一類廣義Boussinesq方程局部弱解的存在唯一性

唐自敏，秦 敏，原子霞

（電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 611731）

引言

經(jīng)典的Boussinesq方程形式為：

其中φ（x，t）表示流體自由表面的運(yùn)動(dòng)，α和β是常數(shù)，僅依賴于長波的特征速度和流體的深度。該方程用以描述潛水波表面小振幅長波的傳播狀態(tài)，由法國著名的數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家 Boussinesq［1］首次提出。Barostichi與Figueira［2］得到了當(dāng) α=1時(shí)的方程（1），即“好”的Boussinesq方程，在Gevrey空間上解的適定性和全局正則性。Xue［3］研究了有界域上“好”Boussinesq方程的初邊值問題。給出了該初邊值問題的局部和全局適定性。

相對的，當(dāng) α=-1時(shí)，方程（1）被稱為“壞”的Boussinesq方程。Yang和 Wang［4］對“壞”Boussinesq型方程初邊值問題解的爆破問題進(jìn)行了研究。隨著對Boussinesq方程的廣泛研究與應(yīng)用，開始出現(xiàn)含有不同形式的非線性項(xiàng)的Boussinesq方程。方程φtt=φxx-αφxxxx+β（f（φ））xx被稱為廣義 Boussinesq方程。Linares和Scialom［5］研究了含有一個(gè)一般形式的非線性項(xiàng)的Boussinesq方程的初值問題

其中f（φ）=α-1φ，α＞1。此后，Dimova和Kolkovska［6］為分析孤立子軌道的穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性，研究了具有兩個(gè)非線性項(xiàng)的 Boussinesq方程 φtt=φxx-hφxxxx+（f（φ））xx，其中

f（φ）=aφ2+bφ3，h＞0，a，b∈ R，b＞0，a2+b2≠0。對于具有更一般的形式的兩個(gè)非線性項(xiàng)的廣義Boussinesq方程：

φtt=φxx-φxxxx+（aφp+1+bφ2p+1）xx，p＞0.Zhang［7］運(yùn)用了Grillakis-Shatah-Strauss的軌道穩(wěn)定性理論，得到了判斷該方程孤波解的穩(wěn)定性的一般性結(jié)論。此外，Lin、Wu和 Loxton［8］考慮了當(dāng)f（φ）=-Δφ+ωφ時(shí)的情形，證明了在一定條件下問題（2）的解是爆破的。關(guān)于f（φ）被其它形式的非線性項(xiàng)所代替的情形具體可參看文獻(xiàn)［9-11］。

在研究含有不同形式的非線性項(xiàng)的廣義Boussinesq方程的基礎(chǔ)上，具有高階項(xiàng)的廣義Boussinesq方程也開始被深入研究。Wang和Esfahani［12］在一維空間中研究了含有六階項(xiàng)的Boussinesq方程的柯西問題

其中f（φ）=，β=±1。證明了該方程的解在中是全局適定的。基于Wang和Esfahani的研究，Geba與Witz［13］改進(jìn)了六階離焦全局適定性的Boussinesq方程，并推廣了廣義六階Boussinesq方程φtt=φxx+βφxxxx+φxxxxxx+（f（φ））xx，其中f（φ）=φp。

本文將在三維空間下對高階的廣義Boussinesq方程進(jìn)行研究

其中ΩT=Ω×［0，T］，μ=f（φ）=φ5-φ3+φ+Δ2φ-Δφ+6φ-6（φ2φ）-Δ5φ。這是一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，關(guān)于這個(gè)方程的研究不管是在數(shù)值計(jì)算還是理論分析方面都尚未報(bào)道。本文利用Galerkin方法證明Cauchy問題（3）局部弱解的存在性和唯一性。由于式（3）中關(guān)于梯度項(xiàng)的高度非線性的本質(zhì)給理論分析帶來了困難，借鑒Chen和Wang［14］的方法和技巧，本文將利用Sobolev空間理論克服這個(gè)困難。為簡單起見，假設(shè)在 ?Ω上，?→n（▽iφ）=0，?→n（▽iφ′）=0，i=（0，1，2，...，12）。

本文的主要結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹了一些基本不等式和主要定理。第2節(jié)對Galerkin逼近解進(jìn)行了先驗(yàn)估計(jì)，利用這些估計(jì)在第3節(jié)證明了本文的主要定理。

1 主要定理

為證明本文中的主要定理，需要應(yīng)用下面的基本不等式。

引理1（插值不等式）［14］如果r，k，j∈R，0≤k＜j＜r.那么，對任意的ψ∈Hr有下列不等式成立：

引理2（Gagliardo-Nirenberg-type插值不等式）［15］設(shè)j，m∈ N，q，r，θ∈ R，1≤q，r≤ ∞，≤ θ≤1，

如果 ψ∈Lq（Ω）∩Wm，r（Ω），那么 ψ∈Wj，p（Ω），且存在一個(gè)常數(shù)C=C（d，j，m，p，q，r，Ω）＞0使得下列不等式成立：

引理3（積分形式的 Gronwall不等式）［16］設(shè) ξ（t）是［0，T］上的非負(fù)可積函數(shù)，對任意的t都滿足下面的積分不等式

其中，常數(shù)C1，C2≥0。那么，對任意的0≤t≤T，ξ（t）≤C2（1+C1teC1t）。特別地，如果對任意的0≤t≤T都有

那么 ξ（t）=0。

下面給出問題（3）局部弱解的定義。

定義 1設(shè) φ∈L∞（0，T*；H2），φ′∈L∞（0，T*；L2），φ′′∈L2（0，T*；H-1）。若對任意的v∈（Ω），存在一個(gè)正常數(shù)T*＞0，問題（3）在［0，T*］上存在唯一局部弱解 φ（x，t），當(dāng)且僅當(dāng)

（1）［φ″，v］+（▽μ，▽v）=0，

（2）φ（0）=φ，φ′（0）=ψ。

本文的主要定理是：

定理1問題（3）存在一個(gè)局部弱解。

定理2問題（3）的局部弱解是唯一的。

2 先驗(yàn)估計(jì)

2.1 Galerkin逼近解

引理4取逼近解的形式為：

（i）φm（0）=φ，

（ii）φ′m（0）=ψ，

（iii）（φ″m，wk）=（Δμm，wk）。

證明逼近解的形式由（4）給出，且wk=wk（x）（k=1，...）表示（Ω）中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，于是有

令 （Δμm，wk）=fk（t），因此引理4中式（iii）的就轉(zhuǎn)化為dk″m（t）=fk（t）。由常微分方程理論，對 ?0≤t≤T（k=1，...，m），存在唯一的（t）滿足方程組

從而存在唯一的逼近解φm滿足方程

1.2 能量估計(jì)

用 · 表示空間L2中的范數(shù)，·p表示空間Lp中的范數(shù)，·Hs表示空間Hs中的范數(shù)。

命題1存在一個(gè)僅依賴于Ω，T的常數(shù)C，使得下列不等式成立：

在引理4的式（iii）兩邊同乘 dk′m（t），并對k從1到m求和，則

把上述等式右端B5，B7與φ′m的內(nèi)積移項(xiàng)到左端，因?yàn)?/p>

根據(jù)橢圓方程的正則性理論、Gagliardo-Nirenberg不等式和插值不等式可知

那么可以得到式（5）的估計(jì)式為

求解上述不等式得到

在引理 4的式（iii）兩邊同乘 Δ6dk′m（t），并對k從1到m求和，則

類似于前面對Bi的估計(jì)，由橢圓方程的正則性理論，Gagliardo-Nirenberg不等式、插值不等式和式（6）有

因此存在一個(gè)正常數(shù)T*，使得當(dāng)Y2（t）≤C，0≤t≤T*時(shí)，有

由式（6）與式（7）可知

3 局部弱解的存在性和唯一性

本節(jié)證明本文主要定理，首先對定理1進(jìn)行證明。

證明根據(jù)能量估計(jì)式（8）有：數(shù)列 ｛在L∞（0，T*；H2（Ω））中 有 界；｛在L∞（0，T*；L2（Ω））中 有 界；｛在L2（0，T*；H-1（Ω））中有界。

在L∞（0，T*；H2（Ω））中，φml弱收斂到φ，

在L∞（0，T*；L2（Ω））中，φ′ml弱收斂到 φ′，

在L2（0，T*；H-1（Ω））中，φ″ml弱收斂到 φ″。

φ″∈L2（0，T*；H-1（Ω））

任取正整數(shù)N和函數(shù)v∈C2（0，T*；H10（Ω））為如下的形式：

其中 ｛是光滑函數(shù)。任選m≥N，對引理4中式（iii）兩邊同乘dk（t），并對k從1到N求和，同時(shí)對t進(jìn)行積分得到

v∈L2（0，T*））是由wk表示的全體函數(shù)，

由稠密性可知對任意的v都有上述兩式成立。

取v=ξ（t）·w（x），其中 ξ（t）∈L2（0，T*），w（x）∈（Ω）。則

由 ξ（t）的任意性可知＜φ″，v＞+（▽μ，▽v）=0。

下面證明 φ（0）=φ，φ′（0）=ψ。

取函數(shù)v∈C2（0，T*；（Ω））且

v（T*）=v′（T*）=0。對式（10）進(jìn)行兩次分部積分，有

同樣地，對式（9）進(jìn)行兩次分部積分

令m=ml，當(dāng)ml→ ∞時(shí)，得到

由v（0）和v′（0）的任意性可知

φ（0）=φ，φ′（0）=ψ

定理1得證。

定理2的證明如下：

證明假設(shè)φ1和φ2是問題（3）的兩個(gè)解，則φ=φ1-φ2滿足方程

用φ′與φtt=Δ（μ）兩端做內(nèi)積，并把B4，B7與φ′的內(nèi)積移到等式左端。因?yàn)?/p>

上式兩端同時(shí)對t進(jìn)行積分有

由積分形式的Gronwall不等式有

那么φ=0。定理2得證。