立體幾何平行或垂直問(wèn)題解題策略

黃森宏

【摘要】高考立體幾何試題具有較強(qiáng)的綜合性與交匯性，是每年高考的必考內(nèi)容，考試突出綜合性，重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，突出空間想象、數(shù)形結(jié)合思想等思想。對(duì)于高中立體幾何有關(guān)平行垂直的證明與求解，需要對(duì)判定定理與性質(zhì)定理，平面圖形性質(zhì)及結(jié)構(gòu)特征，線線、線面、面面關(guān)系三者的互相轉(zhuǎn)化等等非常的熟悉與熟練。我們通過(guò)挖掘圖形特征，逐句提煉出所需平行或垂直信息及可能做的輔助線，熟練運(yùn)用線線、線面、面面的平行或垂直的性質(zhì)定理及互相轉(zhuǎn)化關(guān)系，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)能力。

【關(guān)鍵詞】立體幾何 圖形特征 平行垂直 性質(zhì)定理 輔助線 點(diǎn)線面相互關(guān)系的轉(zhuǎn)化

【中圖分類號(hào)】G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】1992-7711（2020）14-095-02

立體幾何在高考中占有非常重要的地位，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中的占比比較大，一般理數(shù)占22分、文數(shù)占22-27分，其題型與題量一般是1個(gè)解答題，理數(shù)2個(gè)小題，文數(shù)2-3個(gè)小題，小題位于5-8是中等難度的題目，另一小題是11-12題或填空的最后一題的位置，大題一般在第18題的位置，基本都突出考查平行垂直問(wèn)題。立體幾何試題有較強(qiáng)的綜合性與交匯性，考試突出綜合性，重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，突出空間想象、數(shù)形結(jié)合思想等思想。在多年的教學(xué)經(jīng)歷中，對(duì)于高中立體幾何有關(guān)平行垂直的證明與求解，需要對(duì)判定定理與性質(zhì)定理，平面圖形性質(zhì)及結(jié)構(gòu)特征，線線、線面、面面關(guān)系三者的互相轉(zhuǎn)化等等非常的熟悉與熟練，所以學(xué)生普遍對(duì)此存有一定的畏懼心理。那么我們應(yīng)該如何有效地解決立體幾何中的平行垂直問(wèn)題呢？下面我簡(jiǎn)單歸納立體幾何中平行與垂直的知識(shí)架構(gòu)。

1.如圖，多面體中ABCDEF中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=2， DF=BE=1， AF=CE= ，且平面ADF⊥底面ABCD.平面BCE⊥底面ABCD 求證：EF⊥平面ADF

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，我們首先要明確所需解決的是什么問(wèn).題，很明顯，這道題考查的是線面垂直，這是屬于垂直的問(wèn)題，下面我們?cè)俑鶕?jù)條件提煉垂直信息。

①底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，這里有表格里出現(xiàn)的信息。我們發(fā)現(xiàn)△ABD是等邊三角形，那它很可能要作△ABD其中一邊的中線，因?yàn)橛小叭€合一”的性質(zhì)。當(dāng)然菱形也還有對(duì)角線互相垂直這個(gè)信息點(diǎn)。那基本上很可能就要作中線這條輔助線。

②AB=2，DF=BE=1，AF=CE= ，這里出現(xiàn)邊長(zhǎng)，很可能要通過(guò)計(jì)算提煉出垂直信息，我們發(fā)現(xiàn)，通過(guò)計(jì)算用勾股定理可得出∠AFD與∠BEC都是直角，其中二個(gè)銳角還是30度與60度的銳角。

③我們?cè)倏吹谌?，平面ADF上底面ABCD，平面BCE⊥底面ABCD，那么很明顯需要用到面面垂上的性質(zhì)定理，也就是很可能要作輔助線是過(guò)點(diǎn)F作直線AD的垂線，過(guò)點(diǎn)E作直線BC的垂線這二條！到現(xiàn)在，我們把每個(gè)條件都提煉了，接下來(lái)就是證明，證明過(guò)程如下。

證明：分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作BC，AD的垂線，垂足為N，M，連結(jié)MN，

這道題很好地用到了平面圖形的特征，面面垂直的性質(zhì)定理，我們很順利地作出解決問(wèn)題所需的輔助線，然后運(yùn)用線面垂直的判定定理，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，很好地啟發(fā)了學(xué)生的思考能力，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，提升了學(xué)生的計(jì)算能力！提升了學(xué)生解決問(wèn)題的能力1

2.梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2，AD=AB=1，四邊形BDEF為正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD.

（1）求證：DF⊥CE.

（2）若AC與BD相交于點(diǎn)0.則在棱AE上是否存在點(diǎn)G，使得平面OBG∥平面EFC？并說(shuō)明理由。

證明（1）連接EB.

這些例子通過(guò)研究各平面圖形，挖掘圖形特征緊抓圖形特征，從圖形特征中，從題目的條件找出可能需用到的定理，進(jìn)而找到所需做的輔助線，同時(shí)熟練掌握并記憶線線，線面，面面的平行或垂直的性質(zhì)定理及它們之間的互相轉(zhuǎn)化，做到這些，離解決問(wèn)題就成功了一大半。同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生的書寫規(guī)范，做到能完整地寫出證明與求解過(guò)程！形成線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系三者相互轉(zhuǎn)化的推導(dǎo)能力。做到分分必爭(zhēng)，分分必得！讓學(xué)生學(xué)起來(lái)有成就感，體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，樂(lè)于學(xué)數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科上，真正地愛(ài)上數(shù)學(xué)！也是我們數(shù)學(xué)人共同的愿望！

【注：本文系廣東教育學(xué)會(huì)教育科研規(guī)劃小課題“立體幾何平行垂直的證明及解題的方法與策略研究”成果（課題編號(hào)：GDXKT22002）】