填空題解題方法與技巧

耿廣祥

數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)論，不要求解答過程的客觀性試題，有“小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大”等特點，突出考查準確、嚴謹、靈活運用知識的能力。由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結(jié)果必須準確、規(guī)范，因此得分率較低。解答填空題的第一要求是“準”，然后才是“快”、“巧”，要合理靈活地運用恰當?shù)姆椒?，不可“小題大做”。下面舉例剖析常用的思維方法。

一，直接法

涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算等的填空題，直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則，通過準確的運算、嚴謹?shù)耐评?、合理的驗證得出正確的結(jié)論，要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題。

解析：直接探究函數(shù)的周期性和對稱性，借助周期性和對稱中心簡化求函數(shù)值，根據(jù)題意，f（x+1）為偶函數(shù)，則函數(shù)f （x）的圖像關(guān)于直線z—l對稱，則有f（-x）一f（2+z），若函數(shù)f（z+2）為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點（2，0）對稱，則有一f（一x）=f（4 +x），則有f（x+4）=-f（x+2），設(shè)t=x+2，則f（t+2）一-f（t），變形可得f（t+4）=一f（t+2）=f（t），則函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，又由函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點（2，0）對稱，則f（1）+f（3）=0且f（2）=O，則有f（2）=-f （0） =0，可得f（4）=0，所以∑f（i）=

f（1）+f（2）+…+f（2 019）=[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+…+[f（2 013）+f（2 014）+f（2 015）+f（2 016）]+[f（2 017） +f（2 018） +f（2 019）]=f （1）+f（2）+f（3）=0。故答案為o。

升華：本題根據(jù)f（x+1）為偶函數(shù)，f（z+2）為奇函數(shù)，可得f（z+4）=f（x），結(jié)合函數(shù)的對稱性可得f（1）+f（3）=0且f（2）=f（0）=f（4）=O，從而簡化求得結(jié)果。

例2如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐。當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積的最大值為

（單位：cm3）。

升華：直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準確地求解填空題的關(guān)鍵。本題直接構(gòu)建三棱錐體積的目標函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求最值。

升華：求雙曲線離心率常見的有以下兩種思維方法：①求出a，c的值，代人公式e=c;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，解方程或不等式，即可得e的值或取值范圍。

二.數(shù)形結(jié)合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果。這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間的距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形。

升華：函數(shù)f（x）=x一[x]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱f（x）為取整函數(shù)，利用[x]的意義可分段研究此函數(shù)的一系列性質(zhì)，本題實質(zhì)是取整函數(shù)添加了x=1的對稱軸后與對數(shù)的復(fù)合函數(shù)交點個數(shù)的創(chuàng)新問題，熟練作出函數(shù)圖像，運動變化可避免0

升華：數(shù)形結(jié)合法可直觀快捷地得到問題的結(jié)論，充分應(yīng)用了圖形的直觀性，數(shù)中思形，以形助數(shù)。應(yīng)用時要準確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

三，特例法

當填空題的已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的特殊值（特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等）進行處理，從而得出待求的結(jié)論。這樣可大大地簡化推理、論證的過程。

升華：求值或比較大小等問題均可利用特殊值代人法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題。

四，構(gòu)造法

首先應(yīng)觀察已知代數(shù)式的特點，然后積極調(diào)動思維，聯(lián)想、類比已學(xué)過的知識及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型，深刻地了解問題及問題的背景（幾何背景、代數(shù)背景），從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型，達到快速簡化推導(dǎo)與運算過程。

升華：構(gòu)造法實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，一般通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題。在立體幾何中，補形構(gòu)造是最為常用的解題技巧。通過補形能將一般幾何體的有關(guān)問題在特殊的幾何體中求解，如將三棱錐補成特殊的長方體等。

五.正反互推法

多選型給出的命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論。這類問題要求較高，涉及圖形、符號和文字語言，要準確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結(jié)論之間互反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯誤的命題或結(jié)論。

例8 已知。a b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當直線AB與a成60°角時，AB與6成30°角;②當直線AB與a成60°角時，AB與6成60°角;③直線AB與a所成角的最小值為45°;④直線AB與a所成角的最小值為60°。其中正確的是___ 。（填寫所有正確結(jié)論的編號）

解析1：反饋題設(shè)，構(gòu)建滿足條件的圓錐模型，借助線線所成角的定義、定理及結(jié)論進行邏輯推理判斷。由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，設(shè)AC—BC=1，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點B，作BD∥a，交底面圓C于點D，如圖7所示。連接DE，則DE⊥BD，所以DE∥b，連接AD，在等腰△ABD中，AB =AD一√2，當直線AB與a成60°角時，∠ABD=60°，故BD=√2。又在Rt△BDE中，BE=2，所以DE=√2，過點B作BF∥DE，交圓C于點F，連接AF，由圓的對稱性可知BF=DE=√2，所以△ABF為等邊三角形，所以∠ABF=60°，即AB與6成60。角，所以②正確，①錯誤。因為∠ABC=45°是斜線AB與平面BCD所成的角，由斜線和斜線在面上的射影所成角是斜線和在平面內(nèi)不過斜足的所有直線所成角的最小角，即最小角定理可知③正確。因為可以滿足平面ABC上直線a，直線AB與a所成的最大角為90°，所以④錯誤。故正確的說法為②③。

解析2：反饋題設(shè)，構(gòu)建正方體模型建立空間直角坐標系，通過計算推理判斷。由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形，如圖8所示。不妨設(shè)圖中所示正方體的邊長為1，故|AC| =1，|AB |=√2，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓。以C為坐標原

點，以CD，CB，CA分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系。則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量a=（0，1，0），|a |=1。B點起始坐標為（0，1，0），直線6的方向單位向量b=（1，0，0），|b|=1。設(shè)B點在運動過程中的坐標為B'（cosθ，sinθ，0），其中θ為B'C與CD的夾角，θ∈[0，2π）。那么AB'在運動過程中的向量AB'=（-cosθ，-sinθ，1），| AB' |=√2。

升華：正反互推法適用于：一是給出總的已知條件，判斷多種結(jié)論的真假;二是多種知識點的匯總考查。前者需要扣住已知條件進行分析，后者需要獨立利用知識逐項進行判斷。利用正反互推法可以快速解決多選型問題。立體幾何中的有關(guān)結(jié)論的判斷和新定義的多項填空題等可構(gòu)造模型借助定義、定理及結(jié)論進行傳統(tǒng)法推理判斷，還可構(gòu)造模型借助空間向量的坐標運算求大小進而推理判斷，這是由立體幾何的“空間問題模型化、平面化和代數(shù)化”的本質(zhì)屬性決定的。

六，歸納推理法

做關(guān)于歸納推理的填空題的時候，一般是由題目的已知可以得出幾個結(jié)論（或直接給出了幾個結(jié)論），然后根據(jù)這幾個結(jié)論可以歸納出一個更一般性的結(jié)論，再利用這個一般性的結(jié)論來解決問題。歸納推理是從個別或特殊認識到一般性認識的推演過程，這里可以大膽地猜想。

例9 圖9中是應(yīng)用分形幾何學(xué)作出的一個分形規(guī)律圖，按照圖9所示的分形規(guī)律可得圖lO所示的一個樹形圖，我們采用“坐標”來表示圖10各行中的白圈黑圈的個數(shù)（橫坐標表示白圈的個數(shù)，縱坐標表示黑圈的個數(shù)），比如第一行記為（0，1），第二行記為（1，2），第三行記為（4，5），照此下去，第四行中白圈與黑圈的“坐標”為__ 。

解析：本題中如何求出第四行中白圈與黑圈的“坐標”是解題的一個關(guān)鍵，也是一個難點，觀察所給條件不難發(fā)現(xiàn)，可以運用特殊到一般的規(guī)律進行處理，進而求解由圖9所示的分形規(guī)律，1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為2個黑圈1個白圈，記某行白圈z個，黑圈y個，坐標為（x，y），則第一行記為（0，1），第二行記為（1，2），第三行記為（4，5），第四行白圈數(shù)為2×5+4=14，黑圈數(shù)為5+2×4=13，第四行中白圈與黑圈的“坐標”為（13，14）。故答案為（13，14）。

升華：這類問題是近幾年高考的熱點。解決這類問題的關(guān)鍵是找準歸納對象。如率題把函數(shù)的前幾個值一一列舉出來。觀察前面列出的函數(shù)值的規(guī)律，歸納猜想一般結(jié)論或周期，從而求得問題。

（責任編輯 王福華）