淺談最值問題的解決方法

李晨

[摘? 要] 最值問題是對(duì)以求取目標(biāo)函數(shù)最值為目的的一類數(shù)學(xué)問題的總稱，題目形式靈活多變，且涉及的知識(shí)種類很多，能綜合考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的掌握程度，也能考查學(xué)生推理、轉(zhuǎn)換、歸納等綜合數(shù)學(xué)能力，一直以來都是高考以及各級(jí)模擬考試的熱點(diǎn)題型. 由于最值問題的靈活性與綜合性，很多學(xué)生對(duì)于最值問題頗有種無從下手的感覺.文章以高考和模擬考試中比較有代表性的最值問題為例，探索其本質(zhì)和較為一般的解決方法.

[關(guān)鍵詞] 最值問題;壓軸題;不等式基本性質(zhì);分離變量;結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

最值問題是對(duì)以求取目標(biāo)函數(shù)最值為目的的一類數(shù)學(xué)問題的總稱，題目形式靈活多變，且涉及的知識(shí)種類很多，可以建立在三角函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、數(shù)列、向量，乃至解析幾何等各種知識(shí)背景上，能綜合考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的掌握程度，也能考查學(xué)生推理、轉(zhuǎn)換、歸納等綜合數(shù)學(xué)能力，一直以來都是高考以及各級(jí)模擬考試的熱點(diǎn)題型，也常常出現(xiàn)在壓軸題中. 而由于最值問題的靈活性與綜合性，很多學(xué)生對(duì)于最值問題頗有種無從下手的感覺，常常苦惱于找不到問題的切入點(diǎn)和轉(zhuǎn)化思路. 本文將以高考和模擬考試中比較有代表性的最值問題為例，探索其本質(zhì)和較為一般的解決方法，各位讀者可以適當(dāng)參考以開展教學(xué).

立足不等式基本性質(zhì)求解最值

最值問題常常與不等式緊密結(jié)合，因此巧用不等式本身固有的基本性質(zhì)可以幫助我們轉(zhuǎn)化問題，基本不等式、不等式的傳遞性等都是解題的利器，下面筆者給出一道例題以具體說明該方法.

巧妙轉(zhuǎn)化函數(shù)結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)藏的玄機(jī)

題中給出的條件或者目標(biāo)函數(shù)有時(shí)具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)信息可以成為我們轉(zhuǎn)化問題的隱含條件，從中我們可以挖掘出幾何意義，也可以借此構(gòu)造新的研究函數(shù).

問題點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于參數(shù)過多，處理起來復(fù)雜度較高，因此解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)減少變量個(gè)數(shù)，其中本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化4a2-2ab+4b2-c=0這一條件. 筆者在這里給出了三種方法：注意到題目條件的形式是二次等式，第一種方法利用了二次方程有解的條件;第二種方法立足柯西不等式的取等號(hào)條件;題設(shè)條件還可以轉(zhuǎn)化出平方式相加的形式，因此第三種方法從三角換元的角度減少了變量. 題設(shè)條件和目標(biāo)函數(shù)本身具有的結(jié)構(gòu)特征很多時(shí)候能起到一定的提示作用，巧妙利用轉(zhuǎn)化結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，綜合運(yùn)用消元減元技巧，往往是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

分離多元變量簡(jiǎn)化最值問題

教學(xué)例題4：已知同一平面中的三個(gè)不同的單位向量a，b，c滿足等式關(guān)系a+b+c=0，則對(duì)于0≤x≤≤y≤1，試求

問題點(diǎn)評(píng)：本題中存在兩個(gè)沒有明顯等量關(guān)系的變量x，y，在轉(zhuǎn)化條件時(shí)我們可以采用分離變量的方法，先處理x再處理y.