數(shù)學(xué)教師的類化策略研究

摘? ?要? ? 數(shù)學(xué)教師經(jīng)常跟具體的題目打交道，對(duì)這些具有特殊性的具體問題進(jìn)行研究，具有重要的實(shí)踐價(jià)值。若能跳出對(duì)問題具體信息等的局限，將具體問題抽象為某類問題，將研究視角從“題”轉(zhuǎn)向“類”，就會(huì)產(chǎn)生更大的價(jià)值。類化研究的基礎(chǔ)是采用發(fā)散、抽象、分類等策略將“題”變?yōu)椤邦悺?，關(guān)鍵是在研究過(guò)程中采用符號(hào)化、模型化、概念化等策略研究類問題的共性特征，其結(jié)果體現(xiàn)出知識(shí)、策略、思維等層面的多重價(jià)值。類化，是教師尤其是數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的思維特質(zhì)和研究策略。

關(guān)鍵詞? ?類化策略? 解題研究? 教育科研

類化，原本是心理學(xué)概念，主要指概括出新問題、新知識(shí)與某些原有認(rèn)知的共同本質(zhì)特征，將新知納入與原有認(rèn)知相同的結(jié)構(gòu)中去。廣義的類化指將具有相同結(jié)構(gòu)、相同性質(zhì)、相同主題、相同信息的對(duì)象放到一起進(jìn)行類特征研究;狹義的類化主要指將具體的數(shù)學(xué)題目、問題抽象為某類具有相同結(jié)構(gòu)的問題，再進(jìn)行一般化研究，研究問題的通性，進(jìn)而尋求問題的通解。教師在教育教學(xué)實(shí)踐中面對(duì)的常常是特定的對(duì)象、特殊的情境和具體的教學(xué)事件，數(shù)學(xué)教師經(jīng)常跟具體的題目打交道，數(shù)學(xué)教學(xué)也可以說(shuō)就是數(shù)學(xué)解題的教學(xué)。對(duì)具有特殊性的具體問題進(jìn)行研究，具有重要的實(shí)踐價(jià)值，但若能將具體的問題抽象為某類問題，將研究視角從“題”轉(zhuǎn)向“類”，就會(huì)產(chǎn)生更大的研究?jī)r(jià)值。

一、解題研究的現(xiàn)狀：類化不足

1.缺乏類化研究的意識(shí)和視角

數(shù)學(xué)教師習(xí)慣解具體的題目，解完題后想到的常常是“對(duì)不對(duì)”“還有沒有其他解法”，而不會(huì)想“這道題有哪些變式”“是否可以抽象成某類型的問題”。如部分教師按照“借1法”解完“老漢分?！眴栴}后，想到的是“結(jié)果對(duì)不對(duì)”“用按比例分配的方法可不可以解”等，有些教師甚至想到用極限的方法證明采用“借1法”所得結(jié)果的合理性。

2.缺乏類化過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)和能力

數(shù)學(xué)教師缺乏從數(shù)字、情境等非常具體的題目抽象出不同層級(jí)問題的經(jīng)驗(yàn)和能力。如把三個(gè)內(nèi)角分別為20°、40°、120°，20°、60°、100°的兩個(gè)三角形分別分解成兩個(gè)等腰三角形后，或算出1/6+1/3=1/2后，雖然想進(jìn)行類化研究，但不知從何入手。

3.缺乏高度抽象的能力

數(shù)學(xué)教師能將表層信息接近的同類具體題目進(jìn)行類化，但對(duì)深層結(jié)構(gòu)相同的問題難以類化。換言之，所研所得的類問題仍然相對(duì)具體，無(wú)法完成更抽象的類研究。如掌握了長(zhǎng)方形、梯形、三角形等三種圖形的面積計(jì)算公式，但無(wú)法將這三類公式抽象成（a+b）*h/2，或即使抽象出了這一公式但仍然難以靈活應(yīng)用。這種情況往往與數(shù)學(xué)教師缺乏極限思想、表征變式能力不強(qiáng)、本質(zhì)理解不深刻有關(guān)。

4.缺乏概念化思維和能力

數(shù)學(xué)教師感悟到某種類規(guī)律，但囿于沒有現(xiàn)成的概念、定理而無(wú)法清晰地呈現(xiàn)出類問題，更無(wú)法借助概念進(jìn)行深度的類化研究。如感悟到10個(gè)點(diǎn)、15個(gè)點(diǎn)、21個(gè)點(diǎn)的正三角形點(diǎn)陣中的規(guī)律，但無(wú)法借助正三角形點(diǎn)陣、正立型、傾斜型等概念完成研究。

5.缺乏分解抽象問題的能力

數(shù)學(xué)教師從具體問題抽象出某個(gè)類問題后，無(wú)法深入研究，更不知如何分步、分層切入。如根據(jù)1/6+1/3=1/2抽象出1/m+1/n=1/z（其中m，n，z為正整數(shù)）后，不知從哪個(gè)角研究規(guī)律;即使想到了從z切入，也不知從z的哪種特征展開。數(shù)學(xué)教師缺乏將抽象問題研究變得可行的能力。

二、類化研究的基礎(chǔ)：變題為類

基于類化思想對(duì)某個(gè)具體問題的研究起于“題”，終于“類”，要始終帶著“類”意識(shí)，關(guān)注具體的問題信息和特定問題的解決，最終目標(biāo)是透過(guò)對(duì)具體“題”的分析，尋找通向“類”的可能，追求一類問題的解決。在研究具體問題時(shí)，數(shù)學(xué)教師可采用以下策略。

1.發(fā)散策略

發(fā)散，即改變題目中具體的數(shù)據(jù)信息、對(duì)象信息、情境信息，再進(jìn)行類似的思考。如“老漢分?！眴栴}（老頭把17頭牛分給三個(gè)兒子，老大分得1/2，老二分得1/3，老三分得1/9）的經(jīng)典解法是“借1法”。這是一個(gè)非常具體的問題，采用發(fā)散策略可以使關(guān)注點(diǎn)從“題”轉(zhuǎn)向“類”，提升研究?jī)r(jià)值。具體發(fā)散思考如下：（1）如果分18頭牛，還可以用“借1法”嗎？如果分19頭牛呢？15頭牛呢？牛的頭數(shù)是哪些數(shù)時(shí)，才可以用借1法？（2）存在適用“借2法”“借3法”的情況嗎？“借n法”呢？（3）分17頭牛時(shí)可以用“借1法”，分17畝稻田能先借1畝再分嗎？分17萬(wàn)元錢可以先借1萬(wàn)元再分嗎？分什么可以用“借1法”，分什么不可以用“借1法”？（4）如果1頭牛剛好值1萬(wàn)元錢，到底該不該用“借1法”呢？進(jìn)行這樣的發(fā)散性思考后，教師發(fā)現(xiàn)解決“老漢分?！眴栴}看似巧妙的“借1法”背后蘊(yùn)藏著諸多矛盾，而這些矛盾及其有效解決就是深入研究的價(jià)值所在。簡(jiǎn)言之，“老漢分?！眴栴}已經(jīng)不再是基于17頭牛這一特殊信息的問題，而需要基于牛的不同數(shù)量對(duì)“借1法”的存在性進(jìn)行討論，基于n的分類對(duì)“借n法”的存在性和所有解進(jìn)行討論，甚至對(duì)采用“借1法”解決“老漢分?！眴栴}的合理性進(jìn)行重新審視。

2.抽象策略

抽象，即將具體的信息變成概括的信息，使其具有類特征，最常見的是將具體的數(shù)換成代表某類數(shù)量的字母。如習(xí)題：“10個(gè)點(diǎn)如圖所示（見圖1）那樣放著，把這些點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，看看可以畫多少個(gè)正三角形？”[1]這道題具有極大的研究?jī)r(jià)值，教師可以在研究15個(gè)點(diǎn)、21個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，將其抽象成“n階正三角形點(diǎn)陣中正三角形個(gè)數(shù)問題”并進(jìn)行研究。為了方便抽象，定義了如下概念：在一個(gè)正三角形三邊及內(nèi)部均勻分布著n行點(diǎn)，如果這些點(diǎn)滿足：（1）包含三個(gè)頂點(diǎn);（2）三邊上都等距分布著n個(gè)點(diǎn);（3）第n行上均勻分布著n個(gè)點(diǎn)，則我們稱這些點(diǎn)為n階正三角形點(diǎn)陣。在將具體的問題變成抽象問題時(shí)，定義一些特殊的概念再進(jìn)行抽象，有時(shí)會(huì)更便于描述。

3.分類策略

分類，即選擇某種標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)具體問題進(jìn)行歸類，然后研究各類對(duì)象的特點(diǎn)。如“分等腰三角形問題”：“兩個(gè)三角形的內(nèi)角分別為：（1）20°，40°，120°;（2）20°，60°，100°，怎樣把每個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形？畫出圖形，試試看[2]”假設(shè)ΔABC的三個(gè)內(nèi)角從大到小排列為∠A≥∠B≥∠C，提出將ΔABC分成兩個(gè)等腰三角形只有兩種情況：（1）從A點(diǎn)引直線交BC于點(diǎn)D，將ΔABC分成ΔABD和ΔACD兩個(gè)等腰三角形。（2）從B點(diǎn)引直線交AC于點(diǎn)E，將ΔABC分成ΔABE和ΔBCE兩個(gè)等腰三角形。這樣的分類使原本針對(duì)兩個(gè)特殊度數(shù)三角形的具體問題變成了研究“將一個(gè)三角形分解成兩個(gè)等腰三角形分法存在性和具體分法”的類問題。采用分類策略，將題問題轉(zhuǎn)換為類問題的關(guān)鍵是找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，使所分之類具有清晰的特點(diǎn)，且分類結(jié)果不交叉、不遺漏。

三、類化研究的關(guān)鍵：關(guān)注共性

將具體問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄蟮念悊栴}后，研究的視角將不再是某個(gè)具體問題的解決，而是這類問題的共性，因此要采用一定的策略。

1.符號(hào)化策略

符號(hào)化，即將具體問題變成抽象問題，將具體的數(shù)值解變成抽象的字母解，將解決問題的過(guò)程變成符號(hào)化的程序。如《用單位分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)解題》一文的研究充分體現(xiàn)了符號(hào)化思想：在準(zhǔn)備研究時(shí)，將1/6+1/3=1/2符號(hào)化為1/m+1/n=1/z（其中m，n，z為正整數(shù)）;在研究過(guò)程中，對(duì)m、n、z的具體情況進(jìn)行討論，并總結(jié)出可論證的局部結(jié)論;在論述研究結(jié)果時(shí)，將“單位分?jǐn)?shù)性質(zhì)P”表述為“若A是質(zhì)數(shù)，則將1/A表示成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和有且僅有1/A=1/（2A）+1/（2A）和1/A=1/（A+1）+1/[A（A+1）]兩種表示法”[3]。符號(hào)化策略是論述每類數(shù)學(xué)問題和表述某類數(shù)學(xué)問題通解的必備策略。采用符號(hào)化策略，需要對(duì)符號(hào)的意義、取值范圍以及表述結(jié)果適用范圍等進(jìn)行清晰的界定或說(shuō)明。

2.模型化策略

模型化策略主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一要將問題模型化，即研究的不再是某個(gè)具體問題而是代表某類問題的模型;二要將結(jié)論模型化，即研究出來(lái)的結(jié)論要能解決該類問題，甚至可以經(jīng)遷移后解決其他問題;三要將過(guò)程模型化，即研究問題的過(guò)程具有一定的程序性、普適性，能夠?yàn)榻鉀Q類似的問題產(chǎn)生遷移價(jià)值。如研究“分等腰三角形問題”后可得出如下結(jié)論模型：“若一個(gè)三角形可分成兩個(gè)等腰三角形，其分法有且僅有以下規(guī)律：（1）有一個(gè)內(nèi)角為90°，則將該角分成與另兩個(gè)內(nèi)角相等的兩部分;（2）內(nèi)角分別為x°，2x°，180°-3x°，則將180°-3x2分成x°和180°-4x°;（3）內(nèi)角分別為x°，3x°，180°-4x°，則將3x°分成x°和2x°?！盵4]研究過(guò)程中采用的“分類—細(xì)分”策略以及“假設(shè)—求證—?dú)w納”策略也具有模型價(jià)值。

3.概念化策略

概念化，即為了研究問題的需要或者論述方便，在研究過(guò)程中自行界定某些概念。如研究“n階正三角形點(diǎn)陣中正三角形個(gè)數(shù)問題”不僅要界定“n階正三角形點(diǎn)陣”，而且要對(duì)可能畫出的正三角形類型進(jìn)行概念界定：（1）按放置位置分類，“正立型，指最下面的一邊水平;倒立型，指最上面的一邊水平;傾斜型，除了正立型和倒立型以外的其他正三角形”，同時(shí)配以圖示。（2）按邊長(zhǎng)分類，“正立型或倒立型正三角形記為i+i+i型正三角形，指每條邊上有i+1個(gè)點(diǎn)（即將相鄰兩點(diǎn)間的距離看作1）;傾斜型三角形記為跨i行型正三角形，指該三角形的每條邊都穿過(guò)了點(diǎn)陣中的i+1行或列（包括頂點(diǎn)所在行或列）”，同時(shí)配以圖示。有了這些概念，再研究“n階正三角形點(diǎn)陣中正三角形個(gè)數(shù)問題”就顯得方便多了。概念界定，有助于清晰地概括復(fù)雜的對(duì)象，區(qū)分不同研究對(duì)象的類型，使陳述研究對(duì)象和思路、表述結(jié)論更簡(jiǎn)潔明了，更便于讀者理解和表達(dá)。

四、類化研究的價(jià)值：多重取向

類化使研究從點(diǎn)到面，使研究對(duì)象變得更抽象，研究過(guò)程變得更復(fù)雜，研究結(jié)果變得更普適，因此類化研究結(jié)果常常具有多重價(jià)值。

《偷天換日的“借1法”》一文通過(guò)嚴(yán)密的論證得出結(jié)論：設(shè)被分的牛為m頭，老大、老二、老三依次分得這些牛的1/a、1/b、1/c，其中m、a、b、c都為正整數(shù)，最終符合條件的（m，a，b，c）有且只有7組，即（41，2，3，7）、（23，2，3，8）、（19，2，4，5）、（17，2，3，9）、（11，2，3，12）、（11，2，4，6）、（7，2，4，8）[5]。這篇文章體現(xiàn)了多重價(jià)值：一是知識(shí)價(jià)值。不僅分析了“老漢分?！眴栴}的合理性和邏輯問題，而且求出了“三個(gè)兒子分?！笨捎谩敖?法”的所有可能分法。這有助于讀者擺脫具體數(shù)值和慣性思維，全面而深刻地認(rèn)識(shí)“老漢分?！眴栴}，感性地了解合情推理與邏輯推理的異同。二是策略價(jià)值。遵循該文的研究思路，讀者完全可以解決如下問題：（1）老漢有2個(gè)兒子、4個(gè)兒子等情況下，適用“借1法”的所有可能情況。（2）老漢有3個(gè)兒子情況下，對(duì)某個(gè)具體的n（如n為2）而言，“借n法”的存在性以及所有可能情況。為討論方便，本文分別將其稱為思路1和思路2。借助該文中的研究策略，多數(shù)有興趣的讀者可以獨(dú)立完成思路1和思路2的研究。三是思維價(jià)值。該文給予讀者的思維價(jià)值至少體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一方面，要批判性思考，對(duì)熟視無(wú)睹的問題和已有的結(jié)論進(jìn)行深刻的追問并且努力探尋背后的深層原因和學(xué)科價(jià)值，而不唯書、不唯結(jié)論。另一方面，要發(fā)散性思考，對(duì)具體問題展開發(fā)散性研究，逐步拓展研究視域和思維深度。除了思路1和思路2，讀者還可以探討“在老漢仍有三個(gè)兒子的前提下，對(duì)抽象的n而言，‘借n法的存在性以及所有存在的可能情況”（稱為思路3）和“m個(gè)兒子分n頭牛（其中m、n都為正整數(shù)）”（稱為思路4）的抽象情況。從具體的“老漢分牛”問題，到抽象的“老漢分?！眴栴}，再到研究思路1、2、3、4，這種發(fā)散、遞進(jìn)的研究思維，使簡(jiǎn)單的“老漢分?！眴栴}的研究逐步延伸到數(shù)論領(lǐng)域，其對(duì)研究思路的啟發(fā)價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于解決原問題的價(jià)值。

研究一個(gè)個(gè)具體問題如同觀察森林中一棵棵形態(tài)各異的樹，容易被眾多樹木的枝葉遮蔽雙眼。這樣的解題研究容易演變成題海戰(zhàn)術(shù)，演變成機(jī)械重復(fù)的解題操練。解題研究，要既見“題”，也見“類”，以“題”為切入點(diǎn)使“類”研究根植數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐，以“類”為經(jīng)緯線使“題”研究能以小見大，提升價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1] 華東師范大學(xué)出版社.數(shù)學(xué)（七年級(jí)下冊(cè)）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2013.

[2] 華東師范大學(xué)出版社.數(shù)學(xué)（七年級(jí)下冊(cè)）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

[3] 鐘建林.用單位分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)解題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2004（03）.

[4] 鐘建林.什么樣的三角形可以分成兩個(gè)等腰三角形[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2005（05）.

[5] 鐘建林.偷天換日的“借1法”[A].小學(xué)數(shù)學(xué)主流話題、疑難問題透析[C].北京：教育科學(xué)出版社，2011.

[作者：鐘建林（1976-），男，湖北紅安人，揚(yáng)州大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，博士生，福建省教育科學(xué)研究所，副編審。]

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