用“語文”學(xué)數(shù)學(xué)

【摘要】數(shù)學(xué)往往需要用語言文字來表述，“語文”學(xué)科的知識素養(yǎng)和能力直接影響數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，特別是用好“語文”的字義、句義和“語文”的眼光、邏輯以及閱讀與寫作能力等對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有非常大的推動作用.

【關(guān)鍵詞】語文字義；語文句義；語文眼光；語文邏輯；語文閱讀；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

語文被譽(yù)為百科之父，對各學(xué)科的學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)作用，數(shù)學(xué)是通過文字語言、符號語言、圖形語言來表述的，其中的文字語言就與語文息息相關(guān).語文中的邏輯推理與數(shù)學(xué)思維也是緊密相連的.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué).”吳軍博士在他的《谷歌方法論》中提到，學(xué)好數(shù)學(xué)要做好三件事情：首先是閱讀理解，其次是建立比較完整的數(shù)學(xué)知識體系，第三是善用邏輯.所有這些都表明用語文學(xué)數(shù)學(xué)是非常必要、非常重要的學(xué)習(xí)方式.

1用“語文”的字義去學(xué)數(shù)學(xué)概念

有些學(xué)生對概念（定義）、定理（公理、原理）、性質(zhì)根本不重視，導(dǎo)致對學(xué)科知識的生成、發(fā)展不能深度理解，不能真正形成知識.很多學(xué)生出錯(cuò)的根源就是因?yàn)楦拍畈磺宥鴮W(xué)不好數(shù)學(xué).

數(shù)學(xué)中很多概念的名稱都是合乎情理的命名，如空集、充分條件、必要條件、中位數(shù)、眾數(shù)、仰角、俯角、反函數(shù)等，所以數(shù)學(xué)的概念有語言學(xué)科的特點(diǎn)，抓住這些特點(diǎn)，可以幫助學(xué)生理解概念、發(fā)展概念.

先說反函數(shù)的概念，其數(shù)學(xué)語言表述為：設(shè)函數(shù)y=f（x），x∈D滿足：對于值域f（D）上的任意一個(gè)y，D中有且只有一個(gè)x，使得f（x）=y，則按此對應(yīng)法則得到一個(gè)定義在f（D）上的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為f（x）的反函數(shù).這樣的表述符合數(shù)學(xué)的精準(zhǔn)性和科學(xué)性，但是不利于大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)、理解.從“語文”的字義角度審視“反函數(shù)”的名字，實(shí)際上就是“反過來也是函數(shù)”，即對于函數(shù)y=f（x），x∈D，若對于f（x）的值域中的任意一個(gè)值，通過y=f（x）這個(gè)對應(yīng)法則（更多時(shí)候這是一個(gè)關(guān)于變量x，y的方程型等式）可以在D中找到唯一的值x與y對應(yīng)（若y=f（x）是方程，即通過此方程反解出的x（x∈D）是唯一的），這樣就滿足函數(shù)的概念了，所以將x看成因變量，y看成自變量就可稱x=f－1（y）為函數(shù)y=f（x），x∈D的反函數(shù)，而我們習(xí)慣以x作自變量，y作因變量，所以函數(shù)y=f（x），x∈D的反函數(shù)記作y=f－1（x），此式中的x是函數(shù)y=f（x），x∈D中的y，y是函數(shù)y=f（x），x∈D中的x，故y=f－1（x）的定義域?yàn)閒（D），值域是D.

通過“反函數(shù)”可以看出，用“語文”的字義重新改述為符合學(xué)生認(rèn)知水平的語言后，原本晦澀難懂的知識就變得輕松了，而且還加強(qiáng)了對反函數(shù)與原函數(shù)定義域、值域關(guān)系的理解.

再舉一個(gè)“中位數(shù)”的例子.從“語文”字義理解，中位數(shù)就是中間位置的數(shù)，雖然不嚴(yán)密，但可以輔助理解概念，然后再結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科知識去達(dá)到“準(zhǔn)確化”，于是可以將“中位數(shù)”的教與學(xué)作如下“準(zhǔn)確化”.

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).從概念理解“中位數(shù)”就是中間位置的數(shù)，怎么樣才算“中間”？需要把這組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕泻缶统霈F(xiàn)了“中間”.

進(jìn)而結(jié)合數(shù)學(xué)知識可以將中位數(shù)的概念深刻理解為：中位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的中間水平，它的本質(zhì)就是數(shù)據(jù)排列好了以后中間的那個(gè)數(shù).如果有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，那么中位數(shù)就是中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)；如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，則中間那個(gè)數(shù)據(jù)就是中位數(shù).中位數(shù)概念中的“中位”體現(xiàn)“位置特征”即中間位置的“數(shù)”，但這個(gè)“數(shù)”有可能不是樣本數(shù)據(jù)中的數(shù).這樣理解后就破除了學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)：中位數(shù)可能是給出的一組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是.

例1樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，20的中位數(shù)是 .

分析 根據(jù)中位數(shù)的本質(zhì)意義將數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，20按照從小到大的順序排列為10，12，14，14，16，20，20，24，30，得到中位數(shù)是16.

如果求樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，12，14，20的中位數(shù)則為15.

2用“語文”的句義學(xué)數(shù)學(xué)

在數(shù)學(xué)試題中，有時(shí)不會直接給出明顯的“數(shù)學(xué)條件”，而是通過文字?jǐn)⑹鰜肀磉_(dá)某種關(guān)系，這時(shí)我們就要根據(jù)“語文”的句義將這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)條件”，才能順利解題.

例2（2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第18題）已知函數(shù)f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（1）若b=0且f′（x）≥0，求a的最小值；

（2）證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形；

（3）若f（x）＞－2當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2，求b的取值范圍.

分析（1）（2）略；

（3）要解決好本小題，必須先用好條件“若f（x）＞－2當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2”.就是這個(gè)關(guān)口，很多考生不能過，導(dǎo)致后續(xù)無法進(jìn)行.用“語文”的句義轉(zhuǎn)換即是不等式f（x）＞－2的解集為（1，2），則f（1）=－2，這樣就可以確定參數(shù)a的值為－2，順利通過這個(gè)關(guān)口，為后續(xù)解決f（x）＞－2當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2，即lnx2－x－2x+b（x－1）3＞-2對1<x<2恒成立打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

例3首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開始為正，則公差d的取值范圍是（）.

A.d＞83B.d＞3

C.83≤d<3D.83<d≤3

分析當(dāng)年好多考生沒理解好“從第10項(xiàng)開始為正”，誤以為就只是第10項(xiàng)為正，結(jié)果做錯(cuò)了.因?yàn)轭}中數(shù)列是等差數(shù)列，按照“語文”的句義，“從第10項(xiàng)開始為正”是兩層關(guān)系，一是第10項(xiàng)為正，二是第9項(xiàng)不為正（注意不應(yīng)該理解為第9項(xiàng)為負(fù)）.

解設(shè)題中等差數(shù)列為an，則a1=－24，a10＞0，a9≤0，所以－24+9d＞0，－24+8d≤0，解得83<d≤3，答案為D.

3用“語文”的眼光學(xué)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)中有“判定定理”“性質(zhì)定理”等，學(xué)生往往不能理解其深刻含義，更難把它們用好用活.從“語文”的眼光看“判定定理”就應(yīng)該是用來判定某種關(guān)系是否成立的重要而常用的依據(jù).如直線與平面平行的判定定理，我們可以這樣來深刻理解：該定理的用途是判定直線與平面平行，因?yàn)槿∶小芭卸ǘɡ怼?，所以絕大部分判定直線與平面平行的問題應(yīng)該要用“判定定理”，即：要判定直線a與平面α平行，思路就首先應(yīng)該是看平面α外的直線a是否與平面α內(nèi)的某一條直線b平行，若能找出這條直線b與a平行就可確定a∥α.通過深刻理解，我們就認(rèn)識到怎么去判定直線與平面平行，怎么去尋求解題思路，破解了判定直線與平面平行的難點(diǎn).

又以平面與平面垂直的“性質(zhì)定理”為例，那就是已知兩個(gè)平面垂直，然后能得出什么結(jié)論：若α⊥β，aα，α∩β=b，a⊥b，則a⊥β.深刻理解：已知兩個(gè)平面垂直，那就要想到用平面與平面垂直的性質(zhì)定理，這是解決問題的重要思路，有時(shí)條件“不夠”，創(chuàng)造條件都要去用“性質(zhì)定理”.

例4已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求證l⊥γ.

分析題目中出現(xiàn)了α⊥γ，β⊥γ，即面面垂直，那就要想到用性質(zhì)定理，可是題目中沒有性質(zhì)定理?xiàng)l件中的直線，好像條件“不夠”，那就創(chuàng)造條件“作交線的垂線”：設(shè)α∩γ=m，β∩γ=n，在平面γ內(nèi)作兩條分別垂直于m，n的直線，這樣難點(diǎn)就攻破了.

證明 如圖1，設(shè)α∩γ=m，β∩γ=n，在平面γ內(nèi)取一點(diǎn)A（Am，An），分別作AB⊥m于B，AC⊥n于C，由α⊥γ，β⊥γ，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得AB⊥α，AC⊥β，而α∩β=l即lα，lβ，所以AB⊥l，AC⊥l，于是l⊥平面ABC，即l⊥γ.

4用“語文”的邏輯學(xué)數(shù)學(xué)

“語文”的表達(dá)方式有敘述、描寫、說明、議論、抒情5種，這5種表達(dá)方式其實(shí)也暗含著邏輯.以語言文字為載體的數(shù)學(xué)問題常常是通過已知條件或知識進(jìn)行邏輯推理而解決的，這時(shí)就要用到語言文字中的邏輯關(guān)系.

例5（2019年全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷試題）

圖2古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂?shù)蕉悄毜拈L度與肚臍到足底的長度之比為5－12≈0.618，稱為黃金分割比例，如圖2，著名的斷臂維納斯便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5－12.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端長度為26 cm，則其身高可能是（）.

A.165 cmB.175 cm

C.185 cmD.190 cm

分析此題通過所給條件計(jì)算可選出答案，但很費(fèi)時(shí)間.如果從“語文”的邏輯來閱讀試題，可以得到肚臍到足底的距離應(yīng)該大于腿長，即0.618x＞105（x為身高），所以x＞169.9，且x接近于169.9，馬上就可選出答案為B，這充分體現(xiàn)了“邏輯”的作用.

點(diǎn)評此題結(jié)合斷臂維納斯的背景，取題新穎.主要考查了有關(guān)黃金分割的計(jì)算.題目較長，對學(xué)生的閱讀理解能力和計(jì)算能力都有要求.根據(jù)題目已給條件無法求出身高的準(zhǔn)確值，只能估算出身高范圍，這就是“語文”的邏輯，再用排除法就可選出正確答案.

例6（2020年全國高考數(shù)學(xué)試題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可以視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）.

A.5－14B.5－12

C.5+14D.5+12

此題同樣是利用“邏輯”簡化過程、節(jié)約時(shí)間.由圖3可知其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值最接近1∶1，而5≈2.2，把2.2代入四個(gè)選項(xiàng)分別算出0.3，0.6，0.8和1.6，只有0.8最接近1，所以選C.

5用“語文”的閱讀能力學(xué)數(shù)學(xué)

人教A版（2019）教材配有“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”欄目，可以有效地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，有利于學(xué)生對核心概念的整體理解與把握[1].

數(shù)學(xué)中的“閱讀與寫作”，要將“文獻(xiàn)”“讀”懂然后理解，這就需要用語文的語義將閱讀材料轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；而數(shù)學(xué)寫作也離不開語言文字的表述，要想將所寫內(nèi)容表述清楚、準(zhǔn)確，離不開語言文字.完整的數(shù)學(xué)試題解答相當(dāng)于一篇完整的“說明文”或“議論文”，用語要規(guī)范、科學(xué)且符合數(shù)學(xué)邏輯習(xí)慣，這些都需要具備扎實(shí)的語文知識和深厚的語文功底.

例7（2019年新課標(biāo)Ⅰ卷第21題）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api－1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=－1），b=P（X=0），c=P（X=1）．假設(shè)α=0.5，β=0.8．

（i）證明：{pi+1－pi}（i=0，1，2，…，7）為等比數(shù)列；

（ii）求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．

分析 本題語言文字多，閱讀量大，理解題意的難度也大.用“語文”的閱讀能力厘清關(guān)鍵點(diǎn)為：

pi（i=0，1，2，…，8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，并不是“甲藥的累計(jì)得分為i”的概率.

解（1）X的所有可能取值為－1，0，1．

P（X=－1）=（1－α）β，P（X=0）=αβ+（1－α）（1－β），P（X=1）=α（1－β），X的分布列為：

（2）（i）證明：因?yàn)棣?0.5，β=0.8，所以由（1）得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．

因此pi=0.4pi－1+0.5pi+0.1pi+1（i=1，2，…，7），故0.1（pi+1－pi）=0.4（pi－pi－1），即（pi+1－pi）=4（pi－pi－1），又p1－p0=p1≠0，所以{pi+1－pi}（i=0，1，2，…，7）為公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.

（ii）由（i）可得，

p8=（p8－p7）+（p7－p6）+…+（p1－p0）+p0=p1（1－48）1－4=48－13P1，

因?yàn)閜8=1，所以p1=348－1，

于是P4=（p4－p3）+（p3－p2）+（p2－p1）+（p1－p0）+p0=44－13p1=1257．

P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．

由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為P4=1257≈0.0039，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理．

數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)符號和圖形等表達(dá)的學(xué)科，它與語言文字密切相關(guān)，在數(shù)學(xué)解題時(shí)要做到“前言”搭“后語”，用“語文”的知識、觀念和習(xí)慣改善數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).蘇步青教授說：“如果說數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，那么語文則是這個(gè)基礎(chǔ)的基礎(chǔ).”他在擔(dān)任復(fù)旦大學(xué)校長時(shí)曾說過：“假如許可復(fù)旦大學(xué)單獨(dú)招生，我的意見是第一堂課就考語文，考后就批卷子.不合格的，以下的功課就不要考了.語文你都不行，別的是學(xué)不通的.”作為一個(gè)知名的數(shù)學(xué)家，他卻坦言：“語文是基礎(chǔ)，是成才的第一要素，沒有一定的語文素養(yǎng)根本學(xué)不好數(shù)理化等其他科目.”由此足見用“語文”學(xué)數(shù)學(xué)的重要性.

參考文獻(xiàn)

[1]何睦.新教材中“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”欄目的教學(xué)價(jià)值與思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2023（04）：2.

作者簡介

張昌金（1968—），男，四川資陽人，中小學(xué)高級教師，四川省特級教師，四川省骨干教師，成都市優(yōu)秀教師，內(nèi)江市優(yōu)秀教師；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)與研究；發(fā)表文章26篇.