抓住認(rèn)知原點(diǎn)，促進(jìn)本質(zhì)理解
——“三角形面積”的教學(xué)創(chuàng)新與思考

（浙江省溫州市泰順縣羅陽(yáng)鎮(zhèn)中心小學(xué)，浙江 溫州 325500）

一、問(wèn)題提出

五年級(jí)學(xué)習(xí)平面圖形的面積的計(jì)算之后，在練習(xí)中經(jīng)常遇到逆運(yùn)算類問(wèn)題，例如：（一）請(qǐng)你在格子圖上畫一個(gè)面積為12 平方厘米的三角形。（二）已知三角形的面積為12 平方厘米，其中三角形的底是6 厘米，三角形的高是多少？（三）等積變形類問(wèn)題。這些問(wèn)題都可以歸類為面積的逆運(yùn)算問(wèn)題。在計(jì)算三角形的面積時(shí)，孩子們很容易遺忘除以2，而在逆運(yùn)算問(wèn)題中，更多的孩子則忽略了乘以2。

二、原因分析

在學(xué)完“多邊形的面積”這一單元之后，我讓自己班和同年段另一個(gè)班共81 名同學(xué)對(duì)三道題的掌握進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：

我們?cè)诮虒W(xué)三角形的面積計(jì)算時(shí)，花了大量功夫，借助“拼組”或者“剪拼”等實(shí)際操作，讓孩子在活動(dòng)中建構(gòu)三角形的面積計(jì)算方法，充分理解面積計(jì)算的意義。在這之后的練習(xí)課中，簡(jiǎn)單的借助三角形的面積公式的逆運(yùn)算來(lái)推理，這種方法只適用于數(shù)學(xué)思維能力比較好的孩子，他們自己在理解的基礎(chǔ)上就能夠自己找到解決問(wèn)題的方法，對(duì)于其他的孩子，在解決此類問(wèn)題時(shí)忘記乘以2，甚至有一部分孩子根本不理解為什么要乘以2。

三、對(duì)策思考

在面積的計(jì)算教學(xué)中，長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算是起始，也是面積教學(xué)起點(diǎn)，在之后的面積學(xué)習(xí)中，其實(shí)都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化回到長(zhǎng)方形。通過(guò)轉(zhuǎn)化、溝通、對(duì)比，抓住認(rèn)知起點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)三角形面積本質(zhì)的理解。

（一）利用格子圖，抓住面積的度量本質(zhì)

度量的本質(zhì)是計(jì)量單位的累加，無(wú)論是重量、時(shí)間、長(zhǎng)度還是本文中涉及的面積。度量包含“度”和“量”兩個(gè)方面，“度”是度量單位，“量”是測(cè)量，表示測(cè)量結(jié)果的數(shù)，叫做數(shù)量。面積就是用面積單位測(cè)量出的結(jié)果，他是一個(gè)數(shù)量。面積計(jì)算的方法，即學(xué)生探究的面積計(jì)算公式，是建立在用邊長(zhǎng)為1 的小正方形（面積單位）測(cè)量，尋求計(jì)算幾個(gè)面積單位的簡(jiǎn)便方法。

在三角形面積練習(xí)課中，我們可以先對(duì)比長(zhǎng)方形、平行四邊形的面積計(jì)算方法，感受面積計(jì)算的本質(zhì)是度量。

準(zhǔn)備材料：

問(wèn)題設(shè)計(jì)：

①仔細(xì)觀察平行四邊形和長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

②為什么平行四邊形要進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能計(jì)算，長(zhǎng)方形不要？

③比較平行四邊形和三角形的計(jì)算方法，什么變了，什么沒(méi)變？

通過(guò)三個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)面積的計(jì)量本質(zhì)是度量，用面積單位進(jìn)行度量。無(wú)論是平行四邊形、長(zhǎng)方形還是三角形，我們?cè)谇竺娣e時(shí)，其本質(zhì)是將平面圖形分割成若干個(gè)面積單位。長(zhǎng)方形不用等積變換就可以計(jì)算是因?yàn)樗『每梢苑指畛扇舾蓚€(gè)面積單位，而平行四邊形由于其形狀原因，不能恰好分割成若干個(gè)面積單位，但其中有些部分可以互補(bǔ)成為一個(gè)完整的面積單位。同理，三角形的剪拼過(guò)程也是這樣。學(xué)生在思辨中體會(huì)求面積的本質(zhì)是求面積單位數(shù)量的過(guò)程，是將一個(gè)平面圖形變換成面積單位堆疊的平面圖形。由于面積單位是正方形，所以堆疊的結(jié)果一定是若干份長(zhǎng)方形的組合圖形，也就是可以將原圖變換成一個(gè)對(duì)邊相等的長(zhǎng)方形或幾個(gè)長(zhǎng)方形的組合（組合圖形的面積）。

（二）溝通對(duì)比，理解三角形面積的求解本質(zhì)

①覺(jué)得根據(jù)圖形變換結(jié)果，三角形的面積應(yīng)該怎么算？

②3×2 是什么意思？表現(xiàn)出來(lái)的是一個(gè)什么形狀？

③那為什么三角形的面積公式中為什么有一個(gè)“÷2”呢？

從平行四邊形回到長(zhǎng)方形，再與三角形進(jìn)行對(duì)比，深入理解面積的求解過(guò)程是基于面積單位構(gòu)建的平面圖形。計(jì)算三角形的面積不是記住了面積公式就可以，是要理解三角形是怎么轉(zhuǎn)化成由面積單位組成的長(zhǎng)方形，以此來(lái)加深學(xué)生對(duì)面積計(jì)算的理解。

④你能在格子圖上表示三角形面積計(jì)算公式中“底×高”的意思嗎？

剪拼有利于學(xué)生理解三角形的面積本質(zhì)，但是不利于學(xué)生理解求高或求底的逆運(yùn)算，而倍拼是一個(gè)更好的選擇。利用作圖讓學(xué)生再次加強(qiáng)對(duì)面積中“×”的理解，“×”的結(jié)果必然是一個(gè)對(duì)邊平行且相等的圖形，有可能是長(zhǎng)方形，也有可能是平行四邊形。

⑤你能從中找到你要的三角形嗎？

在了解“底×高”的含義后，再重新找出隱藏其中的三角形，理解倍拼的過(guò)程和便利性，更有利于理解逆運(yùn)算中的“×2”。

⑥6×2÷4 或6×2÷3 中都有一個(gè)“×2”是什么意思？為什么要“×2”？

⑦結(jié)合自己畫的圖和同桌說(shuō)一說(shuō)6×2÷4 或6×2÷3 的含義。

結(jié)合倍拼和面積的基本模型長(zhǎng)方形來(lái)幫助學(xué)生理解三角形面積的逆運(yùn)算過(guò)程，讓學(xué)生真正的“看”到、“想”到“×2”到底在哪里，理解“×2”的含義，而不是單純的記住公式。

只有學(xué)生在真正理解了面積的度量本質(zhì)、計(jì)算本質(zhì)，才能助推對(duì)三角形面積的計(jì)算和逆運(yùn)算過(guò)程的理解。當(dāng)學(xué)生脫離了單純的記憶后留下的就是數(shù)學(xué)模型和思維方法以及空間觀念，這樣的學(xué)習(xí)方式也更有利于學(xué)生今后的學(xué)習(xí)，尤其是其他平面圖形的面積和體積的學(xué)習(xí)。

以上內(nèi)容僅僅是對(duì)自己在實(shí)踐中遇到的問(wèn)題而產(chǎn)生的思考，觀點(diǎn)正確與否值得大家商榷，但我們重在思考。相信只有正確面對(duì)教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題，認(rèn)真思索，站在大系統(tǒng)中宏觀把握，整體設(shè)計(jì)適合學(xué)生的教學(xué)，才能讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。