Hilbert空間上投影算子的Birkhoff-James正交性

李珊珊， 孟 慶

(曲阜師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 曲阜 273165)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

Hilbert空間與Banach空間的主要區(qū)別在于Hilbert空間中有幾何結(jié)構(gòu),這種幾何結(jié)構(gòu)使我們對(duì)Hilbert空間有了更清晰的認(rèn)識(shí).由于缺少相應(yīng)的幾何結(jié)構(gòu),Banach空間的結(jié)構(gòu)就顯得十分復(fù)雜.為研究Banach空間的結(jié)構(gòu),很多學(xué)者在Banach空間中建立幾何結(jié)構(gòu),其核心概念是向量的正交性.其中最引人注目的是Birkhoff-James正交性[1].近年來,Birkhoff-James正交性引起了部分學(xué)者的關(guān)注,并取得了一系列重要的研究成果[1-6].本文主要討論有限維Hilbert空間上投影算子的Birkhoff-James正交性.

本研究需要以下定義:

定義1[1，5]設(shè)X為復(fù)賦范線性空間,x,y∈X.

(1) 若對(duì)任意λ∈,有‖x+λy‖≥‖x‖,則稱x與yBirkhoff-James正交,記為x⊥By；

(2) 若對(duì)任意λ∈{0},有‖x+λy‖>‖x‖,則稱x與y強(qiáng)Birkhoff-James正交, 記為

定義2[7]設(shè)A是有單位的巴拿赫代數(shù),a∈A.集合σ(a)={α∈C|a-α是不可逆的}稱為a的譜,r(a)=sup{|α|∶α∈σ(a)}稱為a的譜半徑.

定理2[9]設(shè)V是C*-代數(shù)A上的HilbertC*-模.若x,y∈V,則x⊥By的充要條件是存在φ∈S(A),使得φ(〈x,x〉)=‖x‖2,φ(〈x,y〉)=0.

設(shè)H為Hilbert空間,Y1,Y2為H的閉子空間,P,Q分別為H到Y(jié)1,Y2的投影算子.若Y1與Y2正交,則稱投影P與Q正交,記為P⊥Q.

定理3 設(shè)P,Q為Hilbert空間H上的投影算子,則以下論述等價(jià):

(1)P⊥Q;

(2)PQ=0;

(3)P≤I-Q,即P是I-Q的子投影;

(4)PH?(QH)⊥;

(5)QH?(PH)⊥.

2 主要結(jié)果

由定理1,容易證明以下定理:

‖Pξ‖=‖P‖=1,〈Pξ,Qξ〉=0(QPξ=0).

以下定理從值域的角度刻畫投影算子的Birkhoff-James正交性.

定理5 設(shè)P,Q為有限維Hilbert空間H上的非零投影算子,則P⊥BQ的充要條件是PH∩(QH)⊥≠{0}.

證明(a)必要性. 因?yàn)镻⊥BQ,所以由定理4可知，存在單位向量ξ∈H,使得

‖Pξ‖=‖P‖=1,〈Pξ,Qξ〉=0.

由于ξ=Pξ+(I-P)ξ,故

1=‖ξ‖2=‖Pξ‖2+‖(I-P)ξ‖2.

因?yàn)椤琍ξ‖2=‖P‖2=1，所以‖(I-P)ξ‖2=0,從而有Pξ=ξ.又因?yàn)?/p>

0=〈Pξ,Qξ〉=〈ξ,Qξ〉=〈ξ,Q2ξ〉=〈Qξ,Qξ〉=‖Qξ‖2.

所以Qξ=0,從而存在單位向量ξ∈PH∩(QH)⊥.因此PH∩(QH)⊥≠{0}.

(b)充分性. 因?yàn)镻H∩(QH)⊥≠{0}，所以存在單位向量ξ∈H,使得Pξ=ξ,Qξ=0.又因?yàn)?/p>

‖Pξ‖=‖ξ‖=1=‖P‖,〈Pξ,Qξ〉=0，

所以有P⊥BQ.

根據(jù)上述結(jié)果可得推論1.

推論1 設(shè)P,Q為有限維Hilbert空間H上的非零投影算子,則以下論述等價(jià):

(1)P⊥BQ;

(2)PH∩(QH)⊥≠{0};

(3)PH∩kerQ≠{0};

(4)PH∩(I-Q)H≠0;

(5)P∧(I-Q)≠0.

證明由于(QH)⊥=(I-Q)H=kerQ,故根據(jù)定理5知(1)(2)(3)(4)是等價(jià)的.因?yàn)橥队癙∧(I-Q)的值域?yàn)镻H∩(I-Q)H,所以(4)與(5)等價(jià).

證明必要性顯然.

下面證充分性.

因?yàn)镻⊥BQ,所以由定理5可知存在單位向量ξ∈H,使得Pξ=ξ，Qξ=0.又因?yàn)?/p>

‖Pξ‖=‖ξ‖=1=‖P‖,Qξ=0，

注當(dāng)P是零投影算子、Q是任意非零投影算子時(shí),定理6的結(jié)論仍成立;當(dāng)Q是零投影算子、P是任意非零投影算子時(shí),定理6的結(jié)論不成立.

定理7 設(shè)P,Q為有限維Hilbert空間H上的非零投影算子.若dim(I-Q)=1,則以下論述等價(jià):

(1)P⊥BQ;

(2)I-Q⊥I-P;

(3) (I-Q)⊥B(I-P).

證明

(1)?(2)由于P⊥BQ，故根據(jù)推論1的(4)可知PH∩(I-Q)H≠{0}.因?yàn)閐im(I-Q)=1,所以PH∩(I-Q)H=(I-Q)H,從而(I-Q)H?PH,進(jìn)而I-Q≤P.因?yàn)镮-Q≤P,所以(I-Q)P=I-Q,從而(I-Q)(I-P)=0.因此由定理3可知I-Q⊥I-P.

(2)?(3)因?yàn)镮-Q⊥I-P,所以根據(jù)定理3可知I-Q是P的子投影,從而P∧(I-Q)≠0.因此由推論1可知(I-Q)⊥B(I-P).

(3)?(1)因?yàn)?I-Q)⊥B(I-P),所以根據(jù)推論1的(4)可知(I-Q)H∩PH≠{0},從而P⊥BQ.

定理8 設(shè)P,Q為有限維Hilbert空間H上的非零投影算子.若dimP=1,則P⊥BQ的充要條件是P⊥Q.

證明(a)必要性. 由于P⊥BQ,故根據(jù)推論1的(4)可知PH∩(I-Q)H≠{0}.因?yàn)閐imP=1,所以PH∩(I-Q)H=PH,從而PH?(I-Q)H,進(jìn)而P≤I-Q.因?yàn)镻≤I-Q，所以P(I-Q)=P,從而PQ=0.因此由定理3可知P⊥Q.

(b)充分性. 由于P⊥Q,故根據(jù)定理3可知P是I-Q的子投影.因?yàn)镻也是P的子投影,所以P∧(I-Q)≠0.因此由推論1的(5)可知P⊥BQ.

注當(dāng)dimP=2時(shí),定理8的結(jié)論不成立.下面舉例說明.

例設(shè)H為三維Hilbert空間,{e1,e2,e3}為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,P,Q為H上的非零投影算子.因?yàn)镻(H)=span{e1,e3},Q(H)=span{e2,e3},所以

(I-P)(H)=span{e2}, (I-Q)(H)=span{e1}.

從而

P(H)∩(I-Q)(H)=span{e1}≠{0},

Q(H)∩(I-P)(H)=span{e2}≠{0}.

由此可得P⊥BQ且Q⊥BP.又因?yàn)镻(H)∩Q(H)=span{e3},所以PQ≠0,從而P⊥Q不成立.

定理9 設(shè)P為有單位元的C*-代數(shù)A中的非零投影,則P⊥BI不成立.

證明用反證法.設(shè)P⊥BI,則對(duì)任意的λ∈,‖P+λ‖≥‖P‖=1.等價(jià)于對(duì)任意的λ∈,有:

也等價(jià)于對(duì)任意的λ∈,max{|λ|,|1+λ|}≥1.若取則有：

因此P⊥BI不成立.

對(duì)于兩個(gè)交換的投影, 有以下結(jié)論：

定理10 設(shè)P，Q為有限維Hilbert空間H上的非零投影算子.若PQ=QP,則以下論述等價(jià):

(1)P⊥BQ；

(2)P(I-Q)≠0；

(3)P∧(I-Q)≠0；

(4)P≠PQ；

(5)P不是Q的子投影.

證明

(1)?(2)用反證法.因?yàn)镻(I-Q)=0,所以P=PQ,從而P≤Q. 在C*-代數(shù)A上,非零投影P≤Q.設(shè)B=QAQ,則B也是C*-代數(shù),且B的單位元為Q,P∈B.因此根據(jù)定理9可知P⊥BQ不成立.

(2)?(3)由于PQ=QP,故有P∧Q=PQ.因?yàn)镻(I-Q)≠0,所以P∧(I-Q)≠0.

(3)?(4)由于PQ=QP,故有P∧Q=PQ.因?yàn)镻∧(I-Q)≠0,所以P(I-Q)≠0，從而P-PQ≠0，進(jìn)而P≠PQ.

(4)?(5)用反證法.因?yàn)镻是Q的子投影,所以P≤Q,從而P=PQ.由于P≠PQ,故P不是Q的子投影.

(5)?(1)用反證法.因?yàn)镻⊥BQ不成立,所以P(I-Q)=0,從而P=PQ,進(jìn)而P≤Q.因此P是Q的子投影.由于與條件矛盾,故有P⊥BQ成立.

由以上討論可知，當(dāng)P⊥BQ時(shí),一般得不到P⊥Q,因此P+Q不一定是投影.但我們可以考查矩陣代數(shù),且有以下結(jié)論：

定理11 設(shè)P1，P2，Q1，Q2為有限維Hilbert空間H上的非零投影算子.若P1⊥BQ1,P2⊥BQ2,則有：

證明因?yàn)镻1⊥BQ1,所以存在φ1∈S(H),使得

φ1(P1)=‖P1‖2=1，φ1(P1Q1)=0.

因?yàn)镻2⊥BQ2,所以存在φ2∈S(H),使得

φ2(P2)=‖P2‖2=1，φ2(P2Q2)=0.

又因?yàn)?/p>

所以有：

從而有:

3 結(jié) 語

在 Hilbert 空間及C*-代數(shù)的研究中,投影是非常重要的概念.投影的正交性是研究投影的核心概念,有著舉足輕重的作用.本文研究發(fā)現(xiàn)，投影的 Birkhoff-James 正交與普通正交有很大的差別,這為研究 Hilbert 空間和C*-代數(shù)提供了新思路.