加正規(guī)權(quán)Bergman空間上的Toeplitz算子

楊麗虹，王曉峰，夏 錦

（廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州 510006）

引言

以D表示為復(fù)平面C中的單位開圓盤，H（D）記為D上解析函數(shù)全體的函數(shù)。若函數(shù)ω：D→［0，∞），在D上可積，則稱為權(quán)函數(shù)。對(duì)于任意z∈D若權(quán)函數(shù)滿足ω（z）=ω（），則稱為徑向權(quán)。給定0＜p＜∞和權(quán)函數(shù)ω，定義 Lebesgue空間（D）是D由上滿足條件

的全體Lebesgue可測(cè)函數(shù)f組成的空間，其中dA（z）=dxddrdθ是D上正規(guī)化的Lebesgue面積測(cè)度。加正規(guī)權(quán)的 Bergman空間（D）是由（D）中全體解析函數(shù)組成。為了方便，下文在未說明的情況下將（D）和（D）記為和。一般地，將記為由標(biāo)準(zhǔn)的徑向權(quán) （α+1）（1）α所誘導(dǎo)的經(jīng)典加權(quán)Bergman空間，其中α∈（-1，∞）。

為了方便，用A?B表示存在與變量A，B無關(guān)的常數(shù)C＞0使得A≤CB，而AB表示A?B和B?A同時(shí)成立。

其中C=C（ω）＞0為常數(shù)，則記為ω∈進(jìn)一步，若ω∈且滿足條件

則稱ω為正規(guī)權(quán)函數(shù)，記為ω∈R。文獻(xiàn)［1］中的式（4.4）～式（4.6）是一些權(quán)函數(shù)為正規(guī)權(quán)的例子，更多關(guān)于R和的內(nèi)容可參見文獻(xiàn)［2］。若ω為D中徑向權(quán)，則易知對(duì)加徑向權(quán)Bergman空間，按范數(shù)收斂可以得到在D的緊子集上一致收斂［3］，于是是的閉子空間。從到的正交投影Pω是一個(gè)積分算子，形如

本文將在“Toeplitz算子的有界性和緊性”部分討論由投影Pω誘導(dǎo)的積分算子——Toeplitz算子。若μ為D上正Borel測(cè)度，以μ為符號(hào)且由投影Pω誘導(dǎo)的Toeplitz算子定義為

若 dμ=φωdA，其中 φ為非負(fù)函數(shù)，則Tμ=Tφ，即Tμ（f）=Tω（fφ）。若 ν∈ R，T是有界線性算子，定義T的Berezin變換為

Toeplitz算子的研究是近幾十年來受廣泛關(guān)注的一個(gè)課題，許多 Toeplitz算子的研究都是在 Bergman空間［4-9］上進(jìn)行的。Luecking［6］第一次探究以測(cè)度為符號(hào)的Toeplitz算子。Zhu［7］刻畫了單位圓盤上正符號(hào)的Toeplitz算子的有界性、緊性和Schatten類性質(zhì)。在文獻(xiàn)［4］中，作者利用Carleson測(cè)度以及Berezin變換描述了在加權(quán)Bergman空間上由正Borel測(cè)度誘導(dǎo)的 Toeplitz算子為有界（或緊的）時(shí)的等價(jià)條件。對(duì)于加正規(guī)權(quán)的Bergman空間的探討可參見文獻(xiàn)［10-18］。Peláez，R?tty?和 Sierra［11］探究了在）上與權(quán)函數(shù) ω有關(guān)的 Bergman投影Pω的有界性?？梢詮奈墨I(xiàn)［11］中獲得關(guān)于加正規(guī)權(quán)Bergman空間中q-Carleson測(cè)度的結(jié)論，其中0＜p，q＜∞，而 Du等人［13］將這些結(jié)論推廣至單位球上。

近年來，對(duì)于1＜p，q＜∞和單位圓盤D上的正Borel測(cè)度μ，文獻(xiàn)［4］討論了加正規(guī)權(quán)的Bergman空間上的 Toeplitz算子的有界性（或緊性），Du和 Li等人在文獻(xiàn)［18］中推廣文獻(xiàn)［4］的結(jié)論至單位球上。

在與文獻(xiàn)［4］相同條件的前提下，給出另一個(gè)正規(guī)權(quán) ω，那么對(duì)于 Toeplitz算子）→）的有界性和緊性的討論，會(huì)得出怎樣的結(jié)論呢？這就是本文主要探討的問題。本文將借助Berezin變換與正規(guī)權(quán)有關(guān)的估算以及對(duì)再生核的估計(jì)進(jìn)行討論。

1 準(zhǔn)備工作

表示度量ρ的以a為心r為半徑的圓盤，其中a∈D，r∈（0，1）。設(shè) ｛是 D上 的 一 列 點(diǎn) 列。如 果infk≠jρ（ak，aj）＞σ＞0，則稱它為 σ-可分的。如果｛ak是-可分的，則稱其為 δ-格，并有D=Δ（ak，5δ）。

若ν∈R，則存在一個(gè)與r∈（0，1）有關(guān)的正常數(shù)C，使得當(dāng)ξ∈Δ（z，r）時(shí)，有C-1ν（z）≤ν（ξ）≤Cν（z）。換言之，由 ν∈ R 可的得出，在 Δ（z，r）上有 ν（z）ν（ξ）［18］。當(dāng) ξ∈ Δ（z，r）時(shí)［7］，有1-1和（1）2，其中=∫Δ（z，r）dA。

若I是T=?D上的一段弧，定義Carleson方塊S（I）=｛reit∈ D：eit∈I，≤r＜1｝，其中是I的正規(guī)化 Lebesgue測(cè)度。當(dāng)a∈D｛0｝，定義弧Ia=簡(jiǎn)記Sa=S（Ia）。因?yàn)棣豥A是上的非負(fù) Borel測(cè)度，故 ω（S（I））=∫S（I）ωdA。

滿足倍數(shù)條件的權(quán)函數(shù)性質(zhì)將會(huì)在后面證明中多次使用，下面的引理來自參考文獻(xiàn)［3］的引理2.1。

引理1設(shè)ν為徑向權(quán)，則下面條件等價(jià)：

成立；

（vii）存在常數(shù)C=C（ν）＞0使得νn=（r）dr滿足 νn≤Cν2n。

因此對(duì)于ν∈R 、z∈D和0＜r＜1，

接下來的引理是關(guān)于Bergman再生核的范數(shù)估計(jì)，來自文獻(xiàn) ［10］的定理1，引理1以及式（2）。

引理2設(shè)ω，ν∈∞，n∈N∪｛0｝，則當(dāng)1-時(shí)，有 （

特別地，如果1＜p＜∞，ν∈R ，且r∈（0，1），則

引理 4［4］設(shè) ν∈，對(duì)于任意a∈ D｛0｝，存在兩個(gè)常數(shù)c=r（v）＞0和 δ=δ（v）∈（0，1］，使得當(dāng)z∈時(shí)有

引理5［4］設(shè)ν∈D＾，對(duì)于任意w∈D，存在1＞r=r（ν）＞0，使得當(dāng)z∈ Δ（w，r）時(shí)有

Bergman空間上的極大投影算子

在主要定理的證明中起著重要的作用，由文獻(xiàn) ［10］的定理3，有接下來的引理。

引理6設(shè)1＜p＜∞，若ω，ν∈R，則下面的條件等價(jià)：

2 Toeplitz算子的有界性與緊性

2.1 當(dāng)1＜p≤q＜∞

以下定理是對(duì) Toeplitz算子的有界性的等價(jià)刻畫.

定理1設(shè)1＜p≤q＜∞，ω，ν∈R，μ是D上的正Borel測(cè)度并且R。將 μ（Δ（z，r））記為μ（Sz），則以下條件等價(jià)：

證明若為有界的，結(jié)合 H?lder不等式可得：

從而式（i）? 式（ii）成立。

現(xiàn)在假設(shè)式（iii）成立。對(duì)于g∈，結(jié)合文獻(xiàn) ［18］的定理A，可得

討論Toeplitz算子的緊性需要引入以下的引理。

引理7［4］設(shè)1＜p≤q＜∞和ν∈R。若T是緊的線性算子，則

以下的結(jié)果是關(guān)于Toeplitz算子緊性的等價(jià)刻畫，證明方法類似于定理1。

定理2設(shè)1＜p≤q＜∞，ω，ν∈R，μ是D上的正Borel測(cè)度并且 ( ∈ R。將 μ（Δ（z，r））記為μ（Sz），則以下條件等價(jià)：

即（ii）成立。

若條件（ii）成立，從定理1的（ii）? （iii）證明中，可得

從而（iii）成立。

現(xiàn)在設(shè)滿足條件（iii）。定義Borel集E?D.的特征函數(shù)為 χE。如果0＜r＜1，令dμr=由假設(shè)得到

從定理1的式（iii）?式（i）知：

設(shè) ｛fk是上的有界序列并且在D的緊子集上一致收斂至0，由引理3可得到

進(jìn) 而有0，k→ ∞。因此是緊的，證畢。

2.2 當(dāng)1＜q＜p＜∞

本節(jié)主要介紹當(dāng)1＜q＜p＜∞時(shí)，與Toeplitz算子的有界性與緊性有關(guān)的結(jié)論。在證明中，需要用到以下的引理［4］。

引理8設(shè)1＜p＜∞，ν∈R和 ｛? D｛0｝為可分序列，對(duì)于所有的｛∈lp有F=∈，并且可以得到｛ck｝

定義Rademacher函數(shù)rk如下：

定理3設(shè)1＜q＜p＜∞，ω，ν∈R，μ為D上的正 Borel測(cè)度。將 μ（Δ（z，r））記作 μ（Sz），如果→為有界的，則（z）=

證明設(shè) ｛?D｛0｝為可分序列。若r＞0，對(duì)于任何a∈Δ（z，r）和z∈D，可以得到

對(duì)于所有z∈D，由于z至多被N*個(gè)集合Δ（ak，r）所覆蓋，因此有：

引理10給出：

設(shè)χE為Borel集E?D的特征函數(shù)。對(duì)于所有的z∈D，有≤N。用r（t）c替代c，其中r*kkkk為第k個(gè) Rademacher函數(shù)，應(yīng)用 Fubini定理以及Khintchine不等式，可得

其中0＜r≤1。

令r（ν）滿足引理5。對(duì)于0＜r≤r（ν），利用引理 2～引理 5，式子（5）以及的次調(diào)和性質(zhì)，可得到

其中0＜r≤r（ν）。

對(duì)于r（ν）＜r＜1，設(shè) ｛bk?D｛0｝是δ-格且 5δ≤r（ν）。對(duì)于任何的bk，可以在 ｛中找到Nj個(gè)點(diǎn)bj，k，使得 △（bk，r）?（bj，k，r（ν））則由式（1）、式（2）和式（6），有

從而得到對(duì)于所有0＜r＜1和滿足5δ≤r（ν）的δ-格｛D｛0｝都有式 （6）成立。事 實(shí) 上 有

給定任意的0＜r＜1，選取s=s（r，δ）∈（0，1）使得對(duì)于任意的z∈△（bk，5δ）和k∈N都有△（z，r）?△（bk，s），即從式 （1）和式（2）可以得出

定理4設(shè)1＜q＜p＜∞，ω，ν∈R，μ為D上的正Borel測(cè)度并且 ( ∈ R。將 μ（△（z，r））記作μ（Sz），如果，則為緊的。

證明對(duì)于0＜s＜1，令sD=｛z∈D：｝。因?yàn)閞＞0是給定的，則存在t=t（s）∈ （0，1），使得對(duì)于任何ξ∈和ζ∈△（ξ，r），都有＞t令 dμt=χD Ddμ和dνt=χD DνdA、假設(shè)lims→1t（s）=1。對(duì)于任意ε＞0，由和 lims→1t（s）=1知，存在t＞0，使得：

設(shè) ｛中在D的緊子集上收斂于0的有界序列。由引理3

3 結(jié)束語

本文中利用了Berezin變換、正規(guī)權(quán)的性質(zhì)以及再生核的估算刻畫了單位圓盤的正規(guī)權(quán) Bergman空間上的Toeplitz算子的有界性與緊性。在證明的過程中可以看到本文仍存在一個(gè)尚未解決的問題：當(dāng)1＜q＜p＜∞時(shí)，Toeplitz算子有界性與緊性是否具有等價(jià)性？這問題值得今后進(jìn)一步討論。