展現(xiàn)思維過程 發(fā)展核心素養(yǎng)
——以“圓錐曲線定點問題”說題教學為例

錢夢迪

(江蘇省常熟市中學 215500)

關注學生學什么、怎樣學，如何引導學生把握所授內(nèi)容的本質(zhì)，有效提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)成為當前教師關注的焦點.而作為一種新型的學科教研形式，說題教學活動不僅能夠使學生內(nèi)隱的思維顯性化，而且也能促進師生互動，引導學生學會學習、學會思考，因此，以說題教學活動為契機，發(fā)展學生核心素養(yǎng)具有重要的意義.

一、基于數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的說題教學活動價值

1.營造寬松愉悅氛圍，激發(fā)學生“說”的欲望

數(shù)學交流不僅是知識的交流，更是情感的交融，教師務必引導學生走出“啞巴數(shù)學”思維定勢，搭建一個平等的師生交流平臺，讓學生在不用擔心說錯的氛圍下自由表達，激發(fā)學生“說”的欲望.例如，在“圓錐曲線定點問題”說解題思路時，筆者盡可能地鼓勵學生表達自己對于所呈現(xiàn)問題的真實想法，充分暴露自己的思維和學習狀態(tài).

2.采用多元化教學模式，豐富學生對說題的認識及理解

為了讓每個學生都能主動參與教學，準確把握說題教學這種方式，教師應組織學生通過開展小組合作說題、實施案例分析等多元化方式引導學生主動融入說題過程，思考自己如何說，說什么，應該注意什么，以及說題的具體流程等.

3.拓展延伸教學，提高學生的學習能力

為了提升學生的說題學習效率以及學習能力，教師應通過設計問題串的形式，適當改變題目中的背景、條件、結(jié)論以及提問方式等引導學生得出一般性的數(shù)學規(guī)律，或者在布置課后作業(yè)中，要求學生闡述解題的過程，以及由此解題過程所拓展和延伸的思路以及其他知識點.

4.注重“形異實同”題目練習，提升學生的學習效率

為了深化學生學習效果，教師應引導學生將習題練習中遇到的“形異實同”問題集中起來，要求學生通過說題的方式分析解題思路及策略，并有針對性地將“形異實同”問題所涉及的數(shù)學知識點提煉出來，及時總結(jié)形成知識網(wǎng)絡和解決該類問題時應該注意的事項.

二、高中數(shù)學說題教學活動實踐

教學策略離不開具體實踐，而“圓錐曲線定點問題”一直是歷年高考中得分率較低的題型，其運算能力要求高、綜合性較強，而且承載著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法的考查任務，因此，為了研究的深入，筆者呈現(xiàn)如下“圓錐曲線定點問題”進行探究：

①試求橢圓C的方程；②不經(jīng)過點P2(0,1)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，并且直線P2A與P2B的斜率之和等于-1，證明直線l必經(jīng)過一定點.

1.說命題立意—突出數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)

命題立意是試題的核心，在說命題立意時，既要說題目中考查了那些知識點和數(shù)學思想，引導學生概括出問題的實質(zhì)，又要說可以通過那些方法得以問題解決.

例如，上述題目考查的內(nèi)容主要涉及平面解析幾何知識，通常情況下是利用方程和數(shù)形結(jié)合思想進行分析和解答，還可以通過靈活應用代數(shù)表達式以及圖形的幾何特征逐步優(yōu)化.具體而言，第一小問主要考查的是學生的邏輯推理能力，不能盲目地將四個點都代入方程進行求解，而應利用橢圓的對稱性質(zhì)，選擇合適的點進行代入.而第二小問主要考查的是學生的數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算等能力，可以通過思維導圖進行大膽分析.

2.說解題策略—落實數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)

說解題策略能讓學生在問題情境中分析問題、解決問題、構建模型，在說解題策略時，教師應有意識地讓學生說出自己解決該問題的具體解題思路，并展示解題過程.

在求解第二問時，從點切入和線切入兩個角度尋找?guī)缀侮P系.其中，在點切入時，可以從點A、B入手，利用代數(shù)特征進行優(yōu)化，還可以從定點入手，建立等式進行求解.值得說明的是，在利用斜截式或點斜式假設直線方程時，務必對斜率的存在性進行分類討論.在線切入時，可以直接假設直線AB，然后通過尋找b和k之間的關系，或者利用曲線的線性代換獲得kP2A和kP2B的參數(shù)關系.還可以事先假設P2A與P2B的方程，進而求出直線方程AB.在此基礎上，然后按照聯(lián)立、代入消元等解析幾何常見的解題思路進行求解，其上述解題思維導圖如圖1所示.值得說明的是，由于篇幅關系，具體解題過程在這里將不再一一贅述.

圖1

3.說變式引申—強化數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)

在呈現(xiàn)問題解決之后，教師還應對原題目進行變式與拓展，引導學生有意識地關注“形異實同”的問題，并應用類比思想系統(tǒng)地深入挖掘類似題目中所隱藏的一般性規(guī)律，從而達到“解一題、會一法、通一類”的學習效果.

例如，根據(jù)教學目標和要求，筆者設計了如下變式題目，要求學生通過說變式引申的方式對原有題目進行有效拓展：

變式2：若將點P(0,b)替換為任意定點P(x0,y0)，其他條件如同變式1，則上述結(jié)論是否成立.

變式3：若將變式1中的已知條件點P(0,b)替換為任意定點P(x0,y0)，kPA+kPB=m變換為kPA·kPB=m(m為一定值)，則上述結(jié)論是否成立.

變式5:如圖2所示，已知拋物線y2=x，過拋物線上的一點M作直線MF、ME分別交x軸于A、B兩點，并且MA=MB.

圖2

①若點M為一定點，則EF的斜率為定值；

②若點M為一動點，∠EMF=90°,試求△EMF重心的軌跡方程.

4.說反思總結(jié)—提升數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)

反思總結(jié)是提升學生能力的重要方法，教師應引導學生利用魚骨圖、概念圖、思維導圖等思維可視化手段建構知識框架，并將解題過程中的解題思想、存在的困惑或?qū)W習心得等通過說反思的方式促進所學知識與方法融會貫通，加深學生對所學知識的理解.

例如，學生在求解“圓錐曲線定點問題”時往往存在以下幾個難點：一是研究對象多，不能從題目中獲取有效的信息；二是探究過程中思維不嚴密，常常漏掉某些基本信息而出錯；三是由于點或直線存在變動，學生難以準確分析過程，感覺無從下手；四是學習高中數(shù)學的信心有待提高，忘而生畏的現(xiàn)象較為突出.因此，這就要求學生在說題過程中注意以下幾個方面：一是要養(yǎng)成良好的審題技巧，善于從復雜問題情境中發(fā)現(xiàn)隱含條件；二是注重過程分析，大致把握解題過程中要應用到那些數(shù)學思想和方法，找到數(shù)學問題解決的突破口；三是加強變式訓練，進一步掌握“形異實同”問題的解題思路和規(guī)律，切實提升數(shù)學知識的遷移能力.

總之，我們應以培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為前提，引導學生通過說題教學活動，不斷展現(xiàn)思維過程，深入理解類似問題的解題規(guī)律和方法，同時，將說題所思延伸到日常教學中，引導學生通過說題活動提升學生對問題的認識和把握能力，不斷發(fā)展學生的數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).