關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)的教學(xué)探討

劉喜富

摘 要：離散型隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的重要內(nèi)容。如何根據(jù)分布律求解分布函數(shù)、或由分布函數(shù)反推分布律是教學(xué)過程中的重點(diǎn)與難點(diǎn)問題。本文通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的例題，對(duì)這方面的解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，便于學(xué)生學(xué)習(xí)掌握。

關(guān)鍵詞：離散型隨機(jī)變量;分布律;分布函數(shù)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是理工科、經(jīng)管等相關(guān)專業(yè)的必修課程，其概念和定理較多并且抽象，如果按照課本先給出定理，再證其正確性，顯得既突兀又枯燥，很難引起學(xué)生的興趣。在學(xué)習(xí)一維隨機(jī)變量和二維隨機(jī)變量時(shí)，這兩種隨機(jī)變量的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)是類似的平行結(jié)構(gòu)。而一維隨機(jī)變量相對(duì)簡(jiǎn)單，因此，通過知識(shí)點(diǎn)的對(duì)比，讓學(xué)生融入探索過程，積極思考，既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力，又使其在研究中學(xué)到新知識(shí)，同時(shí)，又使他們獲得一定的成就感，實(shí)在是一舉數(shù)得的好事情。下面我們以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的分布函數(shù)的求解為例，探究對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)的開發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行初步嘗試和探索。

一、分布函數(shù)與分布律

分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，并且分布函數(shù)具有良好的性質(zhì)，它使許多概率論問題得以簡(jiǎn)化而歸結(jié)為函數(shù)的運(yùn)算，因此掌握好分布函數(shù)是研究隨機(jī)變量的有效方法。

對(duì)于某個(gè)隨機(jī)變量X，如果它的全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，則稱X為一維離散型隨機(jī)變量;如果二維隨機(jī)變量（X， Y）全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì)，則稱（X， Y）為二維離散型隨機(jī)變量。通常，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，其概率分布通常用分布律來刻畫，已知分布律可以求分布函數(shù)，反之，已知分布函數(shù)便可以求分布律。因此，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，只要知道分布律或分布函數(shù)，它的概率分布就知道了。

在學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課程時(shí)，離散型隨機(jī)變量的分布律相對(duì)容易獲得，也容易由此得到一維離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，但是，很多學(xué)生對(duì)于如何求解二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)卻不知如何處理。本文通過實(shí)例講解，如何在一維離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的原理之上求解二維離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

然后，將任意一個(gè)x的區(qū)間與y的每一個(gè)區(qū)間組合，考察點(diǎn)（X， Y）落在該區(qū)域的情況。例如：

（1） 當(dāng)時(shí)，無論y屬于哪個(gè)區(qū)間，點(diǎn)（X， Y）都不會(huì)落在該區(qū)域;同理，對(duì)于時(shí)，也有一樣的結(jié)果。因此，此時(shí)。

（2） 當(dāng)，時(shí)，此時(shí)只有點(diǎn)落在該區(qū)域，于是;當(dāng)，時(shí)，此時(shí)只有點(diǎn)和落在該區(qū)域，于是。

（3） 當(dāng)，時(shí)，此時(shí)只有點(diǎn)和落在該區(qū)域，于是;當(dāng)，時(shí)，所有點(diǎn)均落在該區(qū)域，于是。

二、結(jié)束語

本文首先從一維離散型隨機(jī)變量的分布律出發(fā)，講解了如何求其分布函數(shù)，其中的關(guān)鍵在于將X的可能取值作為區(qū)間的分段點(diǎn)，同時(shí)也分析了怎么由分布函數(shù)求分布律的問題。其次，對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，根據(jù)一維離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算方法，分別將x和y進(jìn)行分段，然后考慮兩者的任意組合，進(jìn)而得到其分布函數(shù)，并且也介紹了如何根據(jù)聯(lián)合分布函數(shù)求其聯(lián)合分布律。這些方法需要在學(xué)習(xí)過程通過實(shí)例加以練習(xí)，達(dá)到理解和掌握的目標(biāo)。

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