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    巧解圓中的范圍問題

    2020-07-09 06:04:38
    關(guān)鍵詞:垂徑半軸動點(diǎn)

    吳 亭

    (江蘇省木瀆高級中學(xué),215000)

    解析幾何就是在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,利用“數(shù)”的辦法來解決“形”的問題.其運(yùn)算量大,過程繁瑣,對思維要求也高,是高考的難點(diǎn)之一.如果我們能夠充分挖掘圖形的幾何關(guān)系,結(jié)合嚴(yán)密的代數(shù)運(yùn)算,就可相對巧妙地處理圓中的范圍問題.

    一、分析動靜關(guān)系,巧用轉(zhuǎn)化思想

    1.轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離

    例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=1,圓M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a為實(shí)數(shù)).若圓O與圓M上分別存在點(diǎn)P、Q,使得 ∠OQP=30°,則a的取值范圍為________.

    分析 問題中的圓心M動中有定,它在定直線2x+y+6=0上運(yùn)動,P,Q分別是定圓O與動圓M上的動點(diǎn).可以考慮將等量關(guān)系“∠OQP=30°”轉(zhuǎn)化為關(guān)于“線段OQ長”的不等關(guān)系,從而求出參數(shù)a的取值范圍.

    解 過Q作QR與圓O切于點(diǎn)R,則∠OQR≥30°,得OQ≤2.又OM-1≤OQ≤OM+1,

    評注 在動態(tài)問題的分析中,將動點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線綜合考慮,巧妙地將動態(tài)問題向靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化,可以有效避免盲目地尋找方程或不等式和進(jìn)行相對繁瑣的代數(shù)運(yùn)算.

    2.轉(zhuǎn)化為定角問題

    例2 已知圓C:x2+y2=4和直線l:x+y-3=0,若圓C上存在兩點(diǎn)A,B,使得以AB為直徑的圓與直線l有公共點(diǎn)P,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)范圍是_______.

    分析 實(shí)際教學(xué)中,學(xué)生對“以AB為直徑的圓與直線l有公共點(diǎn)P”的處理感到棘手,易被問題導(dǎo)向直線與圓的位置關(guān)系.而轉(zhuǎn)化為∠APB=90°,問題則變得常規(guī)而親切了.

    解 由以AB為直徑的圓與直線l有公共點(diǎn)P,知∠APB=90°.過點(diǎn)P作PQ、PR與圓C切于Q、R,則 ∠QPR≥ ∠APB=90°,即∠OPR≥45°,故OP≤ 22.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0,則,解得

    評注 定直線上的動點(diǎn)與圓上兩個動點(diǎn)構(gòu)成定角的問題是學(xué)生熟悉的,在變換表述方式后,我們需要通過對條件的挖掘,根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)作出判斷,將未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化.

    二、巧找“隱圓”,運(yùn)用軌跡

    1.利用垂徑定理發(fā)現(xiàn)“隱圓”

    分析 問題中的條件“直線l交圓于A,B兩點(diǎn)”和目標(biāo)“”均指向弦AB的中點(diǎn),根據(jù)垂徑定理發(fā)現(xiàn)弦AB中點(diǎn)的軌跡是以CP為直徑的圓.

    評注 垂徑定理和“隱圓”在圓中應(yīng)用廣泛,教學(xué)時(shí)要注重對學(xué)生“隱性”軌跡意識的培養(yǎng),將兩者結(jié)合起來考察,體現(xiàn)了分析問題時(shí)對常規(guī)思路的重視.當(dāng)然,阿波羅尼斯圓在圓中的考察也很普遍.

    2.軌跡法中的純粹性問題

    例4 已知定點(diǎn)M(-1,2),動點(diǎn)N在單位圓x2+y2=1上運(yùn)動,以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形OMPN,則點(diǎn)P到直線2x+y+5=0距離的取值范圍是_______.

    分析 從條件“OM,ON為鄰邊作平行四邊形OMPN”出發(fā),可以得到點(diǎn)P在以點(diǎn)M為圓心,1為半徑的圓上.然而點(diǎn)P的軌跡不是整個圓,還需要去掉兩個點(diǎn).

    評注 在利用軌跡法巧妙發(fā)現(xiàn)“隱圓”時(shí),需要檢驗(yàn)軌跡的純粹性.剔除“隱圓”上不合題意的點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生思考問題的嚴(yán)謹(jǐn)性.另外,可以作如下變式:

    變式1 將“以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形OMPN”改為“”,則軌跡中不需要剔除直線OM與圓M的兩個交點(diǎn),(答案為:

    變式2 將問題中的“直線2x+y+5=0”改為“直線3x+4y+15=0”,我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的軌跡“隱圓”依然要去除兩點(diǎn),而這兩點(diǎn)到直線的距離卻不被剔除.(答案為:[3,5])

    三、深入分析圖形,巧用幾何關(guān)系

    例5 已知圓C:x2+(y-1)2=r2(2≤r≤3),點(diǎn)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn),過點(diǎn)A作圓的弦AB,記線段AB的中點(diǎn)為M.若OA=OM,則直線AB的斜率的取值范圍是_______.

    分析 在實(shí)際教學(xué)中,學(xué)生利用垂徑定理可以發(fā)現(xiàn)OAMC四點(diǎn)共圓,之后的代數(shù)法選擇正弦定理或者韋達(dá)定理計(jì)算量都較大.此時(shí)不妨分析幾何圖形特征,由點(diǎn)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn),聯(lián)想到圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)D與A關(guān)于原點(diǎn)O對稱,得OA=OM=OD.又CM⊥AM,知M、C、D三點(diǎn)共線,則問題迎刃而解.

    解 設(shè)圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)為D,則OA=OM=OD,易得 ∠AMD=900.又∠AMC=900,故M,C,D三點(diǎn)共線,所以kAB·kCD=-1.因?yàn)?,所?/p>

    評注 借助圓的幾何特征,發(fā)現(xiàn)關(guān)系OA=OM=OD,并與平面幾何中的結(jié)論“直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半”建立聯(lián)系,巧妙地將復(fù)雜計(jì)算變得十分簡潔.

    例6 已知圓O:x2+y2=4,兩個定點(diǎn)A(2,2),B(m,1),P為圓O上任意一點(diǎn),且PA

    (1)求常數(shù)m的值;

    (2)過點(diǎn)E(2,t)作直線l與圓C:x2+y2=m交于M、N兩點(diǎn),若M點(diǎn)恰好是線段NE的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

    分析 第(1)小題利用恒成立可得m=1;第(2)小題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式將問題轉(zhuǎn)化為兩圓位置關(guān)系,也可以借助垂徑定理,通過圖形中的幾何關(guān)系來解決.

    評注 由垂徑定理構(gòu)造直角三角形,巧妙利用勾股定理建立關(guān)系,最終轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離問題.

    圓中的范圍問題本質(zhì)是以圓為背景的動態(tài)問題.通常從建立動點(diǎn)與圓心或弦中點(diǎn)的關(guān)系入手,充分利用圓的幾何性質(zhì),挖掘隱性軌跡,辯證認(rèn)識動靜的關(guān)系,考慮將動態(tài)問題向靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化.從而在定性分析的基礎(chǔ)上,結(jié)合平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行定量運(yùn)算,數(shù)形結(jié)合,化繁為簡.

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