圓柱究竟有多少條高

林育云 章勤瓊

【摘 ? 要】圓柱的高的概念具有雙重意義，高線是指線段，有無數(shù)條;高度則是高線的度量值，只有一個。高線和高度分別從“形”和“量”兩個角度對圓柱的高進行了描述。在幾何概念的教學(xué)中，教師要淡化文字形式的表達，充分挖掘概念的內(nèi)涵，設(shè)計多層次的活動讓學(xué)生多角度、多維度地認(rèn)識、理解圓柱的高的本質(zhì)。同時，在教學(xué)中還要注重活動經(jīng)驗的積累和知識方法的遷移。

【關(guān)鍵詞】圓柱的高;幾何概念;理解;活動經(jīng)驗

空間觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的核心概念之一，雖然小學(xué)數(shù)學(xué)教材并沒有給出空間觀念的明確定義，但發(fā)展學(xué)生空間觀念的學(xué)習(xí)內(nèi)容卻貫穿“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的全過程。[1]空間觀念的發(fā)展需要依托對重要幾何概念的理解，然而，對一些幾何概念，教師可能存在不一樣的理解。

一個教師QQ群曾經(jīng)討論過這樣的問題：圓柱有多少條高？之所以提出這個問題，是因為在教學(xué)用書上有這樣一句話：連接圓柱兩個底面中心的線段就是圓柱的高。這句話從字面上理解是說圓柱的高只有一條，就是連接兩個底面中心的線段。然而，在日常教學(xué)中，我們經(jīng)常說：圓柱有無數(shù)條高。這里的一條和無數(shù)條是否矛盾？那圓柱究竟有多少條高？在教學(xué)中又需要注意什么？這需要我們對相關(guān)概念進行梳理，進而對教學(xué)作進一步的思考。

一、圓柱高的概念的雙重意義

現(xiàn)代數(shù)學(xué)對圓柱高的定義是“兩個底面間的距離是圓柱的高”[2]。圓柱的兩個底面是平行的，《數(shù)學(xué)辭?！分袑Α皟善叫衅矫骈g的距離”的解釋是“刻畫兩平行平面相關(guān)位置的一個數(shù)量”[3]。人教版和蘇教版教材對圓柱高的定義都是：圓柱兩個底面之間的距離叫作圓柱的高?？梢钥闯?，這里的高表示的是長度。北師大版的教材雖沒有對圓柱高進行定義，但教材動態(tài)呈現(xiàn)由面到體旋轉(zhuǎn)得到圓柱的過程，并在對圓柱各部分名稱（底面、側(cè)面、高）的教學(xué)當(dāng)中，定義O'O這條線段為圓柱的高，相關(guān)配套教學(xué)用書中的解釋為：連接圓柱兩個底面中心的線段就是圓柱的高。這里的高表示的是一條與底面垂直的線段。圓柱的高指的是長度還是線段？更進一步地進行分析，表示長度的“度量值”應(yīng)該是唯一的，而我們卻經(jīng)常說圓柱的高有無數(shù)條，這些應(yīng)該如何理解？

在小學(xué)階段“圖形的認(rèn)識”中，常常需要畫出一些圖形的高，這時的“高”指的是一條垂直線段，它是一個圖形;而在計算面積時也會用到高，這時的“高”指的是一條線段的長度，是一個數(shù)量。因此，“高”有兩種不同的含義：表示一個圖形（符合特定條件的一條線段）或者指一個數(shù)量（該線段的長度）[4]?？梢?，在討論幾何圖形的高的時候，是有兩個不同層面的意義——高線和高度。高線是一條線段，高度則是高線的度量值[5]。因此我們可以這樣理解，圓柱的高有無數(shù)條，是從高線的意義上來講的，所有與底面垂直且在兩底面之間的線段都可以看作圓柱的高;圓柱的高只有一個，是從高度的意義上來說的，圓柱的所有高線的長度度量值都是一樣的。這也說明高既有“形”的意義，也有“量”的意義。在數(shù)學(xué)中，有些概念的確有多重意義。例如，在不同的背景中，“圓”既可以表示“圓周”，也可以表示“圓面”;三角形、長方形、平行四邊形等平面圖形既可以指這些圖形由邊組成的外圍，也可以包括內(nèi)部;等號既可以表示計算結(jié)果，又能表示左右兩邊相等的關(guān)系;而分?jǐn)?shù)，則至少有“部分與整體的關(guān)系”“商”“度量”“比”和“運算子”這樣五種不同的意義[6]。

當(dāng)我們厘清圓柱的高有“高線”和“高度”兩種不同意義后，并不意味著一定要從文字上跟學(xué)生講解兩者的不同。理解一個概念，意味著要理解它的準(zhǔn)確定義、直觀內(nèi)容，以及為何需要這個概念、在什么背景下它會發(fā)揮作用[7]。而且，根據(jù)上下文，一般都可以判定其中所說的“高”指的是哪一種意義[8]。因此，我們更需要讓學(xué)生真正理解圓柱的高的概念本質(zhì)以及不同的意義，而非單純從文字上判定圓柱的高的定義是否準(zhǔn)確，或者回答“圓柱究竟有多少條高”這樣的問題。從這個角度去理解圓柱的高并思考相應(yīng)的教學(xué)，才能站在更高的高度引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，用更廣的視野主動溝通知識間的聯(lián)系，設(shè)計多維的、有層次的學(xué)習(xí)活動幫助學(xué)生認(rèn)識和理解幾何概念，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

二、如何幫助學(xué)生更好地理解圓柱的高

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系;描述圖形的運動和變化;依據(jù)語言的描述畫出圖形等。[9]學(xué)生的空間觀念可以包括以下幾個方面：一是轉(zhuǎn)化，二是表達，三是分析，四是想象[10]。要發(fā)展空間觀念，首先需要深入地理解一些重要的幾何概念。

在幾何概念的學(xué)習(xí)中，需要“淡化形式，注重實質(zhì)”[11]。以“圓柱的高”為例，因為圓柱的高具有“高線”和“高度”的雙重意義，因此，在教學(xué)中需要設(shè)計多層次的活動，幫助學(xué)生建立豐富的圖形表象，從而更好地理解概念本質(zhì)。

第一，通過觀察認(rèn)識圓柱的高。教師可以讓學(xué)生先觀察圓柱形物體，指出圓柱的高。因為圓柱的母線是在圓柱的外部，學(xué)生比較容易找出;可以利用牙簽和牙簽盒這種比較直觀的物體讓學(xué)生來認(rèn)識圓柱的高不止一條;還可以通過切割的方法，把圓柱沿著與底面垂直的方向任意切割，讓學(xué)生感受到圓柱的高也存在于它的內(nèi)部，并且有無數(shù)條。這是認(rèn)識“形”的意義上的“高線”，有無數(shù)條。

第二，通過度量認(rèn)識圓柱的高。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法對圓柱的高進行測量，如直接測量圓柱的母線，用平移法來測量圓柱的高，從不同的位置進行測量，從水平方向?qū)Ω哌M行測量。學(xué)生在測量的過程中明晰，雖然圓柱的高有無數(shù)條，但它們的長度都是一樣的，都是兩個底面之間的距離。這是認(rèn)識“量”的意義上的“高度”，高度只有一個。

第三，通過運動認(rèn)識圓柱的高。對于圖形的認(rèn)識，不僅可以從靜態(tài)的角度去認(rèn)識它，還可以從動態(tài)的角度去豐富對它的認(rèn)識。[12]教師可以借助生活中的“旋轉(zhuǎn)門”等素材，讓學(xué)生感受“面動成體”;用貼有長方形小紙片的小棒快速地旋轉(zhuǎn)一周，得到圓柱，實現(xiàn)二維圖形到三維物體的轉(zhuǎn)化，并在長方形中尋找圓柱的高。通過這樣的操作、聯(lián)系和想象，能更好地幫助學(xué)生理解高的概念，同時發(fā)展空間觀念。

需要指出的是，教師在教學(xué)中還需要通過相應(yīng)的變式讓學(xué)生更好地認(rèn)識圓柱的高，比如改變圓柱放置的位置——豎著放、橫著放、斜著放，讓學(xué)生指出它的高，由此意識到不管圓柱擺放的位置如何變化，它的高依然是兩個底面之間的垂直線段，而高度則始終是兩個底面之間的距離;還可以讓學(xué)生了解在生活中圓柱的高還有其他名稱，如硬幣的高可以叫厚，煙花筒的高可以叫長，桶的高可以叫深，雖然叫法不同，但指的都是圓柱的高。像這樣通過多種變式，學(xué)生能更好地挖掘概念的特征與內(nèi)涵，多角度、多維度地認(rèn)識、理解圓柱的高的本質(zhì)。

三、幾何概念教學(xué)的兩點建議

理解圖形概念的本質(zhì)是第二學(xué)段圖形認(rèn)識的重要教學(xué)目標(biāo)[13]。圓柱的高是構(gòu)成圓柱的一個要素，同時從“形”和“量”的角度對圓柱進行刻畫。教師可以提供豐富的素材，通過設(shè)計多層次的學(xué)習(xí)活動，從外部到內(nèi)部，從實物到想象，從觀察到表達，讓學(xué)生在觀察、操作、想象等活動中深刻地理解圓柱高的內(nèi)涵。除了采用豐富的教學(xué)內(nèi)容和手段之外，教師在進行幾何概念的教學(xué)時還要重視以下兩個方面。

第一，注重活動經(jīng)驗的積累。首先，需要積累操作活動經(jīng)驗，在教學(xué)過程中教師要設(shè)計豐富的活動，提供充足的時間讓學(xué)生動手操作。如從不同的角度測量高以加深對高的認(rèn)識，用長方形、直角三角形快速旋轉(zhuǎn)一周來體驗圓柱或圓錐的形成過程。其次，需要積累想象經(jīng)驗，譬如，拿一張長方形紙，分別用它的長、寬以及長方形的對稱軸進行旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生想象它們旋轉(zhuǎn)后的圖形，并思考所形成的不同圓柱的表面積和體積與長方形的哪些邊有關(guān)。再次，需要積累表達經(jīng)驗，教師可以為學(xué)生提供多種形式的表達圖形的機會，并強調(diào)語言的表達。在學(xué)習(xí)的過程中，通過語言的表達，學(xué)生更深入地理解幾何概念，進一步發(fā)展空間觀念。

第二，注重知識和方法的遷移。幾何概念的學(xué)習(xí)，是建立在已學(xué)知識的基礎(chǔ)上的。因此，教師要特別重視幾何概念學(xué)習(xí)過程中知識的前后聯(lián)系。首先是知識的遷移，學(xué)生對高的學(xué)習(xí)并不陌生，可以將圓柱的高與之前學(xué)習(xí)的三角形、平行四邊形、梯形等平面圖形的高建立聯(lián)系，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)所有圖形的高都是對距離的描述，是決定圖形大小的要素，但三角形的高描述的是點與線之間的距離，平行四邊形、梯形的高描述的是線與線之間的距離，圓柱的高描述的則是面與面之間的距離。其次是方法的遷移，對高的研究是從三角形開始的，從高的概念、度量值、畫法、測量以及它的長度對三角形大小的影響等方面進行研究，這樣的研究方法同樣可以遷移到對其他圖形高的學(xué)習(xí)上，包括立體圖形的高。而且，對于幾何圖形中不同要素的學(xué)習(xí)，也可以從形狀、位置關(guān)系、圖形的變換、度量值等方面進行研究。除此之外，像平行四邊形的面積是用轉(zhuǎn)化的方法進行研究的，研究其他平面圖形的面積、立體圖形的表面積以及體積的時候也可以用同樣的方法。

通過知識和方法的遷移，學(xué)生逐步認(rèn)識到，在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，雖然有些知識從表面上看不一樣，但其本質(zhì)是相同的，而在方法上也可以進行遷移，從而有意識地形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，更好地理解幾何概念，掌握幾何學(xué)習(xí)的方法。

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（廣東省揭陽市榕城區(qū)紅旗小學(xué) ? 522000

溫州大學(xué)教育學(xué)院 ? 325035）