構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

張 遠(yuǎn)

(江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué) 225119)

作為一種具有轉(zhuǎn)化性質(zhì)的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中憑借自身的優(yōu)勢得到了廣泛的應(yīng)用.通過對構(gòu)造函數(shù)的運(yùn)用，能夠?qū)?fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)變成學(xué)生熟悉、善于解決的問題形式，從而將數(shù)學(xué)問題由復(fù)雜化像簡單化的方向轉(zhuǎn)變.在具體應(yīng)用過程中，要詳細(xì)分析題目中給出的已知條件，并運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方式，將向量、方程式、算數(shù)等問題進(jìn)行構(gòu)造，在此基礎(chǔ)上，將得到的構(gòu)造函數(shù)結(jié)合到題目給出的條件或者結(jié)論，得到對應(yīng)的方程式.構(gòu)造函數(shù)在高中階段是一種具有多元化特點(diǎn)的解題工具，因此加大培養(yǎng)學(xué)生使用構(gòu)造函數(shù)的力度，能夠在一定程度上提升學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力.

一、構(gòu)造函數(shù)法的基本內(nèi)涵

根據(jù)對高中數(shù)學(xué)解題方法展開的大量實(shí)際調(diào)查研究能夠知道，在解決高中數(shù)學(xué)問題的過程中，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的思維和方法，能夠在很大程度上降低數(shù)學(xué)題的難度.對數(shù)學(xué)問題的題干進(jìn)行梳理、對內(nèi)容進(jìn)行分析，結(jié)合新的函數(shù)、方法、圖形等手段，將原本抽象、復(fù)雜、模糊的數(shù)學(xué)問題變得具體、簡單、清晰，使學(xué)生通過解決多個簡單的數(shù)學(xué)問題將一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題有效解決，這就是構(gòu)造函數(shù)發(fā)揮作用的具體流程.對于構(gòu)造函數(shù)解題方式而言，是一種具有較高的創(chuàng)造性和靈活性的函數(shù)形式，通過解答問題產(chǎn)生的一種有效的解題模式.通過對原題進(jìn)行仔細(xì)的分析，構(gòu)造出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，并且結(jié)合題目對構(gòu)造出的函數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格的分析和整理，從而得到正確答案，保證學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的高效性.在利用構(gòu)造函數(shù)方法解決數(shù)學(xué)問題的過程中需要注意，構(gòu)造出的數(shù)學(xué)函數(shù)必須具備以下幾個特點(diǎn)，第一，函數(shù)的建立必須能夠與原題之間保持有效的聯(lián)系.第二，必須保證構(gòu)建出的函數(shù)具有的解題難度比原有解決方法的難度小.第三，構(gòu)造出的函數(shù)在周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域等方面必須與題目相符，這樣能夠有效杜絕構(gòu)造函數(shù)錯誤的情況發(fā)生.第四，要結(jié)合題目的內(nèi)容進(jìn)行對應(yīng)函數(shù)的構(gòu)造.除此之外，在進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造的過程中還需要注意，要對命題的條件、結(jié)論、特點(diǎn)等進(jìn)行分析，通過提取出其中的邏輯、構(gòu)想等，依照題目條件進(jìn)行重新組合，從而得出解題所需要的構(gòu)造函數(shù).對函數(shù)進(jìn)行觀察和分析，從而分析條件與結(jié)論的聯(lián)系.

二、構(gòu)造函數(shù)法之高次函數(shù)構(gòu)造

在利用構(gòu)造函數(shù)解決高次函數(shù)問題時，可以對高次函數(shù)的題目進(jìn)行分析，通過對小問題的逐個解決，將高次函數(shù)問題正確解答.比如，在解答范圍求解相關(guān)問題的過程中，可以通過構(gòu)建高次函數(shù)的方式，將題目給出的已知條件進(jìn)行有效的利用.

問題如果當(dāng)sin3θ-cos3θ>cos5θ-sin5θ，θ∈(0,2π)的不等式關(guān)系存在時，題目中角θ的范圍值是多少？

解根據(jù)題目sin3θ-cos3θ>cos5θ-sin5θ，θ∈(0,2π)能夠知道sin3θ+sin5θ>cos3θ+cos5θ.此時，假設(shè)f(x)=x3+x5，不等式能夠成立，并且函數(shù)f(x)=x3+x5在(-，+)范圍中，屬于增函數(shù)，那么，能夠得到不等式f(sinθ)>f(cosθ)之間的關(guān)系，因此，根據(jù)上述分析能夠確定sinθ>cosθ.與此同時，由于θ∈(0,2π)，所以能夠得到結(jié)果

通過對以上問題的解決能夠看出，運(yùn)用的就是高次函數(shù)f(x)=x3+x5的構(gòu)造方式，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)具有的單調(diào)性特點(diǎn)，對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這樣，就能將角θ的取值范圍準(zhǔn)確地求出.

三、函數(shù)構(gòu)造法之指數(shù)函數(shù)構(gòu)造

在運(yùn)用構(gòu)造指數(shù)函數(shù)解決高中數(shù)學(xué)問題的過程中，能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成簡單的問題，使學(xué)生在解決簡單數(shù)學(xué)問題的同時，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題有效解決.

問題已知一個三角形的三條邊分別為a、b、c，并且它們之間存在一定的關(guān)系a2+b2=c2.現(xiàn)設(shè)n表示某個正整數(shù)，并且n>2，那么，cn>an+bn的不等式關(guān)系是否成立.

四、函數(shù)構(gòu)造法之一次函數(shù)構(gòu)造

在運(yùn)用一次函數(shù)構(gòu)造的方式解決數(shù)學(xué)問題的過程中能夠發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造函數(shù)的使用能夠?qū)?shù)學(xué)問題的難度有效降低，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的信心.

問題如果不等式2x-1>m(x2-1)在|m|≤2|的條件下成立，求未知數(shù)x的取值范圍.

解在解決這道數(shù)學(xué)問題時，要先將題目中給出的不等式條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變成(x2-1)m-(2x-1)<0，然后對該不等式進(jìn)行一次函數(shù)的構(gòu)造，使之以(x2-1)m-(2x-1)<0(其中|m|≤2)的形式呈現(xiàn)出來.在此基礎(chǔ)上，按照該不等式的一次函數(shù)實(shí)際圖象具有的基本性質(zhì)進(jìn)行計算，從而能夠得到的不等式關(guān)系f(2)<0,f(-2)<0，就能得到具體x的取值范圍.

五、函數(shù)構(gòu)造法之二次函數(shù)構(gòu)造

在解決下列數(shù)學(xué)問題時，將構(gòu)造函數(shù)的方式結(jié)合其中，能夠?qū)栴}的難度有效降低，使學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的興趣和能力有效提高.

問題如果a,b,c∈R，并且a+b+c=1,，a2+b2+c2=1，那么a的取值范圍是多少？

解在解決這個數(shù)學(xué)問題時，要對題目中給出的已知條件進(jìn)行詳細(xì)的分析，然后將關(guān)系式a+b+c=1轉(zhuǎn)變成b+c=1-a，將關(guān)系式a2+b2+c2=1轉(zhuǎn)變成b2+c2=1-a2.在此基礎(chǔ)上進(jìn)行二次函數(shù)的構(gòu)造，得到函數(shù)f(x)=2x2-2(b+c)x+b2+c2=(x-b)2+(x-c)2≥0，從而得到關(guān)系式Δ=4(b+c)2-8(b2+c2)≤0，在此基礎(chǔ)上，對該不等式進(jìn)行更深一步的化簡，得到4(1-a)2-8(1-a2)≤0，最終，通過計算得到a的取值范圍.

針對上述類型的數(shù)學(xué)問題而言，在解決的過程中的關(guān)鍵點(diǎn)是將b+c和b2+c2看作是一個整體，以此為基礎(chǔ)，通過利用二次函數(shù)構(gòu)造的方式對原等式進(jìn)行簡化，得到原等式的不等式關(guān)系，從而得到正確的結(jié)論.

綜上所述，根據(jù)以上針對構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，展開的系統(tǒng)性分析，我們能夠更加深入地了解構(gòu)造函數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的重要性.作為高中階段數(shù)學(xué)知識重要的組成部分之一，函數(shù)本身占居了重要的地位，而在解決數(shù)學(xué)問題中運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方式，也是一種有效的解題思路，不但能夠使學(xué)生的解題思維水平提升并擴(kuò)展，還能將學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力有效提升.因此，加強(qiáng)對構(gòu)造函數(shù)的重視力度，掌握運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的技巧，有效提升學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).