化動(dòng)為定 化繁為簡(jiǎn)
——以“與平面圖形相關(guān)的數(shù)量積”復(fù)習(xí)教學(xué)為例

趙增輝

(江蘇省溧陽(yáng)市埭頭中學(xué)，213311)

本文以“與平面圖形相關(guān)的數(shù)量積”這一專題復(fù)習(xí)課教學(xué)為例,談一談學(xué)生對(duì)解題方法的選擇．

一、課前預(yù)習(xí)

設(shè)計(jì)意圖在一輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于平面向量的數(shù)量積的定義,夾角,模等知識(shí)已經(jīng)有了較深的認(rèn)識(shí),對(duì)定義法,基底法,坐標(biāo)法等基本方法已能熟練運(yùn)用,也初步掌握了研究向量問(wèn)題的基本思想和方法,具備了一定的探究問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.設(shè)計(jì)4個(gè)基礎(chǔ)小練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生自主復(fù)習(xí),目的是深化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí),重要考點(diǎn)的理解、把握與梳理,為本節(jié)課問(wèn)題的探究展開(kāi)進(jìn)行熱身.題1意在鞏固數(shù)量積的定義,也可利用投影知識(shí)(幾何意義)來(lái)處理；題2圍繞向量的投影法來(lái)設(shè)計(jì),喚醒和鞏固學(xué)生對(duì)投影法的理解,為例題做好鋪墊;題3意在對(duì)投影法進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)用,設(shè)置一點(diǎn)障礙,讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想也可利用極化恒等式進(jìn)行簡(jiǎn)單處理;題4意在鞏固和復(fù)習(xí)極化恒等式的基本形式,為例題做好鋪墊.

二、合作探究

師:觀察并盡可能用多種方法解決此問(wèn)題;

師:生1分別采用坐標(biāo)法和基底法來(lái)處理此問(wèn)題,那么這兩種方法的理論依據(jù)是什么呢?

師:生1的解釋非常好,請(qǐng)大家繼續(xù)思考還有其他方法嗎?

即AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos 60°=7,

生3：利用投影法也能很快解決.如圖6，只要過(guò)D作DE垂直于AB于E.

師:生2和生3的方法殊途同歸,都是回歸到向量數(shù)量積的定義(定義的幾何意義)來(lái)解決.我們還有其他方法嗎?課前預(yù)習(xí)4能給我們提供一些啟示嗎?

師:生4將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角形中線與邊長(zhǎng)的關(guān)系,我們把這種關(guān)系稱為極化恒等式.我們能否用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示這種關(guān)系呢?

生5:共起點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積可表示為對(duì)應(yīng)三角形中線與第三邊一半的平方差.

師:思考中線與第三邊和所給向量之間的關(guān)系，我們能看出什么?

師:如果我們把所求向量的數(shù)量積表示為a·b,那么a·b可以如何表示?

師:很好,這就把兩個(gè)向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量模的等式.我們能小結(jié)一下求向量數(shù)量積的方法嗎?

生7:我們可以利用坐標(biāo)法、基底法、定義法、投影法和極化恒等式來(lái)處理兩個(gè)向量的數(shù)量積.

師:我們可以看到這五種方法中,坐標(biāo)法,定義法,投影法都是直接去解決數(shù)量積問(wèn)題,我們稱之為直接法.而基底法和極化恒等式方法,則是將所求向量轉(zhuǎn)化為其他已知向量或者數(shù)量的平方差，我們稱之為間接法.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)一題多解，進(jìn)一步鞏固學(xué)生前面復(fù)習(xí)的基本方法,引導(dǎo)學(xué)生積極思考,深度探究投影法.

師:觀察上式與問(wèn)題1的變化,并給出合理解答.

師:在多種方法可選的情況下,我們看到投影法是最簡(jiǎn)便的方法．

師:觀察上式與變式1的不同,并給出恰當(dāng)解答.

師:在不同情境下運(yùn)用相同方法,變中尋不變,很棒！我們?cè)僮冃我幌?

師:這又與變式2有什么不同呢?該怎樣解答呢?

生6:我覺(jué)得他的這種方法并不是最好的,如果利用極化恒等式會(huì)更加方便.

師:很好,剛才生6將數(shù)量積問(wèn)題通過(guò)極化恒等式轉(zhuǎn)化為向量模的范圍運(yùn)算,大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算量.

師:這又與變式3,有什么不同呢?這又該怎樣解答呢?

生9:我發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)已不在直線BC上,點(diǎn)D在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)了.問(wèn)題也變成求有關(guān)三個(gè)向量的數(shù)量積問(wèn)題了.

師:我們可以討論一下,看看突破口在哪兒?

師:恰當(dāng)運(yùn)用極化恒等式,可以實(shí)現(xiàn)“秒殺”!當(dāng)然本題利用坐標(biāo)法也可以解決.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)對(duì)問(wèn)題1的4個(gè)變式的設(shè)計(jì),一題多變,意在對(duì)向量方法的活學(xué)活用.向量投影的應(yīng)用,可以極大地簡(jiǎn)化過(guò)程.極化恒等式的優(yōu)點(diǎn)在于可以很好地利用已知條件,運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,把復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)問(wèn)題和簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題，避免了中間代入的繁瑣過(guò)程,準(zhǔn)確快速地解決問(wèn)題.當(dāng)然,它也有較大的局限性,總要和中點(diǎn)相關(guān)．

師:請(qǐng)進(jìn)行小組交流,給出解決方案.

師:很好！利用極化恒等式的變形,將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為已知量的代數(shù)問(wèn)題.

生11:利用剛才相同的方法可以得到結(jié)果是不變的還是6.

師:非常好,那么根據(jù)前面兩個(gè)問(wèn)題,你能提出更一般的結(jié)論嗎?

師追問(wèn):能說(shuō)明理由嗎?

師:兩位同學(xué)從不同角度解釋了這一結(jié)論,可謂殊途同歸,十分精彩.

設(shè)計(jì)意圖在無(wú)法用坐標(biāo)解決的情景下,合理選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決數(shù)量積問(wèn)題,通過(guò)轉(zhuǎn)化思想,將未知量轉(zhuǎn)化為已知量,將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)問(wèn)題,體現(xiàn)了“化動(dòng)為定”的思想方法.最后設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題,即可拓寬學(xué)生思考問(wèn)題的視角,還可進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的思維方式.

三、課堂小結(jié)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲呢?

知識(shí)總結(jié):平面向量數(shù)量積的常見(jiàn)求解方法,特別是投影法和極化恒等式法的合理運(yùn)用.

方法總結(jié):從問(wèn)題情境出發(fā),從已有知識(shí)出發(fā),合理選擇恰當(dāng)方法.

思想總結(jié):轉(zhuǎn)化與化歸,函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合.

設(shè)計(jì)意圖課堂小結(jié)不僅是讓學(xué)生反思課堂所學(xué),更是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)——總結(jié)——學(xué)習(xí)——反思的良好習(xí)慣,同時(shí)也可以通過(guò)自我評(píng)價(jià)來(lái)獲得成功的快樂(lè),提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá),從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)追求的不僅僅是把題做“對(duì)”,更看重的是把題做“好”,即追求解題策略的“最優(yōu)化”.為此我們不僅要掌握平面向量數(shù)量積的基本方法,更要在面對(duì)具體問(wèn)題時(shí),能夠迅速做出判斷,選擇最優(yōu)化解題策略,這是學(xué)生能力的體現(xiàn).要培養(yǎng)這樣的能力,需要豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)的積累,而不是簡(jiǎn)單的模仿.以筆者之見(jiàn),知識(shí)不是教會(huì)的，而是學(xué)生學(xué)會(huì)的.學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生親力親為的事,別人無(wú)法代替.