函數(shù)的合成與分解

魯 彬

(江蘇省姜堰第二中學(xué)，225500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年級)》要求:“高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動四條主線,它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程”.由此可見，函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位,同時也是高考考查的重要內(nèi)容.高考中的函數(shù)內(nèi)容豐富，考點眾多，題型多變,對學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識和思維能力提出很高的要求.筆者通過研究，發(fā)現(xiàn)在一類函數(shù)與不等式(或者方程)結(jié)合的試題中,把目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)刈冃尾⒎纸鉃閹讉€子函數(shù),根據(jù)需要逐個研究子函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),往往能夠化繁為簡.下面通過幾道例題與大家分享與交流.

(1)略;

當(dāng)x∈(1,x0)時,h′(x)>0;當(dāng)x∈(x0,2)時,h′(x)<0.

又因為x不可能同時取到1,2,

(1)(2)略;

(3)設(shè)g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意x>0,g(x)<1+e-2.

證明(3)由(1)得k=1,

② ∵φ′(x)=-lnx-2,令φ′(x)=0,得x=e-2.當(dāng)x∈(0,e-2)時,φ′(x)>0,φ(x)在(0,e-2)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e-2,+∞)時,φ′(x)<0,φ(x)在(e-2,+∞)上單調(diào)遞減.故φ(x)≤φ(e-2),即1-xlnx-x≤1+e-2.

評注本題把g(x)分解成兩個子函數(shù)h(x),φ(x)的積,分別研究h(x)，φ(x)的取值范圍得到:h(x)<1，且φ(x)≤1+e-2.結(jié)合h(x)>0以及不等式的性質(zhì)，可得

g(x)=h(x)·φ(x)≤h(x)·(1+e-2)<1·(1+e-2)=1+e-2.若由h(x)<1且φ(x)≤1+e-2直接得到h(x)·φ(x)<1·(1+e-2)=1+e-2,這顯然是錯誤的.因此兩個不等式相乘時應(yīng)正確運用不等式的性質(zhì).

(1) 略;

(2)證明:f(x)>1.

所以當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,h′(x)<0.

評注(1)一般地,若要證F(x)≥0,移項得f1(x)≤f2(x),通過介值λ,使得f1(x)≤λ≤f2(x)成立即可.這個介值通常與兩個子函數(shù)的最值有關(guān),有時也會涉及兩個介值λ1,λ2,使得f1(x)≤λ1≤λ2≤f2(x)成立.(2)另一種情況,通過中間函數(shù)φ(x),使得f1(x)≤φ(x)≤f2(x)成立即可,這個中間函數(shù)φ(x)可取y=f1(x),y=f2(x)的公切線對應(yīng)的函數(shù)解析式.

解顯然x=0不是方程的解.

易知f(x)和g(x)都是奇函數(shù),其中x∈(-∞,0)∪(0,+∞),故只需研究x∈(0,+∞)的部分.

故方程的解需滿足x=1且x=4k+1,k∈N,即x=1.

由對稱性，可知x=-1也是方程的解.

評注本題把方程變形并分解為兩個子函數(shù)f(x)和g(x),分別研究兩個函數(shù)f(x)和g(x)的最值，得到1≤f(x)=g(x)≤1.由夾逼準(zhǔn)則，可知f(x)=g(x)=1，且等號成立時x取值的交集即為所求.