利用，讓學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、思考、探究，將“錯點(diǎn)”轉(zhuǎn)化成“亮點(diǎn)”。這樣學(xué)生的思維能力就在“出現(xiàn)錯誤”“發(fā)現(xiàn)錯誤”和“改正錯誤”的深度學(xué)習(xí)過程中形成，學(xué)生對所學(xué)知識的理解也會更加深刻，從而提升學(xué)生的思維能力。

學(xué)生沒有學(xué)過倍的概念，出現(xiàn)“黃花的數(shù)量比紅花多3倍”這個錯誤是學(xué)生對知識的猜測。這時教師不要急于評價，而應(yīng)巧妙地利用這一錯誤資源進(jìn)行引導(dǎo)：“這兩句話中都有3倍，它們都對嗎？”在教師的引導(dǎo)下學(xué)生對猜測進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)錯誤。此時教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考原因，讓學(xué)生體會兩個關(guān)系的比較量不同，一個是黃花的數(shù)量，另一個是黃花比紅花多的部分，多的4朵是2個2朵，所以是2倍。這樣學(xué)生體會到了“倍比”是“1份”與“多份”的對應(yīng)關(guān)系，有“幾份”就是“幾倍”。通過自己糾正錯誤，學(xué)生會整體感受知識自然發(fā)生、發(fā)展的過程，水到渠成地認(rèn)識倍，構(gòu)建“倍”的模型。

二、爭辯錯誤，讓“倍”的概念越辯越明

【教學(xué)片段2】

師：老師想學(xué)魔術(shù)師變走一些花朵，變！發(fā)生了什么變化？

生：減少了2朵黃花。

師：這時黃花的數(shù)量是紅花的幾倍呢？為什么？

生：把紅花看成一份，黃花有這樣的2份，黃花的數(shù)量是紅花的2倍。

師：如果我再變走2朵黃花，這時，黃花的數(shù)量是紅花的幾倍？

生1：黃花和紅花同樣多，所以是0倍。

生2：0倍不對，剛才黃花4朵時，是2倍;黃花2朵時，怎么一下子變成0倍了？

師：對?。↑S花是4朵時，是2倍;黃花2朵時，應(yīng)該是1倍。因此兩個數(shù)量相等時，它們之間就是1倍的關(guān)系。

教學(xué)診斷：第三位學(xué)生說完，教師對他的觀點(diǎn)進(jìn)行分析，肯定了1倍的關(guān)系，便結(jié)束了。其實討論后堅持是0倍的學(xué)生感到不服氣，還認(rèn)為是0倍。這樣的討論不夠深入，沒有讓學(xué)生真正理解自己的錯誤。教師如果讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓所有學(xué)生參與辨析，倍的概念會越辯越清晰，越辯越深刻。

兩名學(xué)生說完，感覺說0倍、1倍的學(xué)生都很有道理，這時教師讓學(xué)生以四人為小組展開討論，學(xué)生可能還會有新的觀點(diǎn)。

生3：2÷2=1，所以黃花的數(shù)量是紅花的1倍。

生4：用圈一圈的方法把2朵紅花看成1份，黃花有這樣的1份，就說黃花的數(shù)量是紅花的1倍。

師：原來1倍就是1份，黃花有紅花這樣的1份，所以黃花的數(shù)量是紅花的1倍。這里也可以說紅花的數(shù)量是黃花的1倍。

學(xué)生會說出0倍，是從比較多少的方面去理解的，認(rèn)為多出來的部分才是“倍”。這暴露了學(xué)生概念建構(gòu)不到位的問題。雖然教師讓多名學(xué)生發(fā)表自己的見解，但兩種不同意見似乎都很有道理，雙方均不認(rèn)同對方的觀點(diǎn)。這時教師應(yīng)給學(xué)生多一點(diǎn)兒思考的時間，多一點(diǎn)辯論的時間，這樣學(xué)生會多一點(diǎn)兒探索成功的喜悅。在四人小組中討論，每位學(xué)生都能發(fā)表意見，再次辯論。學(xué)生會從爭辯中找到錯誤原因，掌握糾錯方法，從而獲得真知，深刻地理解概念。

三、變式防錯，讓“倍”的知識得到拓展

在教學(xué)的鞏固練習(xí)中，教師安排了兩道估一估的練習(xí)：

（1）如圖2所示，估一估，長跳繩的長度是短跳繩的（ ）倍。

（2）如圖3所示，大正方形的面積是小正方形的（ ）倍。

學(xué)生一般能用畫一畫、分一分的方法做出這兩題，這對學(xué)生來說沒有挑戰(zhàn)性。教師可以設(shè)計一道開放性題目，進(jìn)一步滲透倍的含義。例如，有很多大小相同的圓，你能創(chuàng)造出哪些關(guān)于8個圓的倍數(shù)關(guān)系呢？

學(xué)生會找到很多有關(guān)8的倍數(shù)： ①8個圓是1個圓的8倍;②8個圓是2個圓的4倍;③8個圓是4個圓的2倍;④16個圓是8個圓的2倍;⑤24個圓是8個圓的3倍……

教師抓住其中的“8個圓是2個圓的4倍”和“16個圓是8個圓的2倍”，啟發(fā)學(xué)生思考“這兩個關(guān)系中的8個圓有什么不同？”這樣學(xué)生能夠直面“8個圓”的身份變化：第一個8個圓作為多份數(shù)（比較量），第二個8個圓作為一份數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)量），體會到一個量既可以做一份數(shù)，也可以做多份數(shù)。

四、錯中反思，讓“倍”的教學(xué)促科研

筆者嘗試從“倍”的教學(xué)過程入手，聚焦學(xué)生的錯誤，緊緊圍繞錯誤資源的合理利用和轉(zhuǎn)化，展開了實踐與思考，并形成小課題，為以后的教學(xué)探索出一條路徑，從而實現(xiàn)教學(xué)研究的自我建模。

1.借助錯誤，嘗試“錯誤”教學(xué)

學(xué)生出現(xiàn)的錯誤是他們在學(xué)習(xí)過程中動態(tài)生成的一種“利教研學(xué)”資源。教師要善于將學(xué)生的錯誤資源作為教學(xué)活動的重要內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生對錯誤進(jìn)行分析評價，使學(xué)生在糾錯、改錯中加深對知識的理解，提升其思維品質(zhì)。

2.整合錯誤，設(shè)立“錯題”超市

學(xué)生在課外學(xué)習(xí)中也會出現(xiàn)各種錯誤，這時，教師可以把出錯率比較高的題目記錄下來，改編并整合出類似的題目，建立班級的“錯題超市”，以“菜單”形式供學(xué)生隨時查閱。學(xué)生從“錯題超市”中自主選擇相應(yīng)的題目進(jìn)行鞏固，提升自我管理能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

3.分享錯誤，規(guī)避“錯誤”重現(xiàn)

在復(fù)習(xí)階段，教師可以在“錯題超市”選取易錯的或有代表性的錯題，為學(xué)生搭建錯題分享平臺，組織學(xué)生探究錯誤的原因，避免類似錯誤再次出現(xiàn)，使學(xué)生不斷提升自己的解題與辨識錯誤的能力，拓展思考的廣度與深度。

結(jié) 語

綜上所述，教師應(yīng)抓住學(xué)生的認(rèn)知錯誤，建構(gòu)正確的知識體系，提高課堂教學(xué)效果;組織學(xué)生爭辯知識難點(diǎn)，幫助學(xué)生理解知識本質(zhì);設(shè)計拓展練習(xí)，延伸知識深度，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊;讓學(xué)生在錯題中練，在錯題中改。這樣，“錯誤”成了教學(xué)中一道亮麗的風(fēng)景，只要我們注意它的存在，欣賞它的美妙，研究它的根源，從錯誤中反思教學(xué)，就會讓教學(xué)“倍”感輕松！

[參考文獻(xiàn)]

余長艷.找原型，抓本質(zhì)，促發(fā)展——觀楊迪老師“倍的認(rèn)識”一課有感[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（Z1）：139-141.

作者簡介：張濱燕（1986.10—），女，浙江舟山人，二級教師。