注重研讀，挖掘教材，提升核心素養(yǎng)

余云娟

[摘? 要] 教材，一科之本，課堂教學(xué)應(yīng)“以課本為本”.文章以“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)中的教學(xué)片段和教學(xué)思考，闡述教學(xué)過(guò)程中教師注重教材，挖掘教材的重要性. 整體把握教材，善于發(fā)現(xiàn)教材中的教學(xué)資源，合理地利用，引導(dǎo)學(xué)生一起探究、發(fā)現(xiàn)、論證. 真正落實(shí)新課改教育理念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 挖掘教材;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)運(yùn)算;數(shù)學(xué)抽象

中學(xué)教材凝聚了幾代專家、學(xué)者的集體智慧和結(jié)晶，研究并充分挖掘其內(nèi)在功能的教育教學(xué)價(jià)值，是一線教師責(zé)無(wú)旁貸的任務(wù)，是提升教師教育教研水平的必由之路. 對(duì)于數(shù)學(xué)教師，我們?cè)谛抡n教學(xué)中需把握好兩個(gè)層面，教好教材與用好教材，用好教材的前提是深入理解教材. 而現(xiàn)實(shí)教學(xué)情況卻不容樂觀，由于現(xiàn)在教輔資料滿天飛，習(xí)題資料數(shù)不勝數(shù)，有些數(shù)學(xué)教師可能不會(huì)注重研讀教材，更不用說(shuō)會(huì)深挖教材，通過(guò)教材的表面看到數(shù)學(xué)的本質(zhì). 本文通過(guò)《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》為例，闡述如何在新課教學(xué)過(guò)程中，研讀和深挖教材，采用多種途徑，落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

背景描述

《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》是人教A版《數(shù)學(xué)2》（必修）第四章“圓的方程”第一節(jié). 教學(xué)重點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特點(diǎn)的明確. 教學(xué)難點(diǎn)是進(jìn)一步體驗(yàn)曲線和方程的思想，會(huì)根據(jù)不同的已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 前一章節(jié)我們學(xué)習(xí)了直線方程，知道在直角坐標(biāo)系中，直線可以用方程表示，通過(guò)方程，可以研究直線間的位置關(guān)系、直線與直線的交點(diǎn)等問(wèn)題. 通過(guò)類比直線方程，在這一節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，形成用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力.

圓的方程屬于解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，是研究二次曲線的開始，對(duì)后續(xù)直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無(wú)論在知識(shí)上還是方法上都有著積極的意義，所以本節(jié)內(nèi)容在整個(gè)解析幾何中起著承前啟后的作用. 由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)間還不長(zhǎng)、學(xué)習(xí)程度較淺，且對(duì)坐標(biāo)法的運(yùn)用還不夠熟練，在學(xué)習(xí)過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)困難，故本節(jié)課通過(guò)教材中的閱讀材料引出數(shù)學(xué)家的唯美故事，引入新課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 教師通過(guò)一題多解和多種變式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng);通過(guò)學(xué)生自己嘗試編題，提高學(xué)生的發(fā)散思維和解決問(wèn)題能力.

教學(xué)片段

片段1：通過(guò)教材中的閱讀材料，引入新課

問(wèn)題1：同學(xué)們有看過(guò)“百歲山礦泉水廣告里的故事”嗎？

學(xué)生：好像是關(guān)于一個(gè)唯美的愛情故事. （班里只有這一位學(xué)生舉手，其他學(xué)生都面面相覷，并向他投來(lái)了驚訝的目光）

教師：這位同學(xué)回答得很正確，是關(guān)于我們一位偉大的數(shù)學(xué)家笛卡爾和瑞典公主的唯美愛情故事……，笛卡爾是解析幾何創(chuàng)始人之一，借助于坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)部的數(shù)與形. 在我們的人教版數(shù)學(xué)必修2教材中，第111-112頁(yè)的閱讀材料中有介紹我們數(shù)學(xué)家笛卡爾，希望同學(xué)們課后去仔細(xì)閱讀，進(jìn)一步了解.

設(shè)計(jì)意圖：《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》可以通過(guò)直線方程的類比，復(fù)習(xí)提問(wèn)，直接引入新課;也可以通過(guò)生活中需要解決有關(guān)圓的實(shí)際問(wèn)題，引入新課. 但這兩種引入都覺得不夠新穎，備課過(guò)程中可以說(shuō)在引入的問(wèn)題中思考了很久，后來(lái)通過(guò)翻閱教材，筆者發(fā)現(xiàn)教材中在直線方程章節(jié)結(jié)束處配有“閱讀與思考”材料《笛卡爾與解析幾何》. 筆者覺得用此知識(shí)點(diǎn)引入最佳，于是，就用一個(gè)非常唯美的故事——“百歲山廣告里的愛情故事”引出笛卡爾直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)研究，揭露數(shù)學(xué)的本質(zhì)——數(shù)與形的結(jié)合. 這向?qū)W生普及了數(shù)學(xué)史，同時(shí)在新課引入上顯得生動(dòng)、新穎，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，感受數(shù)學(xué)的美. 接下來(lái)，筆者水到渠成地通過(guò)類比直線方程，提問(wèn)和推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

片段2：通過(guò)一題多解，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

問(wèn)題2：已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圓的方程.

學(xué)生1：可以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求出a，b，r，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

老師：這位學(xué)生回答得很好，那么還有其他的方法嗎？

學(xué)生2：還可以先通過(guò)求出任意兩條中垂線的交點(diǎn)來(lái)求得圓心坐標(biāo)，再利用圓心到圓上的點(diǎn)的距離來(lái)求出半徑.

老師：這位同學(xué)用了初中學(xué)過(guò)的圓的定義，利用幾何法來(lái)求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 那么接下來(lái)我們分組分別用這兩種不同的方法來(lái)求出圓的方程.第1、2大組用第一種代數(shù)法求解，第3、4大組用第2種幾何法求解.

學(xué)生動(dòng)筆快速解題，教師在教室來(lái)回走動(dòng)巡視，必要時(shí)給予學(xué)生指導(dǎo). 等大部分學(xué)生都已求解出答案后，教師選擇兩種不同方法的范本進(jìn)行投影.

老師：同學(xué)們，這兩位同學(xué)的解法過(guò)程和答案都正確嗎？

學(xué)生：都正確.

老師：他們不但是正確的，而且寫得很詳細(xì)，非常好. 那么同學(xué)們，你們?cè)僮屑?xì)看看這兩種方法的過(guò)程，還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生3：我發(fā)現(xiàn)第1種代數(shù)方法三元方程組化簡(jiǎn)后得到的二元方程和第2種方法中垂線的方程是一樣的. 好神秘哦！

老師：這位同學(xué)觀察得很仔細(xì)，很好.有誰(shuí)能幫他解釋一下嗎？

學(xué)生4：我覺得在化簡(jiǎn)三元方程組的時(shí)候，用A點(diǎn)帶入的方程與B點(diǎn)帶入的方程相互作差，它的幾何意義就是到A點(diǎn)的距離等于到B點(diǎn)的距離，我們初中已學(xué)習(xí)過(guò)滿足這樣條件的直線就是AB兩點(diǎn)的中垂線. 同理用B點(diǎn)帶入的方程與C點(diǎn)帶入的方程相互作差，得到的就是BC直線的中垂線方程了. （其他學(xué)生都示意點(diǎn)頭，恍然大悟，原來(lái)如此.）

老師：這位同學(xué)很愛動(dòng)腦子，回答得非常到位.

設(shè)計(jì)意圖：教材中此例題只用了第1種待定系數(shù)解法，沒有引進(jìn)第2種幾何方法，筆者覺得教師在研讀教材的時(shí)候，還要敢于適“度”地二次開發(fā)教材. 在新課的講解上，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多動(dòng)筆，多計(jì)算，多思考，學(xué)生先行，教師斷后. 這樣既能提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，又能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維性. 教學(xué)中我們追求一題多解，更要追求多解歸一，聯(lián)系是普遍的，我們要做的就是將這種隱含的內(nèi)在聯(lián)系挖掘出來(lái)，從而殊途同歸，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì). 教師要幫助學(xué)生真正經(jīng)歷如下過(guò)程：將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;處理代數(shù)問(wèn)題;分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問(wèn)題.教師有義務(wù)幫助學(xué)生不斷體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.

片段3：通過(guò)教材中例題的多種變式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

變式1：已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，1），B（7，-3），且圓心在直線l：x-y-5=0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式2：已知圓心為C（2，-3），且截得直線x-y-10=0的弦長(zhǎng)為5，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式3：已知圓心為C（2，-3），并且與直線3x-4y+7=0相切，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖：《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》第一課時(shí)，教材上安排了3個(gè)例題，例題1是已知圓心和半徑，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并會(huì)判斷某點(diǎn)是否在圓上，使學(xué)生更好地體驗(yàn)了“曲線與方程”的思想，加深了對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解. 例2是已知三點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，例3是已知兩點(diǎn)和切線，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 這三個(gè)例題的講解是為了讓學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2含有三個(gè)參數(shù)a，b，r，因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓，并會(huì)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，突出重點(diǎn). 而且教材中例1和例2中的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相同，例3的圓心不同，但半徑與例1、例2相同.考慮到教材的這一安排，筆者就設(shè)計(jì)了用同一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程但變動(dòng)不同條件的案例，變式1中線與圓相交，且圓心在線上;變式2中線與圓相交，引進(jìn)弦長(zhǎng);變式3中圓與線相切.通過(guò)例題的變式，使學(xué)生在變量中能抓住本質(zhì)，總結(jié)出求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法. 同時(shí)，可以引進(jìn)多媒體技術(shù)，利用幾何畫板進(jìn)行展示，讓學(xué)生通過(guò)直觀感知，培養(yǎng)學(xué)生從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)抽象能力.

片段4：通過(guò)課堂上嘗試編題，發(fā)散提問(wèn)，鞏固新知

問(wèn)題3：同學(xué)們，你們會(huì)編寫求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的題目嗎？我們也嘗試著給周圍的同學(xué)出幾道題做一做？

學(xué)生1：圓心在C（4，3），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)生2：圓心在y軸上，并且過(guò)點(diǎn)A（-1，1）和B（1，3），求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)生3：邊長(zhǎng)為4的正方形，求其外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

老師：這三位同學(xué)的題都編得很好，我想第1和第2位同學(xué)的題大家基本上都會(huì)解答，但第3位同學(xué)編的題怎么解答呢？

學(xué)生4：我覺得這道題中圓的半徑是2，圓心是正方形的中心，要寫出外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就得確定圓心坐標(biāo).

老師：這位同學(xué)思考得很對(duì)，怎么確定圓心坐標(biāo)呢？

學(xué)生5：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，如果坐標(biāo)系建得不一樣，圓心坐標(biāo)就不一樣，其外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也就不一樣了. 我覺得這道題最好是以正方形的中心為原點(diǎn)，兩條對(duì)角線分別為x軸和y軸. 建立直角坐標(biāo)系，其外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+y2=8.

老師：這位同學(xué)解答得非常正確.對(duì)于純幾何沒有坐標(biāo)的題目，首先我們要建立直角坐標(biāo)系引進(jìn)坐標(biāo)，接著才可以用坐標(biāo)法來(lái)解決.

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 通過(guò)前面例題的講解和變式題的應(yīng)用，相信不少學(xué)生會(huì)模仿編題，甚至有部分學(xué)生會(huì)編出高質(zhì)量的試題.筆者覺得教師完全可以拓展教材，大膽地發(fā)散提問(wèn)，嘗試讓學(xué)生自己編題自己做的環(huán)節(jié). 一方面，學(xué)生通過(guò)自己出題，更好地體驗(yàn)了三個(gè)獨(dú)立變量確定一個(gè)圓，會(huì)選擇運(yùn)用代數(shù)法或者幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生上課積極提問(wèn)，發(fā)散思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力.

教學(xué)思考

1. 重視教材中的閱讀材料，積極引導(dǎo)學(xué)生去閱讀

現(xiàn)在的學(xué)生平時(shí)很少翻閱教科書，可以說(shuō)基本上不看，覺得書上沒什么好看的，知識(shí)點(diǎn)少，例題簡(jiǎn)單，更不用說(shuō)課后的閱讀材料了. 教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中也不夠重視，很少給予學(xué)生這方面的指導(dǎo). 教材是由專家和富有實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的教師根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、學(xué)科知識(shí)本身的規(guī)律，以及中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、心理發(fā)展水平精心編制而成的. 筆者覺得教師不僅自己備課的時(shí)候，要認(rèn)真研讀和挖掘教材，還要有意識(shí)地設(shè)置幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生去閱讀教材，特別是教材中的“閱讀與思考”部分. 在《圓的方程》前后就有兩處閱讀材料，前面是《笛卡爾與解析幾何》，后面是《坐標(biāo)法與機(jī)器證明》，這兩處閱讀材料都很值得去讀. 通過(guò)閱讀，學(xué)生就能更好地了解數(shù)學(xué)史的發(fā)展，對(duì)偉大的數(shù)學(xué)家也會(huì)有更進(jìn)一步的了解. 這既能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化史，又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2. 挖掘教材，適當(dāng)變式例題，促進(jìn)思維發(fā)展

眾所周知，教材中的例題都比較經(jīng)典，教學(xué)過(guò)程中教師不應(yīng)該僅僅照搬照抄教材中的例題，而是要認(rèn)真研究每道例題，結(jié)合“探究”內(nèi)容，可以挖掘不同內(nèi)容之間潛藏著的有機(jī)聯(lián)系，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行鋪墊、整合和變式. 通過(guò)例題的變式，學(xué)生能更好地運(yùn)用已學(xué)知識(shí)來(lái)構(gòu)建新知，從而讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中慢慢學(xué)會(huì)歸納數(shù)學(xué)方法，抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì).真正促進(jìn)學(xué)生思維的深度發(fā)展，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3. 重視教材中的習(xí)題，善于挖掘教學(xué)資源

教材中的習(xí)題是數(shù)學(xué)教材核心內(nèi)容程序化后的展現(xiàn)，具有針對(duì)性、典型性和示范性，既可以幫助學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，又有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法. 教材中的習(xí)題表面上看很簡(jiǎn)單，但看似簡(jiǎn)單的內(nèi)容背后卻存在很多有價(jià)值的東西.現(xiàn)在有些高考題，就是由教材中的習(xí)題改編而成的，有些拓展性的知識(shí)在教材中也能找到影子. 如本節(jié)《圓的方程》第124頁(yè)B組習(xí)題中有“已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程.”我們發(fā)現(xiàn)原來(lái)在這里有阿波羅尼斯圓的影子，教師完全可以在上完這節(jié)內(nèi)容之后，從這道題引出和拓展阿波羅尼斯圓的知識(shí)“若動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)k（且k≠1），則點(diǎn)M的軌跡是圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓”. 所以在習(xí)題、資料滿天飛的時(shí)代，數(shù)學(xué)教師首先還是得注重教材，平時(shí)多翻閱、研讀教材，善于在教材中發(fā)現(xiàn)“意外”教學(xué)資源，加以巧妙、合理地利用，引導(dǎo)學(xué)生一起探究、發(fā)現(xiàn)、論證，促進(jìn)師生共同成長(zhǎng).

結(jié)束語(yǔ)

教材的教學(xué)價(jià)值需要教師用心去挖掘. 新課程理念下，希望每一位數(shù)學(xué)教師認(rèn)真研讀教材，深入挖掘教材中真實(shí)而鮮活的隱性內(nèi)容. 我們應(yīng)該“以尊重的態(tài)度、欣賞的眼光、腳踏實(shí)地的精神，去親近、理解、鉆研教材，唯有如此，哪怕是一個(gè)概念、公式、定理，或者是一個(gè)旁注、思考題、習(xí)題等等，都能解讀出別樣的東西，感覺如品醇酒，回味無(wú)窮.”在備課過(guò)程中，不僅要把握教材的編寫意圖、編排體系，以及每個(gè)內(nèi)容的具體教學(xué)要求，還要能夠走進(jìn)教材，反復(fù)揣摩教材中的每一道例題，每一個(gè)“探究”，每一個(gè)習(xí)題，甚至每一句話背后所蘊(yùn)含著的豐富內(nèi)涵，力爭(zhēng)達(dá)到讀透教材. 從而在教學(xué)過(guò)程中能整體把握和挖掘教材，通過(guò)整合和精心備課，實(shí)現(xiàn)學(xué)生探究和教師引導(dǎo)相結(jié)合，充分調(diào)動(dòng)各方面的積極因素參與課程教學(xué)，真正落實(shí)“樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程”.