基于HPM的數(shù)學(xué)公式生成

陳 蓓

(江蘇省南通中學(xué)，226001)

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要組成部分,也是 HPM(History and Pedagogy of Mathematics的縮寫,意為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育) 研究的重要方向之一.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué),離不開基于數(shù)學(xué)史料的數(shù)學(xué)問題的提出.

筆者有幸參加了由江蘇省教研室組織的青年教師優(yōu)課評比,并獲得了一等獎.在本次比賽中,筆者以蘇教版《數(shù)學(xué)》必修5第二章第2節(jié)的“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”第一課時(shí)為課題,上了一節(jié)基于HPM的公式生成課.下面介紹本節(jié)課的教學(xué)過程及筆者的教學(xué)反思.

一、 借助史料,引入課題

師:數(shù)學(xué)在故事中,故事在歷史中.本節(jié)課,讓我們沿著歷史的足跡,尋找數(shù)學(xué)故事,感受數(shù)學(xué)之美.在我國數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中有這樣一個故事:“今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊,齊去長安三千里.良馬初日行一百九十三里,日增十三里;駑馬初行九十七里,日減半里.復(fù)還迎駑馬,問幾何日相逢.”這是一個怎樣的數(shù)學(xué)問題呢?

生:等差數(shù)列.

師:這個等差數(shù)列的首項(xiàng)是什么?公差是多少?我們說:良馬逐日的行程數(shù)構(gòu)成了一個以193為首項(xiàng),13為公差的等差數(shù)列.此時(shí),根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,我們可以求出良馬前15日的逐日行程數(shù)(略).

師:接下來,你還能繼續(xù)研究什么數(shù)學(xué)問題嗎?

生:求良馬前15日行程總和.

師:這就是我們今天要研究學(xué)習(xí)的“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn”.

二、 展開問題,探索新知

師:下面我們就來研究這個故事中良馬前15日的總行程S15=193+206+…+375=?

生:可以一個一個相加.

師:當(dāng)然可以.但是計(jì)算起來比較麻煩,而且如果要求前100日的總行程就不太好辦了.有沒有更好的辦法呢?

師:這種計(jì)算方法對嗎?這個式子蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)道理呢?你想知道中國的古人是怎樣解決這個問題的嗎?其實(shí),我國古代數(shù)學(xué)家楊輝早在高斯之前500多年就在《詳解九章算法》中給出了解決方法.他畫了這樣一個條形圖(圖1),其中每一個條形的長度表示“良馬”每日的行程數(shù):

第一天的行程數(shù)用長為193的條形表示,第二天的行程數(shù)用長為193+13的條形表示,以此類推…良馬前15天的行程數(shù)用這個圖表示.這樣,求“良馬”前15日總行程即求什么?

生:這15個條形的長度之和.

師:下面請同學(xué)們沿著古人的足跡,借助手中的“良馬圖”，求一求“良馬”前15日的行程總和S15.請小組展開討論.

生:我們發(fā)現(xiàn)“良馬”前15日的行程都具有共同的193,于是先將這部分割出來,求得這部分長度之和為15×193,剩余的部分補(bǔ)成相同的14×13(圖2).

師:為什么要補(bǔ)呢?

生:因?yàn)檠a(bǔ)成相等的數(shù),求和比較容易.

師:好的,接下來你們有什么發(fā)現(xiàn)?

師:很好!這組同學(xué)將不等數(shù)的求和通過“補(bǔ)”的方法轉(zhuǎn)化為了相等數(shù)的求和.這實(shí)際上就是我國數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中的方法.

師:我發(fā)現(xiàn)有一組同學(xué)采用了另一種方法,請這位同學(xué)來展示一下(學(xué)生演示)

師:這種方法也很好,這是在小學(xué)時(shí)同學(xué)們就已知道的數(shù)學(xué)家高斯的一種求和方法,其實(shí)他落后我國數(shù)學(xué)家楊輝500多年呢!

三、歸納提升,生成公式

師:你能類比剛才我們將“良馬圖”倒過來求和的方法,來論證這個結(jié)果嗎?(學(xué)生回答,老師補(bǔ)充)

圖3的左邊表示的是以a1為首項(xiàng),公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和:

Sn=a1+a2+…+an

=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d].

而右邊則表示的是以an為首項(xiàng),公差為-d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和:

Sn=an+an-1+…+a1

=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d].

這種證明公式的方法稱為“倒序相加法”.你們還能由另一種求和方法得到等差數(shù)列{an}的另一個前n項(xiàng)和公式嗎?

師:能借助剛才的第一個公式快速證明這個結(jié)果嗎?

四、 應(yīng)用新知,解決問題

例1在等差數(shù)列{an}中,完成下表:

a1nanSnd3501013101232-15212

師:如果已知了a1,n,an,如何求Sn呢?如果已知了a1,n,d,又如何求Sn呢?

生:直接使用兩個公式.

師:對于第三個問題,無法直接使用公式,你如何解決呢?

生:借助兩個求和公式和通項(xiàng)公式,列方程組求解.

師:觀察公式,這三個公式中都體現(xiàn)了四個量之間的關(guān)系,代入已知的三個量,都可以得到a1和an的一個等量關(guān)系.因此，只需在兩個求和公式和通項(xiàng)公式中任意選擇兩個公式組成方程組,即可求得.

師:在本題的運(yùn)算過程中,你有什么感悟嗎?

生:在等差數(shù)列的五個基本量中,已知了其中的三個量,就能求出剩下的兩個量.

例2在等差數(shù)列{an}中,已知前10項(xiàng)的和為310,前20項(xiàng)的和為1 220,求前30項(xiàng)的和.

師:為了求S30,由兩個條件,通過求和公式列方程組,先求出首項(xiàng)和公差兩個基本量,從而轉(zhuǎn)化為“知三求二”(由條件發(fā)現(xiàn)S10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列).這是偶然還是必然呢?請同學(xué)們課后思考.

五、 課堂小結(jié),首尾呼應(yīng)

師:這節(jié)課,我們通過“良馬與駑馬”這個故事中“良馬”的行程問題,研究了一種求和方法，得到了兩個求和公式;通過從“良馬圖”的形的觀察,到代數(shù)論證,體會了數(shù)形結(jié)合的思想；通過“補(bǔ)”的方法，將不等數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為相等數(shù)的求和問題,體會了轉(zhuǎn)化化歸思想；通過列方程組解決等差數(shù)列中基本量的問題,體會了函數(shù)方程思想.

師:今天這節(jié)課我們只研究了“良馬”的問題,這個故事中,良馬先到達(dá)了齊,又折回去迎接駑馬,這兩匹馬何時(shí)會相逢呢?請同學(xué)們課后繼續(xù)研究.

“基于數(shù)學(xué)史的問題導(dǎo)入”是HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)的需要.問題串的使用將更完整地再現(xiàn)公式的發(fā)生和發(fā)展歷史,使數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值得以最大化.此外,基于數(shù)學(xué)史的問題導(dǎo)入并非易事,需要教師從眾多數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)中選擇恰當(dāng)?shù)氖妨?但是，我們有理由相信,基于數(shù)學(xué)史問題導(dǎo)入的廣泛使用，必將使得HPM的研究水平邁上一個更高的臺階.