“六何”認(rèn)知鏈理論指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)＊
——以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”為例

張麗杰 周 瑩

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，541004）

數(shù)列在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用范圍很廣，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、分析、綜合等能力的重要題材，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于這部分僅有初中學(xué)的簡(jiǎn)單函數(shù)作為基礎(chǔ)，所以新課的引入非常重要.

所謂“六何”，可看成由對(duì)知識(shí)來(lái)龍去脈及總結(jié)反思的發(fā)問(wèn)而構(gòu)成的認(rèn)知鏈，即“從何→是何→與何→如何→變何→有何”認(rèn)識(shí)鏈.［1］值得注意的是，“六何”認(rèn)知鏈并不是簡(jiǎn)單的單向進(jìn)行，而是多種開(kāi)端，多種組織方式，可以根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，靈活運(yùn)用.本節(jié)教學(xué)將選取“從何、是何、如何、變何、有何”展開(kāi)設(shè)計(jì).

一、創(chuàng)設(shè)情境，感悟“從何”

如圖1，一個(gè)堆放鉛筆的V形三腳架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支鉛筆，最上面一層放100支.問(wèn)這個(gè)三腳架一共有多少支鉛筆？

圖1

圖2

由圖1，有S100=1+2+…+100， ①

由圖2，有S100=100+99+…1. ②

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生生活引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，為后面的公式推導(dǎo)打下基礎(chǔ).

二、探討發(fā)現(xiàn)，體驗(yàn)“是何”

1.類比歸納

師：大家觀察一下③式，能否根據(jù)它得出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式呢？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)特殊推出一般公式，培養(yǎng)學(xué)生觀察、總結(jié)歸納能力.

2.精益求精

師：由特殊類比出一般的公式是否缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性呢？下面我們一起來(lái)證明④式的合理性.

已知等差數(shù)列｛an｝.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生邏輯推理能力.

3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式一

其中，a1為等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)，an為尾項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù).

三、數(shù)學(xué)應(yīng)用，把握“如何”

例1 計(jì)算下列等差數(shù)列的和：

解析 （1）a1=101，an=60，n=42；

（2）a1=2，an=2n+4，n=n+2.

代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式一即可.

說(shuō)明 通過(guò)上述兩個(gè)例題我們發(fā)現(xiàn)，要想正確運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式一，就必須找對(duì)項(xiàng)數(shù)n.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)本知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固練習(xí)，加深對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解.

四、變換條件，探究“變何”

1.漸入佳境

等差數(shù)列2，4，6，… 中前多少項(xiàng)的和是9 900？

說(shuō)明 此時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)直接應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式已經(jīng)不能夠計(jì)算出結(jié)果，那么就應(yīng)該對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行變形.經(jīng)過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)，只能對(duì)an進(jìn)行變形，使an=a1+nd，則等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可變形為

即為等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的變形公式.

對(duì)于上述問(wèn)題有

解之得n=99.

2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式二

其中，a1為等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)，d為公差，n為項(xiàng)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生明白，當(dāng)已知公式不適用時(shí)，可以將公式變形來(lái)解決問(wèn)題.

3.總結(jié)方法

在本節(jié)課開(kāi)始時(shí)，計(jì)算三腳架所含鉛筆個(gè)數(shù)過(guò)程中，我們將①式反序相加得到 ②式，再將①②相加，得到最終結(jié)果.在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和過(guò)程中，可以依舊采取相同的方法得到了最終結(jié)果.故把這種方法叫做倒序相加法.

五、反思提升，歸納“有何”

今天你學(xué)會(huì)了什么？你有什么收獲與體會(huì)？

兩個(gè)公式：

一種方法：倒序相加法.

馬克思主義哲學(xué)認(rèn)為任何事物都是普遍聯(lián)系的，反對(duì)孤立片面的觀點(diǎn).“六何”認(rèn)知鏈將課堂教學(xué)完整地呈現(xiàn)出來(lái)，以整體視角把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣，將數(shù)學(xué)課堂變成充滿思考的探究“實(shí)驗(yàn)室”，正蘊(yùn)含了這樣的哲學(xué)思想.整個(gè)過(guò)程，通過(guò)提出分析解決問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“從何”、“是何”、“如何”、“變何”、“有何”的認(rèn)知過(guò)程，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，依托六個(gè)任務(wù)，各環(huán)節(jié)之間環(huán)環(huán)相扣，步驟清晰，層次分明.

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是高中階段一個(gè)重要的內(nèi)容，學(xué)生也是第一次接觸，所以應(yīng)該充分考慮到學(xué)生的接受能力及他們的認(rèn)知水平.本節(jié)課從生動(dòng)有趣的實(shí)際問(wèn)題引入，通過(guò)對(duì)一般規(guī)律的探索，逐步學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.再通過(guò)例題，進(jìn)一步理解和體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和倒序相加法的內(nèi)涵.通過(guò)上述過(guò)程，逐步形成用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生“邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算”等核心素養(yǎng).