高考視角下統(tǒng)計(jì)概率“搭檔”數(shù)列知識的教學(xué)策略分析

洪云　胡仁建

摘要：2019高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第21題概率統(tǒng)計(jì)題取代往年導(dǎo)數(shù)函數(shù)，成為壓軸題，考察數(shù)列知識和統(tǒng)計(jì)概率相關(guān)內(nèi)容，突出新穎性、創(chuàng)新性和應(yīng)用性，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在高考中考查學(xué)生能力和素養(yǎng)的獨(dú)特作用。當(dāng)統(tǒng)計(jì)概率遇上數(shù)列，知識點(diǎn)交匯處大，綜合性強(qiáng)，學(xué)生對之既愛又恨，愛其不落熟套，恨其戴著神秘面紗，看不透它，高不可攀。由此，本文將探討其教學(xué)策略，希冀為廣大一線老師拋磚引玉。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)概率;數(shù)列;策略

一、 高考試題

（2019年）為了醫(yī)治種類疾病，研發(fā)出了A、B兩款新藥品，進(jìn)行試驗(yàn)，用于判斷哪一種藥效更好。方案這么設(shè)定：每一輪對比實(shí)驗(yàn)選兩只小白鼠。從兩只小白鼠中隨機(jī)選一只，用A藥，另一只用B藥。待一輪治療得出結(jié)果后，再進(jìn)行下一輪試驗(yàn)。如果其中一種藥治好的小白鼠只數(shù)比另一種多4只時(shí)，試驗(yàn)即可停止，此時(shí)治好小白鼠只數(shù)多的藥相比之下更有效。得分規(guī)則為：每輪試驗(yàn)，用A藥的小白鼠治好并且用B藥的小白鼠沒有治好則A藥得1分，B藥得-1分;如果用B藥的小白鼠治好且用A藥的小白鼠沒有治好則B藥得1分，A藥得-1分;如果都治好或都沒治好，則兩種藥打平，都得0分。A、B兩種藥的治好的概率分別為α、β，記一輪試驗(yàn)，A藥得分為X。

分析：（2）問可由（1）給出的遞推關(guān)系，考生只需從遞推關(guān)系出發(fā)，利用數(shù)列求和基本思想即可推出pi的通項(xiàng)公式。

二、 學(xué)考試題

（2019·某地月考）廈門又稱鷺島，是福建副省級市，閩南金三角之一，國務(wù)院批復(fù)確定的中國經(jīng)濟(jì)特區(qū)，東南沿海重要的中心城市、港口及風(fēng)景旅游城市。它有許多著名的旅游景點(diǎn)，每年來武漢廈門游玩的國內(nèi)外旅客不勝數(shù)，其中鼓浪嶼與中國最美高校之一廈門大學(xué)是最人氣景點(diǎn)，某旅行社現(xiàn)對已游覽鼓浪嶼的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不游玩廈門大學(xué)記1分，若繼續(xù)游玩廈門大學(xué)記2分，每名游客選擇是否游玩廈大的概率均為12，假設(shè)游客選擇是否游玩的意愿是相互獨(dú)立的。

（1）旅行社隨機(jī)抽取3名游客，記總得分X，求出X的分布列以及數(shù)學(xué)期望;

（2）（?。┘偃珉S機(jī)抽取游客a人，記總分恰為a分概率為Aa，求{Aa}前10項(xiàng)和;

（ⅱ）旅行社對全部游客隨機(jī)問卷的調(diào)查，若記已經(jīng)調(diào)查過的游客累計(jì)得分?jǐn)?shù)恰好為n分的概率記為Bn，試找出Bn與Bn-1的關(guān)系式，求出{Bn}通項(xiàng)公式。

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列、期望與方差，數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式。

三、 突破難點(diǎn)障礙，統(tǒng)計(jì)概率遇上數(shù)列有套路

我們可以發(fā)現(xiàn)以上兩題都是統(tǒng)計(jì)概率與數(shù)列的綜合題，背景均來源于生活實(shí)際，試題解答對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析和運(yùn)算要求比較高。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，第一，要夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握概念、定理，概率統(tǒng)計(jì)及數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式等基本解題方法。第二，加強(qiáng)學(xué)生閱讀能力和解題語言表述規(guī)范性的培養(yǎng)。第三，要重視思想方法教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)模型化思想。第四，站在高觀點(diǎn)的角度下，我們可以看到，當(dāng)人類進(jìn)入高科技智能化時(shí)代后，數(shù)據(jù)分析尤為重要，統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)應(yīng)注意與其他知識板塊相結(jié)合，注意題型的多樣性和綜合性。學(xué)生往往會知難而退，我們應(yīng)采用有效的教學(xué)策略和專項(xiàng)訓(xùn)練，分散難點(diǎn)，層層推進(jìn)，讓學(xué)生對此類綜合題有套路可走。

四、 課堂實(shí)例

例題：求4個(gè)同學(xué)都坐錯(cuò)位置的排列數(shù)。

無獨(dú)有偶，我們可以看出，錯(cuò)排通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程和2019高考第21題完全類似。當(dāng)然，我們也可以用容斥原理來解釋錯(cuò)排數(shù)。所以，當(dāng)2019高考第21題一躍成為真正壓軸題，令幾乎所有考生不知所措，一線老師始料不及，其實(shí)不然，高考來源于教材，來源于生活，并為生活服務(wù)，我們要采取有效的教學(xué)策略，善于挖掘，授人以魚不如授人以漁。

五、 結(jié)語

筆者認(rèn)為如果知識交匯點(diǎn)是一滴水，我們教師的愿望便是通過有效的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考、多方位探討，突破難點(diǎn)，使學(xué)生都能看到它折射出的七彩虹，從而不再望題興嘆。

參考文獻(xiàn)：

[1]唐善剛.容斥原理及在環(huán)形錯(cuò)排計(jì)數(shù)中的應(yīng)用[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)，2018（3）.

[2]王芝平，張唯一，李振雷.2019年高考全國Ⅰ卷理科概率問題的解析與背景.人民教育出版社課程教材研究所，2019（6）.

[3]張一倩.從錯(cuò)排問題談組合計(jì)數(shù)方法[J].基礎(chǔ)及其前沿研究，2008（15）.

作者簡介：

洪云，福建省漳州市，福建省漳州市第三中學(xué);

胡仁建，重慶市，重慶市潼南區(qū)康樂小學(xué)。