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    數(shù)學(xué)教師的類化策略研究

    2020-07-16 03:39:43鐘建林
    教學(xué)與管理(理論版) 2020年5期
    關(guān)鍵詞:教育科研

    摘? ?要? ? 數(shù)學(xué)教師經(jīng)常跟具體的題目打交道,對(duì)這些具有特殊性的具體問題進(jìn)行研究,具有重要的實(shí)踐價(jià)值。若能跳出對(duì)問題具體信息等的局限,將具體問題抽象為某類問題,將研究視角從“題”轉(zhuǎn)向“類”,就會(huì)產(chǎn)生更大的價(jià)值。類化研究的基礎(chǔ)是采用發(fā)散、抽象、分類等策略將“題”變?yōu)椤邦悺?,關(guān)鍵是在研究過(guò)程中采用符號(hào)化、模型化、概念化等策略研究類問題的共性特征,其結(jié)果體現(xiàn)出知識(shí)、策略、思維等層面的多重價(jià)值。類化,是教師尤其是數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的思維特質(zhì)和研究策略。

    關(guān)鍵詞? ?類化策略? 解題研究? 教育科研

    類化,原本是心理學(xué)概念,主要指概括出新問題、新知識(shí)與某些原有認(rèn)知的共同本質(zhì)特征,將新知納入與原有認(rèn)知相同的結(jié)構(gòu)中去。廣義的類化指將具有相同結(jié)構(gòu)、相同性質(zhì)、相同主題、相同信息的對(duì)象放到一起進(jìn)行類特征研究;狹義的類化主要指將具體的數(shù)學(xué)題目、問題抽象為某類具有相同結(jié)構(gòu)的問題,再進(jìn)行一般化研究,研究問題的通性,進(jìn)而尋求問題的通解。教師在教育教學(xué)實(shí)踐中面對(duì)的常常是特定的對(duì)象、特殊的情境和具體的教學(xué)事件,數(shù)學(xué)教師經(jīng)常跟具體的題目打交道,數(shù)學(xué)教學(xué)也可以說(shuō)就是數(shù)學(xué)解題的教學(xué)。對(duì)具有特殊性的具體問題進(jìn)行研究,具有重要的實(shí)踐價(jià)值,但若能將具體的問題抽象為某類問題,將研究視角從“題”轉(zhuǎn)向“類”,就會(huì)產(chǎn)生更大的研究?jī)r(jià)值。

    一、解題研究的現(xiàn)狀:類化不足

    1.缺乏類化研究的意識(shí)和視角

    數(shù)學(xué)教師習(xí)慣解具體的題目,解完題后想到的常常是“對(duì)不對(duì)”“還有沒有其他解法”,而不會(huì)想“這道題有哪些變式”“是否可以抽象成某類型的問題”。如部分教師按照“借1法”解完“老漢分?!眴栴}后,想到的是“結(jié)果對(duì)不對(duì)”“用按比例分配的方法可不可以解”等,有些教師甚至想到用極限的方法證明采用“借1法”所得結(jié)果的合理性。

    2.缺乏類化過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)和能力

    數(shù)學(xué)教師缺乏從數(shù)字、情境等非常具體的題目抽象出不同層級(jí)問題的經(jīng)驗(yàn)和能力。如把三個(gè)內(nèi)角分別為20°、40°、120°,20°、60°、100°的兩個(gè)三角形分別分解成兩個(gè)等腰三角形后,或算出1/6+1/3=1/2后,雖然想進(jìn)行類化研究,但不知從何入手。

    3.缺乏高度抽象的能力

    數(shù)學(xué)教師能將表層信息接近的同類具體題目進(jìn)行類化,但對(duì)深層結(jié)構(gòu)相同的問題難以類化。換言之,所研所得的類問題仍然相對(duì)具體,無(wú)法完成更抽象的類研究。如掌握了長(zhǎng)方形、梯形、三角形等三種圖形的面積計(jì)算公式,但無(wú)法將這三類公式抽象成(a+b)*h/2,或即使抽象出了這一公式但仍然難以靈活應(yīng)用。這種情況往往與數(shù)學(xué)教師缺乏極限思想、表征變式能力不強(qiáng)、本質(zhì)理解不深刻有關(guān)。

    4.缺乏概念化思維和能力

    數(shù)學(xué)教師感悟到某種類規(guī)律,但囿于沒有現(xiàn)成的概念、定理而無(wú)法清晰地呈現(xiàn)出類問題,更無(wú)法借助概念進(jìn)行深度的類化研究。如感悟到10個(gè)點(diǎn)、15個(gè)點(diǎn)、21個(gè)點(diǎn)的正三角形點(diǎn)陣中的規(guī)律,但無(wú)法借助正三角形點(diǎn)陣、正立型、傾斜型等概念完成研究。

    5.缺乏分解抽象問題的能力

    數(shù)學(xué)教師從具體問題抽象出某個(gè)類問題后,無(wú)法深入研究,更不知如何分步、分層切入。如根據(jù)1/6+1/3=1/2抽象出1/m+1/n=1/z(其中m,n,z為正整數(shù))后,不知從哪個(gè)角研究規(guī)律;即使想到了從z切入,也不知從z的哪種特征展開。數(shù)學(xué)教師缺乏將抽象問題研究變得可行的能力。

    二、類化研究的基礎(chǔ):變題為類

    基于類化思想對(duì)某個(gè)具體問題的研究起于“題”,終于“類”,要始終帶著“類”意識(shí),關(guān)注具體的問題信息和特定問題的解決,最終目標(biāo)是透過(guò)對(duì)具體“題”的分析,尋找通向“類”的可能,追求一類問題的解決。在研究具體問題時(shí),數(shù)學(xué)教師可采用以下策略。

    1.發(fā)散策略

    發(fā)散,即改變題目中具體的數(shù)據(jù)信息、對(duì)象信息、情境信息,再進(jìn)行類似的思考。如“老漢分?!眴栴}(老頭把17頭牛分給三個(gè)兒子,老大分得1/2,老二分得1/3,老三分得1/9)的經(jīng)典解法是“借1法”。這是一個(gè)非常具體的問題,采用發(fā)散策略可以使關(guān)注點(diǎn)從“題”轉(zhuǎn)向“類”,提升研究?jī)r(jià)值。具體發(fā)散思考如下:(1)如果分18頭牛,還可以用“借1法”嗎?如果分19頭牛呢?15頭牛呢?牛的頭數(shù)是哪些數(shù)時(shí),才可以用借1法?(2)存在適用“借2法”“借3法”的情況嗎?“借n法”呢?(3)分17頭牛時(shí)可以用“借1法”,分17畝稻田能先借1畝再分嗎?分17萬(wàn)元錢可以先借1萬(wàn)元再分嗎?分什么可以用“借1法”,分什么不可以用“借1法”?(4)如果1頭牛剛好值1萬(wàn)元錢,到底該不該用“借1法”呢?進(jìn)行這樣的發(fā)散性思考后,教師發(fā)現(xiàn)解決“老漢分?!眴栴}看似巧妙的“借1法”背后蘊(yùn)藏著諸多矛盾,而這些矛盾及其有效解決就是深入研究的價(jià)值所在。簡(jiǎn)言之,“老漢分?!眴栴}已經(jīng)不再是基于17頭牛這一特殊信息的問題,而需要基于牛的不同數(shù)量對(duì)“借1法”的存在性進(jìn)行討論,基于n的分類對(duì)“借n法”的存在性和所有解進(jìn)行討論,甚至對(duì)采用“借1法”解決“老漢分?!眴栴}的合理性進(jìn)行重新審視。

    2.抽象策略

    抽象,即將具體的信息變成概括的信息,使其具有類特征,最常見的是將具體的數(shù)換成代表某類數(shù)量的字母。如習(xí)題:“10個(gè)點(diǎn)如圖所示(見圖1)那樣放著,把這些點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),看看可以畫多少個(gè)正三角形?”[1]這道題具有極大的研究?jī)r(jià)值,教師可以在研究15個(gè)點(diǎn)、21個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上,將其抽象成“n階正三角形點(diǎn)陣中正三角形個(gè)數(shù)問題”并進(jìn)行研究。為了方便抽象,定義了如下概念:在一個(gè)正三角形三邊及內(nèi)部均勻分布著n行點(diǎn),如果這些點(diǎn)滿足:(1)包含三個(gè)頂點(diǎn);(2)三邊上都等距分布著n個(gè)點(diǎn);(3)第n行上均勻分布著n個(gè)點(diǎn),則我們稱這些點(diǎn)為n階正三角形點(diǎn)陣。在將具體的問題變成抽象問題時(shí),定義一些特殊的概念再進(jìn)行抽象,有時(shí)會(huì)更便于描述。

    3.分類策略

    分類,即選擇某種標(biāo)準(zhǔn),對(duì)具體問題進(jìn)行歸類,然后研究各類對(duì)象的特點(diǎn)。如“分等腰三角形問題”:“兩個(gè)三角形的內(nèi)角分別為:(1)20°,40°,120°;(2)20°,60°,100°,怎樣把每個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形?畫出圖形,試試看[2]”假設(shè)ΔABC的三個(gè)內(nèi)角從大到小排列為∠A≥∠B≥∠C,提出將ΔABC分成兩個(gè)等腰三角形只有兩種情況:(1)從A點(diǎn)引直線交BC于點(diǎn)D,將ΔABC分成ΔABD和ΔACD兩個(gè)等腰三角形。(2)從B點(diǎn)引直線交AC于點(diǎn)E,將ΔABC分成ΔABE和ΔBCE兩個(gè)等腰三角形。這樣的分類使原本針對(duì)兩個(gè)特殊度數(shù)三角形的具體問題變成了研究“將一個(gè)三角形分解成兩個(gè)等腰三角形分法存在性和具體分法”的類問題。采用分類策略,將題問題轉(zhuǎn)換為類問題的關(guān)鍵是找到分類的標(biāo)準(zhǔn),使所分之類具有清晰的特點(diǎn),且分類結(jié)果不交叉、不遺漏。

    三、類化研究的關(guān)鍵:關(guān)注共性

    將具體問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄蟮念悊栴}后,研究的視角將不再是某個(gè)具體問題的解決,而是這類問題的共性,因此要采用一定的策略。

    1.符號(hào)化策略

    符號(hào)化,即將具體問題變成抽象問題,將具體的數(shù)值解變成抽象的字母解,將解決問題的過(guò)程變成符號(hào)化的程序。如《用單位分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)解題》一文的研究充分體現(xiàn)了符號(hào)化思想:在準(zhǔn)備研究時(shí),將1/6+1/3=1/2符號(hào)化為1/m+1/n=1/z(其中m,n,z為正整數(shù));在研究過(guò)程中,對(duì)m、n、z的具體情況進(jìn)行討論,并總結(jié)出可論證的局部結(jié)論;在論述研究結(jié)果時(shí),將“單位分?jǐn)?shù)性質(zhì)P”表述為“若A是質(zhì)數(shù),則將1/A表示成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和有且僅有1/A=1/(2A)+1/(2A)和1/A=1/(A+1)+1/[A(A+1)]兩種表示法”[3]。符號(hào)化策略是論述每類數(shù)學(xué)問題和表述某類數(shù)學(xué)問題通解的必備策略。采用符號(hào)化策略,需要對(duì)符號(hào)的意義、取值范圍以及表述結(jié)果適用范圍等進(jìn)行清晰的界定或說(shuō)明。

    2.模型化策略

    模型化策略主要體現(xiàn)在三個(gè)方面:一要將問題模型化,即研究的不再是某個(gè)具體問題而是代表某類問題的模型;二要將結(jié)論模型化,即研究出來(lái)的結(jié)論要能解決該類問題,甚至可以經(jīng)遷移后解決其他問題;三要將過(guò)程模型化,即研究問題的過(guò)程具有一定的程序性、普適性,能夠?yàn)榻鉀Q類似的問題產(chǎn)生遷移價(jià)值。如研究“分等腰三角形問題”后可得出如下結(jié)論模型:“若一個(gè)三角形可分成兩個(gè)等腰三角形,其分法有且僅有以下規(guī)律:(1)有一個(gè)內(nèi)角為90°,則將該角分成與另兩個(gè)內(nèi)角相等的兩部分;(2)內(nèi)角分別為x°,2x°,180°-3x°,則將180°-3x2分成x°和180°-4x°;(3)內(nèi)角分別為x°,3x°,180°-4x°,則將3x°分成x°和2x°?!盵4]研究過(guò)程中采用的“分類—細(xì)分”策略以及“假設(shè)—求證—?dú)w納”策略也具有模型價(jià)值。

    3.概念化策略

    概念化,即為了研究問題的需要或者論述方便,在研究過(guò)程中自行界定某些概念。如研究“n階正三角形點(diǎn)陣中正三角形個(gè)數(shù)問題”不僅要界定“n階正三角形點(diǎn)陣”,而且要對(duì)可能畫出的正三角形類型進(jìn)行概念界定:(1)按放置位置分類,“正立型,指最下面的一邊水平;倒立型,指最上面的一邊水平;傾斜型,除了正立型和倒立型以外的其他正三角形”,同時(shí)配以圖示。(2)按邊長(zhǎng)分類,“正立型或倒立型正三角形記為i+i+i型正三角形,指每條邊上有i+1個(gè)點(diǎn)(即將相鄰兩點(diǎn)間的距離看作1);傾斜型三角形記為跨i行型正三角形,指該三角形的每條邊都穿過(guò)了點(diǎn)陣中的i+1行或列(包括頂點(diǎn)所在行或列)”,同時(shí)配以圖示。有了這些概念,再研究“n階正三角形點(diǎn)陣中正三角形個(gè)數(shù)問題”就顯得方便多了。概念界定,有助于清晰地概括復(fù)雜的對(duì)象,區(qū)分不同研究對(duì)象的類型,使陳述研究對(duì)象和思路、表述結(jié)論更簡(jiǎn)潔明了,更便于讀者理解和表達(dá)。

    四、類化研究的價(jià)值:多重取向

    類化使研究從點(diǎn)到面,使研究對(duì)象變得更抽象,研究過(guò)程變得更復(fù)雜,研究結(jié)果變得更普適,因此類化研究結(jié)果常常具有多重價(jià)值。

    《偷天換日的“借1法”》一文通過(guò)嚴(yán)密的論證得出結(jié)論:設(shè)被分的牛為m頭,老大、老二、老三依次分得這些牛的1/a、1/b、1/c,其中m、a、b、c都為正整數(shù),最終符合條件的(m,a,b,c)有且只有7組,即(41,2,3,7)、(23,2,3,8)、(19,2,4,5)、(17,2,3,9)、(11,2,3,12)、(11,2,4,6)、(7,2,4,8)[5]。這篇文章體現(xiàn)了多重價(jià)值:一是知識(shí)價(jià)值。不僅分析了“老漢分?!眴栴}的合理性和邏輯問題,而且求出了“三個(gè)兒子分?!笨捎谩敖?法”的所有可能分法。這有助于讀者擺脫具體數(shù)值和慣性思維,全面而深刻地認(rèn)識(shí)“老漢分?!眴栴},感性地了解合情推理與邏輯推理的異同。二是策略價(jià)值。遵循該文的研究思路,讀者完全可以解決如下問題:(1)老漢有2個(gè)兒子、4個(gè)兒子等情況下,適用“借1法”的所有可能情況。(2)老漢有3個(gè)兒子情況下,對(duì)某個(gè)具體的n(如n為2)而言,“借n法”的存在性以及所有可能情況。為討論方便,本文分別將其稱為思路1和思路2。借助該文中的研究策略,多數(shù)有興趣的讀者可以獨(dú)立完成思路1和思路2的研究。三是思維價(jià)值。該文給予讀者的思維價(jià)值至少體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:一方面,要批判性思考,對(duì)熟視無(wú)睹的問題和已有的結(jié)論進(jìn)行深刻的追問并且努力探尋背后的深層原因和學(xué)科價(jià)值,而不唯書、不唯結(jié)論。另一方面,要發(fā)散性思考,對(duì)具體問題展開發(fā)散性研究,逐步拓展研究視域和思維深度。除了思路1和思路2,讀者還可以探討“在老漢仍有三個(gè)兒子的前提下,對(duì)抽象的n而言,‘借n法的存在性以及所有存在的可能情況”(稱為思路3)和“m個(gè)兒子分n頭牛(其中m、n都為正整數(shù))”(稱為思路4)的抽象情況。從具體的“老漢分牛”問題,到抽象的“老漢分?!眴栴},再到研究思路1、2、3、4,這種發(fā)散、遞進(jìn)的研究思維,使簡(jiǎn)單的“老漢分?!眴栴}的研究逐步延伸到數(shù)論領(lǐng)域,其對(duì)研究思路的啟發(fā)價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于解決原問題的價(jià)值。

    研究一個(gè)個(gè)具體問題如同觀察森林中一棵棵形態(tài)各異的樹,容易被眾多樹木的枝葉遮蔽雙眼。這樣的解題研究容易演變成題海戰(zhàn)術(shù),演變成機(jī)械重復(fù)的解題操練。解題研究,要既見“題”,也見“類”,以“題”為切入點(diǎn)使“類”研究根植數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐,以“類”為經(jīng)緯線使“題”研究能以小見大,提升價(jià)值。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 華東師范大學(xué)出版社.數(shù)學(xué)(七年級(jí)下冊(cè))[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2013.

    [2] 華東師范大學(xué)出版社.數(shù)學(xué)(七年級(jí)下冊(cè))[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2001.

    [3] 鐘建林.用單位分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)解題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2004(03).

    [4] 鐘建林.什么樣的三角形可以分成兩個(gè)等腰三角形[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2005(05).

    [5] 鐘建林.偷天換日的“借1法”[A].小學(xué)數(shù)學(xué)主流話題、疑難問題透析[C].北京:教育科學(xué)出版社,2011.

    [作者:鐘建林(1976-),男,湖北紅安人,揚(yáng)州大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院,博士生,福建省教育科學(xué)研究所,副編審。]

    【責(zé)任編輯? 郭振玲】

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