關(guān)于《高等數(shù)學(xué)》幾個(gè)教學(xué)內(nèi)容的處理

摘 要： 針對(duì)《高等數(shù)學(xué)》中數(shù)列極限、隱函數(shù)方程組求導(dǎo)和微分方程特解的求法分別進(jìn)行了分析，在此基礎(chǔ)上提出了三個(gè)新的解決問題的方法。

關(guān)鍵詞： 數(shù)列極限;隱函數(shù);微分方程;特解;導(dǎo)數(shù)

如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行更好的教育，這是我們所有教育工作者以及社會(huì)各界人士共同的責(zé)任和義務(wù)，更是我們孜孜不倦的追求和目標(biāo)，所以在教學(xué)中，要不斷地進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn)，以便能對(duì)學(xué)生進(jìn)行更好的教育，決不能僅僅教授書本上的知識(shí)，要把知識(shí)給同學(xué)們產(chǎn)生一個(gè)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)穆?lián)系。另外，《高等數(shù)學(xué)》是大學(xué)工科各專業(yè)非常重要的一門基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)其他課程的重要基礎(chǔ)，同時(shí)也是新生學(xué)習(xí)難度比較大的課程。在如何提高《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)質(zhì)量這個(gè)問題上，我們也一直在不斷地努力探索和鉆研。所以，在實(shí)際教學(xué)中，我們注重不斷改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容的處理，在這些方面，很多教師給我們做出了表率和帶頭作用。我們在學(xué)習(xí)優(yōu)秀教師教學(xué)手段的基礎(chǔ)上，也取得了一定的進(jìn)步，同時(shí)在教學(xué)中，也有了自己的一點(diǎn)心得。下面就是我們的一點(diǎn)教學(xué)體會(huì)，我從三個(gè)方面進(jìn)行說明。

在《高等數(shù)學(xué)》上冊中，講到收斂數(shù)列的有界性時(shí)，我們不妨把數(shù)列有界的定義放在數(shù)列的概念講完之后就進(jìn)行解釋，我們知道數(shù)列是一種特殊的以自然數(shù)為自變量的函數(shù)，即它的定義域是全體自然數(shù)，先看一下函數(shù)有界的概念：

定義1：稱函數(shù)f（x）有界，若x∈D，都有 f（x）

那么按照函數(shù)的概念，很自然地得到了數(shù)列有界的定義。

定義2：稱數(shù)列 an 有界，若n∈N，都有 an

接著，我們可以得到下面的推論：

推論：如果N0，當(dāng)n>N0時(shí)，有 an

這樣一來，到后面我們用收斂數(shù)列的定義證明其有界性時(shí)， 就很自然用到了上面的推論，lim n→

SymboleB@? an=A對(duì)于ε=1，N0>0，當(dāng)n>N0時(shí)，有 an-A <1。

即 an < A +1（其中A是數(shù)列 an 的極限，即為某一常數(shù)）

根據(jù)上面的推論，自然知道數(shù)列 an 有界。

結(jié)果可以說是很自然的，同學(xué)們也很容易接受。

在這里，我們把教學(xué)的難點(diǎn)進(jìn)行了分開講解，降低了教學(xué)的難度。

在下冊中，講到隱函數(shù)方程組求導(dǎo)時(shí)，也是一個(gè)難點(diǎn)，我們主要教給學(xué)生如何判別變量的類型，這種方法主要是分清楚變量的兩種類型，即因變量、自變量。這樣才能以不變應(yīng)萬變，做任何題目才能胸有成竹，下面我們舉兩個(gè)例子進(jìn)行解釋。

例1： x+y+z=0

x2+y2+z2=1 ， 求 dx dz

解：[分析：從題目所求的導(dǎo)數(shù)知道，原方程組的三個(gè)變量中，x是因變量，z是自變量，由于兩個(gè)方程組成的方程組可以求解出兩個(gè)變量，可知變量y也是因變量，即變量x，y分別是z的一元函數(shù)。

方程組兩邊對(duì)變量z求導(dǎo)，得：

dx dz + dy dz +1=0

2x dx dz +2y dx dz +2z=0

求解方程組得到，? dx dz = y-z x-y

dy dz = z-x x-y

例2：設(shè)y=f（x，t），而t是由方程F（x，y，t）=0所確定的x，y的函數(shù)，其中f，F(xiàn)都具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試證明：

dy dx =? f x? F t - f t? F x? ?f t? F y + F t

解：[分析：這是教材上比較難的一個(gè)題目，但我們只要分清楚變量的類型，就很容易解決，從要證明的結(jié)論知道變量y是變量x的一元函數(shù)，從而在方程組 y=f（x，t）

F（x，y，t）=0 中，變量t也是x的一元函數(shù)，這樣一來，這題和上面的例1解法就一樣了，只是例2是抽象函數(shù)，而例1是一個(gè)具體的函數(shù)而已。]

對(duì)方程組 y=f（x，t）

F（x，y，t）=0 兩邊對(duì)變量x求導(dǎo)，得：

dy dx = f x + f t? dt dx

F x + F y? dy dx + F t? dt dx =0

求解上式可解出 dy dx =? f x? F t - f t? F x? ?f t? F y + F t? ，證明完畢。

下面是關(guān)于《高等數(shù)學(xué)》（見參考文獻(xiàn)[1]）第七章第八節(jié)一個(gè)教學(xué)內(nèi)容的處理：

在這節(jié)的教學(xué)中，我們給學(xué)生講解針對(duì)不同的非齊次項(xiàng)，如何求出特解的形式，然后代入原來的微分方程，從而求出特解的具體表達(dá)式。我們在教學(xué)中大都告訴學(xué)生，對(duì)于第一種情形，我們可以僅僅代入特解中的多項(xiàng)式函數(shù)，不用代入整個(gè)函數(shù)，這是因?yàn)槲覀冊谧C明特解的形式時(shí)，就已經(jīng)得到了如下的結(jié)論：

Q″+（2λ+p）Q′+（λ2+pλ+q）Q=Pn（x）eλx

其中λ，Pn（x），eλx（見參考文獻(xiàn)[1]）。

顯然，我們這樣計(jì)算非常簡便。那么，第二種特解形式有沒有同樣的簡便過程呢？教材上沒有對(duì)這一問題進(jìn)行講解。從而導(dǎo)致在學(xué)習(xí)這段內(nèi)容的時(shí)候，很多同學(xué)只能把兩種類型分開去學(xué)習(xí)，產(chǎn)生了一些困難。由于第二種類型更加難于理解，也使得一些同學(xué)產(chǎn)生了厭學(xué)情緒。其實(shí)這個(gè)問題我們可以和第一種特解形式一樣的處理。

下面我們就推導(dǎo)這一過程。

設(shè)y*（x）=eλx（R1（x）coswx+R2（x）sinwx），代入y″+py′+q，得：

R1″（x）+（2λ+p）R1′+（λ2+pλ+q-w2）R1+2wR2′+（2λw+pw）R2=Pl（x）? ?（1）

R2″（x）+（2λ+p）R2′+（λ2+pλ+q-w2）R2-2wR1′-（2λw+pw）R1=Pm（x）? ?（2）

下面我們合并（1）+i（2），得：

R1″（x）+（2（λ-iw）+p）R1′+（（λ-iw）2+p（λ-iw）+q）R1+i[R2″（x）+（2（λ-iw）+p）R2′+（（λ-iw）2+p（λ-iw）+q）R2]

=Pl（x）+iQn（x） （3）

兩端實(shí)部、虛部分別對(duì)應(yīng)，即可得到（1）和（2）式。

這樣，我們就把非齊次項(xiàng)兩種類型統(tǒng)一的用一種簡便的形式進(jìn)行求解，這在具體求解時(shí)非常的方便，下面我們例說明：

例3見參考文獻(xiàn)[1]：求微分方程y″-y=excos2x的一個(gè)特解。

解：特征方程為r2-1=0，所以λ-iw=1-2i不是特征方程的根，從而設(shè)特解為y*（x）=ex（acos2x+bsin2x），代入（3）式，得：

（（1-i2）2-1）a+i[（（1-i2）2-1）b]=1+i0

即（-4-4i）a+i[（-4-4i）b]=1+i0，從而 -4a+4b=1

-4a-4b=0 ，從而 a=- 1 8

b= 1 8? 。

因此所給方程的一個(gè)特解為y*（x）= 1 8 ex（-cos2x+sin2x）。

注：我們可以和書本[1]上的解法進(jìn)行比較，可知我們的解法簡便。為了簡潔，在此省略書本[1]上的解題過程。

眾所周知，處理好教學(xué)內(nèi)容對(duì)于教學(xué)質(zhì)量的提高有很大的幫助，當(dāng)然對(duì)于我們教師的教學(xué)工作也有很大的促進(jìn)作用，能夠使得我們教師對(duì)教材有更深的理解和掌握。這樣，我們在教學(xué)中才能駕熟就輕，游刃有余，才能保證教給同學(xué)一滴水，自己要有一桶水的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].高等教育出版社，2014.

作者簡介： 吳彥強(qiáng)（1976—），男，漢族，江蘇徐州，博士，副教授，研究方向：非線性分析。