初中幾何常見輔助線的添加技巧

黃雅梅

“人說幾何很困難，難點就在輔助線”，該怎樣添加輔助線，一直是讓學生最頭疼的問題.初中數(shù)學幾何題型添加輔助線的現(xiàn)狀一般如下：掌握添加輔助線技巧的學生，在遇到需要添加輔助線的題型時，往往能準確添加恰當?shù)妮o助線，迅速解題;有些學生遇到添加輔助線的幾何證明題時，不知道該往哪方面入手，產(chǎn)出害怕的心理;大部分學生不知道如何在錯綜復雜的幾何圖形去添加合適的輔助線;有些學生認為添加輔助線是靠運氣的，隨便添加就可以了，運氣好問題就會自然解決;輔助線的添加技巧難度很大，沒有特定的模式，得長期磨練，不合適的輔助線會使圖形變得更凌亂，使問題變得更復雜，不利于學生發(fā)現(xiàn)和展開解題思路;學生停留在模仿做老師講過題型，遇到需要添加輔助線的新題型束手無策.針對初中數(shù)學幾何題型添加輔助線的現(xiàn)狀，我們需要掌握幾種常見圖形添加輔助線的技巧.

一、三角形中常用輔助線的添加技巧

1.在等腰三角形中，常見輔助線添加技巧一般有：①作底邊的高（或者作底邊的中線或頂角平分線）;②倍長一條腰;③平移腰，使其構(gòu)成一個新的等腰三角形.

例：如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D、E在底邊BC上，AD=AE，

求證： BD=CE.

思路分析：由題目知AB=AC，AD=AE，△ABC是等腰三角形，所以△ADE也是等腰三角形 ，而所求線段BD、CE在底邊BC上，過頂點A向底邊BC作高，可以根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)來證明BD=CE.當然，也可以證明△ABD和△ACE全等，然后得出BD=CE.

2.在直角三角形中，常用輔助線的添加技巧一般有：①過直角頂點向斜邊作高;②在直角三角形的斜邊上作中線或加倍延長一條直角邊，將圖形轉(zhuǎn)化為等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解題;③構(gòu)造新的直角三角形.

3.在全等三角形中，常見輔助線的添加技巧一般有：①構(gòu)造中心對稱型全等三角形;②構(gòu)造軸對稱型全等三角形;③根據(jù)圖形的特征恰當作輔助線，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形;④通常出現(xiàn)有對應邊平行、同位角相等時，可以考慮平移型全等三角形;⑤構(gòu)造翻折型全等三角形;⑥構(gòu)造全等三角形.

例：如圖，在三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AC邊上的其中一點，BE和AD相交于點F，如果AE=EF.證明：AC=BF.

思路分析：根據(jù)三角形全等來證AC=BF.由圖可以看出AC、BF所在的三角形不是全等三角形.可以把AC、BF移到同一個三角形，根據(jù)等角對等邊來證明.

4.在相似三角形中，常見輔助線的添加技巧一般有：①作平行線;②根據(jù)“三點定形”構(gòu)造相似三角形.

例：如圖，DF與AB相交于點E，DF與AC相交于點F，DF與CB的延長線相交于點D，BE=FC.求證：DF∶DE=AB∶AC

思路分析：題中要證明線段與線段之間的比例相等，但給出的圖形中沒有相似三角形，過點E作EG與AC平行，這樣可以找到與DF∶DE和AB∶AC有關(guān)相等的線段比，有利于證題.

二、 四邊形中常見輔助線的添加技巧

1.在一般四邊形中，普遍地，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形是解決四邊形的主要思路.所以，在一般四邊形中常用輔助線的添加方法有：①連對角線;②延長對邊;③根據(jù)題中已知的特殊條件，將一般四邊形轉(zhuǎn)變成特殊四邊形和三角形兩部分.

例：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=3，則AB=（ ? ）

A.4 ? ?B.5 ? C. ? ?D.

思路分析：由題目∠A=60°，∠ABC=90°，可以聯(lián)想到把AD、BC延長，使其交于點G，則可得出含有30°的直角三角形，從而四邊形問題可以轉(zhuǎn)化到三角形問題中去解決.

2、在平行四邊形中，常用輔助線的添加技巧一般有：①把平行四邊形中的對角線連接起來，以便構(gòu)造全等三角形;②平移對角線;③過頂點向兩邊作垂線;④把頂點延長與一邊的中點連線，使圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槿切?⑤過平行四邊形的頂點，作對角線的垂線;⑥將一邊的中點與對角線的交點連接;⑦延長以一邊的中點作為端點的線段.

3.在梯形中，常用輔助線的添加技巧一般有：①作垂線;②平移其中一條腰，將一梯形分成一個三角形和一個平行四邊形;③延長兩腰;平移梯形的一條對角線，將梯形變成一個三角形;④將梯形的對角線連接，使梯形分為若干個三角形;⑤將梯形的一個頂點和一條腰的中點連接，使梯形構(gòu)成一個三角形;⑥過一條腰的中點向另一條腰作平行線，使梯形割補成平行四邊形.

三、多邊形中常見輔助線的添加技巧

在題中遇到多邊形時，一般將多邊形問題轉(zhuǎn)變成三角形和特殊四邊形問題來解決.

四、圓中常見輔助線的添加技巧

圓是初中數(shù)學幾何的重要組成部分，與圓有關(guān)的幾何題型很多都需要通過添加輔助線來完成.若能準確確添加相關(guān)的輔助線，問題便可以迅速解決.在圓中常見輔助線的添加技巧一般有：①作弦心距;②連半徑;③作弦心距且連半徑;④連接弦;⑤作直徑;⑥連公共弦或連連心線;⑦作公切線.

雖然添加輔助線的方法千變?nèi)f化，但也是有規(guī)律的，只要我們認真觀察，反復推敲，就會容易看出它們的規(guī)律所在.興趣是最好的老師，學生不能因為不懂如何添加輔助線就害怕而退縮，而是要多做、多練、多總結(jié).遇到需要添加輔助線的題型時，首先應認真分析，找出合適的輔助線.通過深思、多想、勤做、善總結(jié)，必然性和規(guī)律性便容易凸現(xiàn)，遇到無從下手的問題便逐步減少.