函數(shù)與方程思想在解題中的應用及其教學策略

關(guān)香貽

摘要：數(shù)學思想方法一直都是高考考查的重點內(nèi)容，而函數(shù)與方程思想方法正是其中其一，是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，占據(jù)了重要的地位。必須要在教學的過程中深刻理解函數(shù)的本質(zhì)，從函數(shù)與方程思想的角度指導學生解題，才能幫助學生提高解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學思想方法，函數(shù)與方程思想方法，數(shù)學，函數(shù)思想

一、函數(shù)與方程思想方法分析

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中一類重要變化規(guī)律（運動變化）的模型，反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律。函數(shù)思想的實質(zhì)是：用聯(lián)系及變化的觀點提出（數(shù)學對象）——抽象（數(shù)量特征）——建立（函數(shù)關(guān)系），即從已知事物中提煉數(shù)學語言，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再用函數(shù)關(guān)系解決問題。函數(shù)思想方法的應用非常廣泛——建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)圖象及其性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，和解決問題。函數(shù)思想是高中數(shù)學中最重要的數(shù)學思想方法之一。

高中涉及的函數(shù)很多，比如：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、復合函數(shù)等等。還包括定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，周期性，以及與圖像的聯(lián)系等函數(shù)的性質(zhì)。方程，不等式，數(shù)列等等同樣是與函數(shù)有關(guān)的知識點。

二、在解題中的應用

（一）在導數(shù)中的應用

一個函數(shù)的導函數(shù)仍然是函數(shù)，通過研究導函數(shù)圖象和性質(zhì)可以研究原函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

【例1】 的極值點，則 的極小值為（）

A.-1 ? ? ? ? ? ?B. ? ? ? ? ? ? ? ?C. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.1

【評注】在利用導數(shù)求函數(shù)的極值（零點或最值）的過程中，都需要經(jīng)過列方程（組）的過程。

【解析】因為

所以 ?.

因為 是函數(shù) 的極值點，所以-2是 的根，所以 ， 。令 ，解得 令 ，解得 ，

所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，所以當 時， 取得極小值，且 選擇A。

（二）在數(shù)列中的應用

數(shù)列是定義在正整數(shù)集或它的有限子集上的函數(shù)。因此，在研究數(shù)列的最大（?。╉椉扒?項和的最值等問題中，應當注意把函數(shù)的有關(guān)知識融入到數(shù)列中。

【評注】先求出數(shù)列的首項 和公差 ，再將 表示為 的三次函數(shù)，利用函數(shù)相關(guān)知識求解。

【評注】數(shù)列是定義域為正整數(shù)的一種特殊函數(shù)，利用函數(shù)思想處理數(shù)列是最常見的方法。

（三）在解析幾何中的應用

【評注】第（1）問中通過聯(lián)立方程，證明直線 與 的斜率之積為-1即可;第（2）問根據(jù)（1）及 的坐標即可求解。

（四）在不等式中的應用

通常采用構(gòu)造函數(shù)的方法處理有關(guān)不等式的恒成立、不等式有解的問題，利用函數(shù)的圖像或者性質(zhì)等進行轉(zhuǎn)化，確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍或是最值，解決問題。解決問題前要先弄清是對哪個變量恒成立，變量的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)類型求最值。

【例5】設(shè)函數(shù) 若存在唯一的整數(shù) 使得 ，則 的取值范圍是（）

B. ? ? ? ? ?C. ? ? ? ? ? ? D.

【評注】本題通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解參數(shù)的取值范圍。

【解析】由題意可知存在唯一的的整數(shù) ，使得 ，設(shè) ，

，由 可知 在 上單調(diào)遞減，在 上 單調(diào)遞增，作出 與 的大致圖象，故 ，即 ，所以 ，故選D。

【評注】當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與兩數(shù)的和時，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信息，構(gòu)造方程后再利用方程知識可巧妙解決問題。

三、教學策略

（一）有序性策略

數(shù)學概念和原理是數(shù)學思想方法的載體。數(shù)學概念發(fā)展的有序性是由數(shù)學的邏輯性決定的，因此思想方法的產(chǎn)生與發(fā)展也具有一定的順序性。概括性高、統(tǒng)攝性強等都是函數(shù)與方程思想的特點。函數(shù)與方程思想的形成需要經(jīng)歷較長的過程，因此，教學過程需要有序性。

（二）過程性策略

掌握數(shù)學思想方法需要經(jīng)過模仿——領(lǐng)悟——應用的過程，由淺入深、循序漸進便是函數(shù)與方程思想的教學的過程。函數(shù)與方程思想的教學需要教師精心撰寫相關(guān)的教學方案，有計劃地安排教學活動，幫助學生領(lǐng)悟思想方法，這就需要一個循序漸進的過程。

（三）變式策略

在認知心理學中，問題的變化性讓解決問題的策略也具有了變化性。能否清楚地識別出問題的本質(zhì)特征然后選擇合適的解題策略決定了學習者能否順利解決問題。認知心理學認為，“程序化、自動化”的決策行為是有害的，會產(chǎn)生“定勢效應”。因此，“雙基”教學不提倡“題型訓練”的行為，而是提倡教師讓學習者在有變化性條件的問題中進行聯(lián)系，進行變式教學，使學生能在具體情境中作出正確的判斷。

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