淺談向量在立體幾何中的應(yīng)用

摘 要：眾所周知，立體幾何在高中數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位，它對于學(xué)生邏輯思維和空間想象能力的培養(yǎng)和提高有著重要意義。利用空間向量可以解決所有的空間角與距離問題，并用代數(shù)的立式的形式對幾何問題進(jìn)行深入研究，并彌補(bǔ)了學(xué)生空間想象力的不足。文中簡要地論述了高中立體幾何教學(xué)中的困惑，并探討了向量在高中立體幾何中的重要作用，最后結(jié)合實(shí)例，感受向量在解題中的優(yōu)勢所在，旨在提升我國高中立體幾何的教學(xué)水平。

關(guān)鍵詞：向量;立體幾何;應(yīng)用

和傳統(tǒng)的幾何法相比，向量法的運(yùn)用能夠讓學(xué)生在解答立體幾何問題時(shí)變得更加快速、便捷，具有直觀、計(jì)算簡單、以及不容易出錯(cuò)的特點(diǎn)。除此之外，向量作為高中數(shù)學(xué)中的重要組成部分，它能夠采用數(shù)形結(jié)合以及坐標(biāo)運(yùn)算的方式快速解答各類幾何問題，而且無需增加輔助線，讓學(xué)生的答題過程變得更加輕松、高效。

一、向量在立體幾何中的重要作用

向量能夠把不同直線或者線段之間的幾何關(guān)系運(yùn)用直觀的方式表現(xiàn)出來。由于向量的內(nèi)容較為單一而且學(xué)習(xí)難度大，所以學(xué)生在進(jìn)行向量學(xué)習(xí)的過程中要具有“數(shù)形結(jié)合”的思維意識(shí)，運(yùn)用代數(shù)的方式來對幾何圖形進(jìn)行描述。

（一）提高學(xué)生的運(yùn)算水平

作為常用的代數(shù)對象，向量能夠被運(yùn)用到多種的運(yùn)算模式中并且容易掌握，在提高學(xué)生解題效率和運(yùn)算速度的過程中，還可以將原本復(fù)雜多變、解題難度大的幾何問題用代數(shù)運(yùn)算的方式進(jìn)行直觀地展示。

（二）具有重要的思維價(jià)值

向量既可以代數(shù)運(yùn)算，又能夠被運(yùn)用到與度量相關(guān)的幾何類問題，因此具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)。通過對向量的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，可以顯著提高學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)固態(tài)化的數(shù)學(xué)思維模式，提高自身的數(shù)學(xué)思維水平和空間理解能力。

二、向量法的解題方式與步驟

（一）向量法的解題方式

運(yùn)用向量法解決立體幾何問題主要有兩種方式：即運(yùn)用向量進(jìn)行直接代數(shù)計(jì)算和利用向量坐標(biāo)計(jì)算。在通常情況下是以坐標(biāo)計(jì)算為主，因?yàn)檫@種計(jì)算方式所需要的計(jì)算技巧較少并且學(xué)生更容易理解和運(yùn)用。值得注意的是，如果要解答的幾何圖形中確立坐標(biāo)的難度系數(shù)較大，那么就可運(yùn)用向量代數(shù)式的方法來進(jìn)行解決。而后者解題時(shí)需要的解題時(shí)間較長而且解題的技巧更加復(fù)雜，對于學(xué)生的空間思維和邏輯運(yùn)用能力也有著較高的要求。

（二）向量法的解題步驟

首先，在幾何圖形中構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系。在這個(gè)過程中要盡量采用圖形中已有的過同一點(diǎn)的兩兩垂直的線，若是未有三線也要想辦法找出兩線垂直的部分，接下來作出第三條線與之垂直;其次，把解題過程中將會(huì)使用到的坐標(biāo)準(zhǔn)記錄下來。這個(gè)過程十分重要，一定要做到細(xì)致、認(rèn)真，如果這一步?jīng)]有處理好就會(huì)導(dǎo)致全題皆錯(cuò)的情況出現(xiàn);再次，把解題過程中會(huì)使用到的向量坐標(biāo)完整地記錄下來，要運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始坐標(biāo);最后，利用記錄下的坐標(biāo)并運(yùn)用代數(shù)計(jì)算的方式解決問題，這個(gè)過程中要保障公式的正確性，運(yùn)算過程也要做到認(rèn)真。

三、向量在立體幾何中的具體應(yīng)用

按照傳統(tǒng)高中立體幾何的教學(xué)模式來看，解決立體幾何問題最為常用的方就是運(yùn)用綜合推理的方式。雖然這種方式可以在較快的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出結(jié)果，但是對于學(xué)生的空間想象和邏輯思維能力有一定的要求，既沒有規(guī)律可以總結(jié)而且還有著較高的思維難度。而把向量引入到立體幾何教學(xué)中，不但可以為解決高中立體幾何問題帶來了全新的思維模式和解決方法，而且還能夠運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方式，直觀、具體地把立體幾何里的“形”轉(zhuǎn)變成為“數(shù)”來進(jìn)行解決。

（一）線面計(jì)算

如圖1所示：平行六面體ABCD-A1B1C1D1中的底面ABCD是邊長為1的菱形，CC1=a，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60。求證：（1）CC1⊥BD;（2）當(dāng)a為何值時(shí)，直線A1C會(huì)與平面C1BD垂直？請證明。（3）在（2）條件下，CA1的長度是多少？

（二）面面垂直運(yùn)用

在高中的立體幾何教學(xué)中，空間角部分的內(nèi)容是整個(gè)立體幾何教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而其中的兩異面直線所形成的角更是其中的難點(diǎn)。如果運(yùn)用傳統(tǒng)的方式解決此類型的題目則會(huì)花費(fèi)大量的時(shí)間，而且解題過程會(huì)變得復(fù)雜。而采用向量的數(shù)量積解決此類型的問題則效率更快，解題思過程也更加直觀。

（1）求證：平面ADM⊥ABCM;

（2）是否存在滿足BE=tBD（0

證明：（1）∵長方形ABCD里，AB=2AD=22，M是DC的中點(diǎn)，

三、結(jié)語

綜上所述，在高中立體幾何中運(yùn)用向量法進(jìn)行作答，既能夠?yàn)閺V大高中生提供靈活的答題思路，還可以幫助學(xué)生擺脫傳統(tǒng)立體幾何的答題模式，能夠運(yùn)用直觀的方式把立體幾何問題中與“形”相關(guān)的問題轉(zhuǎn)變成“數(shù)”模式，對于提高學(xué)生和答題準(zhǔn)確性和答題效率具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：陸俊玲（1982-），女，安徽金寨人，本科，高中教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)。