分類例說(shuō)構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

沈 重

（江蘇省吳縣中學(xué)，215010）

所謂構(gòu)造法，是指當(dāng)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題按照定式思維思考不出結(jié)果時(shí)，轉(zhuǎn)變到從另一個(gè)角度去尋找問(wèn)題的數(shù)量、結(jié)構(gòu)、條件與結(jié)論間的關(guān)系特征等，從而構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)對(duì)象或問(wèn)題形式，使原來(lái)隱晦不清的特性在新構(gòu)造出的數(shù)學(xué)對(duì)象或問(wèn)題形式中清晰地展現(xiàn)出來(lái)，達(dá)到簡(jiǎn)捷地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的.

古人云：工欲善其事，必先利其器.在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，解題方法正是解題之“器”.而“數(shù)學(xué)構(gòu)造法”便是解題方法之一.本文圍繞中高考命題趨勢(shì)，借助多個(gè)典型題目來(lái)分類探討數(shù)學(xué)構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用.

一、構(gòu)造方程

顧名思義，即通過(guò)構(gòu)造方程式來(lái)幫助我們解題，最常見的是構(gòu)造一元二次方程（組）來(lái)解決問(wèn)題.

證明 構(gòu)造方程

例2 （2011年浙江高考題）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為_______ .

分析 直接分別求x和y的值幾乎不可能，因?yàn)榉匠讨挥幸坏蓝粗獢?shù)有兩個(gè)，所以可考慮將2x+y看成一個(gè)整體，通過(guò)構(gòu)造法直接求出其范圍.

解 設(shè)t=2x+y，則原式可化為t2-3xy=1整理得

由韋達(dá)定理，可構(gòu)造新一元二次方程

（該方程兩根分別為2x和y）

評(píng)注 構(gòu)造方程是數(shù)學(xué)解題中使用頻率較高的一種方法，且其中又以構(gòu)造一元二次方程為主，因?yàn)橐辉畏匠碳捌湎嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)是初高中學(xué)習(xí)的一個(gè)重難點(diǎn).從典型例題中發(fā)現(xiàn)，與一元二次方程構(gòu)造有關(guān)的往往始于根與系數(shù)的判別式Δ=b2-4ac，所以解題時(shí)須密切關(guān)注與之相似或有關(guān)的條件，借以構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆匠梯o助快速解題.

二、構(gòu)造圖形

圖形構(gòu)造法，是指當(dāng)問(wèn)題條件的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義或能以某種方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形來(lái)體現(xiàn)，借助幾何圖形的性質(zhì)研究，從而獲得問(wèn)題的解法的方法.

圖1

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中作點(diǎn)A（0，1），B（10，2），D（a，0），B′（10，-2），則

例 4 已知a，b，c為正數(shù)，證明

證明 如圖2所示，在平面上取一點(diǎn)O，作 ∠AOB= ∠BOC= ∠COA=120°，OA=a，OB=b，OC=c.由余弦定理可得

圖2

而三角形中兩邊和大于第三邊，故AB+BC＞AC，即

評(píng)注 在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，常見的證明不等式、求最值等問(wèn)題，只要能挖掘出其幾何意義，那么都有可能應(yīng)用到構(gòu)造圖形的方法來(lái)解決.例如所給條件中伴有根式時(shí)，我們可以聯(lián)想到構(gòu)造點(diǎn)與點(diǎn)、線與線之間的距離關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.

三、構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)法，指結(jié)合題設(shè)條件，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)輔助解答問(wèn)題的方法.

例5 已知x＞0，求證：

當(dāng)x＞1時(shí)，

評(píng)注 函數(shù)的相關(guān)知識(shí)一直以來(lái)都是中高考，特別是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，函數(shù)題目成為壓軸題的情況更是屢見不鮮.而許多看似與函數(shù)無(wú)關(guān)的題目，其實(shí)都可以巧妙地通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法解答.構(gòu)造函數(shù)之后，便涉及到函數(shù)的單調(diào)性和求導(dǎo)等知識(shí)的運(yùn)用.因此構(gòu)造函數(shù)法是另一種極為重要的解題方法.

四、構(gòu)造數(shù)列

在高中階段，常見的數(shù)列問(wèn)題之一是求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.常見解法主要有猜想法，累加法，累乘法以及構(gòu)造新數(shù)列法.用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式是一類廣泛而復(fù)雜的問(wèn)題，同時(shí)也是比較巧妙的方法.構(gòu)造數(shù)列又常分為兩大類：構(gòu)造等比數(shù)列和等差數(shù)列，其中構(gòu)造等差數(shù)列還包括一種特殊情況：構(gòu)造常數(shù)列.

例7 （2012年廣東高考題）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N＊，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列.

（1）求a1的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解 （1）略.

（2）將2Sn=an+1-2n+1+1與2Sn-1=an-2n+1相減，得2an=an+1-an-2n（n≥2），即是an+1=3an+2n.

驗(yàn)證知道n=1時(shí)也成立.

方法1 構(gòu)造等比數(shù)列

在高考中，數(shù)列問(wèn)題雖不如函數(shù)占比那么大，但屬于必考知識(shí)點(diǎn)，也是大題中的?？?，甚至在某些年份的高考卷中以壓軸題的身份出現(xiàn)（如2011年廣東理科數(shù)學(xué)卷），由此足以體現(xiàn)命題者對(duì)其重視的程度.高中的數(shù)列以等差和等比數(shù)列為主，但數(shù)列題目中往往不會(huì)一目了然地給出這兩種形式的數(shù)列，這時(shí)候就需要用到構(gòu)造數(shù)列法，將題設(shè)中復(fù)雜的形式通過(guò)構(gòu)造法轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的數(shù)列形式.

在如今的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究中，人們往往只談“化歸”而不單獨(dú)討論“構(gòu)造法”，這在某種程度上講是無(wú)可非議的，畢竟構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種重要的化歸手段.但是不能因此減少對(duì)構(gòu)造法的重視，尤其在如今數(shù)學(xué)測(cè)試的綜合程度越來(lái)越高的情況下，構(gòu)造法將更加頻繁地應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題中，因?yàn)闃?gòu)造法往往能巧妙地化解許多看似無(wú)從下手的問(wèn)題.但是另一方面，構(gòu)造法的解題思路屬于非常規(guī)思維，雖有原則可循，但卻無(wú)固定的解題方法，常常需要靠學(xué)生的“頓悟”.而這其實(shí)也是對(duì)一個(gè)人創(chuàng)造性思維能力的一種考驗(yàn)［2］.同時(shí)，如今課標(biāo)也越來(lái)越重視對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，所以訓(xùn)練數(shù)學(xué)構(gòu)造法也可以成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的一種方式.

因此，教師在上課時(shí)可適當(dāng)將構(gòu)造法融入教學(xué)中，比如將其作為一題多解中的一種解法來(lái)講解.由于構(gòu)造法對(duì)解題思維的要求較高，教師最好在展示解題方法的過(guò)程中適當(dāng)暴露思維過(guò)程，這樣更能讓學(xué)生了解解題過(guò)程中每一個(gè)步驟的由來(lái)及其使用的目的.