數(shù)學(xué)多元表征研究綜述

摘要：數(shù)學(xué)多元表征既有應(yīng)然的理論基礎(chǔ)與價值，又有實(shí)然的教學(xué)指導(dǎo)意義與追求。數(shù)學(xué)多元表征的現(xiàn)有研究內(nèi)容相對集中于多元表征的內(nèi)涵認(rèn)知與表征系統(tǒng)、心理機(jī)制與影響因素、教學(xué)價值與應(yīng)用策略、認(rèn)知模型與課例實(shí)踐等方面，形成了多樣表達(dá)與系統(tǒng)架構(gòu)的表征形式、豐富多元又互聯(lián)互通的表征方式、重視實(shí)踐操作也關(guān)注心智分析的學(xué)習(xí)過程等研究成果?；谘芯恐邪l(fā)現(xiàn)的諸多不足，提出未來研究應(yīng)進(jìn)一步豐富研究主體、關(guān)注心理內(nèi)涵、拓展研究內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)表征;多元表征;數(shù)學(xué)理解;研究綜述

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）05A-0053-07

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樣態(tài)多種多樣，學(xué)習(xí)媒介與路徑也不盡相同，不同的數(shù)學(xué)思維方式獲得不同的數(shù)學(xué)理解，得到不同的數(shù)學(xué)發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維的過程和結(jié)果，既有內(nèi)隱心理層面的反應(yīng)，也有外顯可視可聽可感的數(shù)學(xué)化表達(dá)，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)。目前，數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)越來越進(jìn)入日常教育教學(xué)與研究之中，以順應(yīng)當(dāng)下多元學(xué)習(xí)方式的需求，豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式與形式，有效地將學(xué)生的心理與思維外顯，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解與專業(yè)表達(dá)，力求在數(shù)學(xué)教學(xué)中讓知識內(nèi)核“看得見”、思維過程“看得清”、理性思維“看得深”，提升師生分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象、闡釋數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思維水平。

一、數(shù)學(xué)多元表征研究現(xiàn)狀

在CNKI中小學(xué)數(shù)字圖書館中國學(xué)術(shù)資源總庫中，將跨庫檢索發(fā)表時間為2000年1月至2019年4月、主題或題名為“多元表征”和“數(shù)學(xué)”進(jìn)行模糊匹配，獲得數(shù)學(xué)多元表征相關(guān)文獻(xiàn)180篇。

（一）計量可視化分析

對數(shù)學(xué)多元表征的研究成果進(jìn)行分析，獲得如下信息：從發(fā)文數(shù)量和指標(biāo)分析來看，多元表征在國內(nèi)的研究成果起始于2007年發(fā)表的第1篇，2011年陡增發(fā)表9篇，2018年達(dá)到峰值37篇。無論是原創(chuàng)文獻(xiàn)、參考文獻(xiàn)還是引證文獻(xiàn)，多元表征的研究都呈現(xiàn)明顯上升趨勢。參考文獻(xiàn)數(shù)量也自1995年起穩(wěn)步上升，這與數(shù)學(xué)教育心理學(xué)國際研討組于1989年專門成立了表征研究工作組不無關(guān)聯(lián)。

將節(jié)點(diǎn)過濾為“被引頻次10”、關(guān)系分析為“多層關(guān)系”與“參考引證”獲得文獻(xiàn)互引網(wǎng)絡(luò)分析，關(guān)鍵詞排名前五位分別是“多元表征”“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”“認(rèn)知心理學(xué)”“表征”“概念教學(xué)”，相關(guān)

研究之間連線較多，反映關(guān)聯(lián)度整體較強(qiáng)，總體呈現(xiàn)明顯的非離散性。將節(jié)點(diǎn)過濾為“出現(xiàn)頻次10”、關(guān)系分析為“監(jiān)控節(jié)點(diǎn)”“聚類分析5并顯示中心點(diǎn)”獲得關(guān)鍵詞共現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)圖譜，重點(diǎn)聚焦于“表征方式”“表征形式”“學(xué)習(xí)過程”。主題分布統(tǒng)計中排名前五位的分別是“數(shù)學(xué)概念”“表征方式”“表征形式”“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”“教學(xué)設(shè)計”，作者合作網(wǎng)絡(luò)分析表明研究者之間較少有聯(lián)系與合作溝通，明顯關(guān)聯(lián)弱化而呈散點(diǎn)分布。

（二）研究現(xiàn)狀內(nèi)容描述

將多元表征研究的表征方式、表征形式和學(xué)習(xí)過程進(jìn)一步細(xì)化，發(fā)現(xiàn)研究相對集中于多元表征的內(nèi)涵認(rèn)知與表征系統(tǒng)、心理機(jī)制與影響因素、教學(xué)價值與應(yīng)用策略、認(rèn)知模型與課例實(shí)踐等四方面，形成了較為豐富的研究成果與借鑒意義。

1.內(nèi)涵認(rèn)知與表征系統(tǒng)的研究

（1）數(shù)學(xué)多元表征的內(nèi)涵認(rèn)知。表征（Representation）作為信息在頭腦中的呈現(xiàn)方式，在認(rèn)知科學(xué)、教育心理學(xué)等領(lǐng)域是指用某種物理的或心理的形式將一種事、物、想法或知識重新表示出來，既是對客觀事物的反映，義是被加工的客體，同一事物的不同表征形式即該事物的多元表征（Multiple Representations）[1]?；诓煌芯空邆?cè)重點(diǎn)的不同，表征具有側(cè)重動詞、側(cè)重名詞、即足動詞義作名詞的三重屬性，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的替代[2]。多元表征是指將數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)問題等信息，建構(gòu)心像碼，進(jìn)行信息編碼，形成多種轉(zhuǎn)譯，從而形成對信息的多元化表征[3]。迪因斯提出多元具體化原則，表示多元表征的含義主要足一種學(xué)習(xí)原則，呈現(xiàn)出物理情境或具體實(shí)物模型的各種變式，獲取抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[4]。數(shù)學(xué)多元表征是將同一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象用本質(zhì)不同的多種形式表征，通過表征內(nèi)部的自身轉(zhuǎn)換和表征之間的相互轉(zhuǎn)譯[5]，以及聯(lián)系或變式[6]對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)理解與問題解決。

（2）數(shù)學(xué)多元表征的類型系統(tǒng)。表征既是內(nèi)隱的心理活動，義是外顯的認(rèn)知過程與認(rèn)知結(jié)果的數(shù)學(xué)表達(dá)[7]。多元表征可分為“多元內(nèi)在表征”和“多元外在表征”，“多元外在表征”義分為“言語化表征”和“視覺化表征”[8]。認(rèn)知心理學(xué)則基于表征符號的本質(zhì)差異將外在表征分為敘述性表征與描述性表征，數(shù)學(xué)中代數(shù)符號和幾何圖形便是典型的敘述性表征和描述性表征[9]。特別是，在科學(xué)研究中一般使用語言捕述、數(shù)值表示和圖像顯示三種表征形式[10]。這些不同的分類存在對應(yīng)與映射關(guān)聯(lián)。從信息加過程工來看，外在表征與內(nèi)在表征之間存在規(guī)律性關(guān)聯(lián)（見表1）[11]，表征外在形式多種多樣，但內(nèi)在實(shí)質(zhì)卻相近或相同[12]。

美國著名教育心理學(xué)家萊許用外在多元表征結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（見圖1）來說明數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程[13]。布魯姆根據(jù)學(xué)生思維活動水平高低，區(qū)分出三類表征：借助實(shí)物操作活動完成思維的動作表征，根據(jù)實(shí)物影像在頭腦中制作心像進(jìn)而展開內(nèi)在思維活動的圖像表征，主體思維直接對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行思維操作的符號表征[14]。

從數(shù)學(xué)表征的本質(zhì)出發(fā)，多元外在表征分為“數(shù)（數(shù)學(xué)對象的言語化表征）”和“形（數(shù)學(xué)對象的視覺化表征）”兩類，可以借助直角坐標(biāo)系對外在表征類型進(jìn)行定位（見圖2）[15]。從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度，數(shù)學(xué)表征分為形式化、圖像化、動作化和語言化等四類表征[16]，或者分為符號、言語、圖像和體驗(yàn)等四類表征[17]。從變式教學(xué)的角度，概念教學(xué)和問題解決存在表征與變式系統(tǒng)（見圖3）[18]。

2.心理機(jī)制與影響因素的研究

具身認(rèn)知是當(dāng)前認(rèn)知心理學(xué)研究的發(fā)展動向，它雖能較好地解決具體概念的表征問題，表征的研究大致經(jīng)歷了“心身二元論一具身認(rèn)知一多元表征”的發(fā)展過程，但恰當(dāng)合理地闡釋抽象概念的表征問題還更多依賴多元表征，這從病理學(xué)、認(rèn)知神經(jīng)學(xué)和行為等方面可以找到實(shí)證研究證據(jù)[19]。萊許表示，“學(xué)生習(xí)得一個概念必須具備三個條件：一是將數(shù)學(xué)概念放置于表征系統(tǒng)之中;二是在表征系統(tǒng)中恰當(dāng)?shù)靥幚砀拍?三是將概念放在不同表征系統(tǒng)中進(jìn)行轉(zhuǎn)換”[20]。表征的形式就是把表征的信息傳遞出來的方式，主要有豐富、互補(bǔ)和變式[21]。表征系統(tǒng)內(nèi)的轉(zhuǎn)換和表征系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)譯不會輕易發(fā)生，直接影響數(shù)學(xué)多元表征的有效性。為此，要精心建構(gòu)學(xué)習(xí)材料、設(shè)計教學(xué)活動，促進(jìn)轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)譯[22]?；谛南翊a和言語碼的“雙重編碼理論的一般模型（見圖4）”以及“文本和圖形理解的整合模型圖（見圖5）”，從信息加工的角度探討了多元表征的認(rèn)知心智，并以此作為多元表征學(xué)習(xí)認(rèn)知模型的理論基礎(chǔ)與心理機(jī)制[23]。

二、研究進(jìn)展簡析

綜上所述，多元表征的研究已然成為熱門話題，取得了諸多研究成效，但也存在一些不足。

（一）研究成效

一是表征形式既能多樣表達(dá)義能系統(tǒng)架構(gòu)。為了研究與表達(dá)的需要，許多專家學(xué)者都各有學(xué)理化的分類源點(diǎn)，得到具體而互補(bǔ)的單一表征形式，義形成多樣的自成邏輯的表征系統(tǒng)展開意義架構(gòu)，表現(xiàn)出線性結(jié)構(gòu)或交互結(jié)構(gòu)，但本質(zhì)上都是數(shù)學(xué)建模。比如基于信息加工過程的外在表征和內(nèi)在表征。單一表征的形式更加精致，以多元外在表征為例：基于數(shù)學(xué)表征本質(zhì)的“數(shù)”和“形”，基于思維水平的動作、圖像和符號表征，基于問題解決或概念解釋的體驗(yàn)、圖像、言語、符號、言語表征……單一表征之間存在對應(yīng)或等價關(guān)系（如圖像表征和肖像表征），體現(xiàn)出表征臨近、主體傾向與表達(dá)需求。這些百花齊放的表征形式與表征系統(tǒng)基于不同研究視角與學(xué)理基礎(chǔ)，又都各成邏輯體系，形成多樣化的話語系統(tǒng)與專業(yè)表達(dá)。

二是表征方式既能豐富多元又能互聯(lián)互通。文獻(xiàn)顯示，表征的主要方式有精致、轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯、關(guān)聯(lián)、變式等，豐富而多元。單一類型的表征之間并非割裂存在，而是相互依存、相互作用，通過互換互譯互補(bǔ)，在互聯(lián)互通互鑒中或豐富或變式，共同組合并服務(wù)和致力于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解與表達(dá)，實(shí)現(xiàn)自我調(diào)節(jié)與平衡。比如動作表征與圖像表征、語言表征與符號表征之間可以多向轉(zhuǎn)化。多元表征賦予并豐富著學(xué)生用不同的思維視角、不同的行為方式，深入數(shù)學(xué)內(nèi)涵，擴(kuò)展數(shù)學(xué)外延，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)。可見，每一種表征形式面對不同的教學(xué)內(nèi)容，在不同的學(xué)習(xí)階段表現(xiàn)為相應(yīng)的適切性與互譯性，甚至同一內(nèi)容、同一時段的學(xué)習(xí)也可以運(yùn)用不同的表征形式促進(jìn)數(shù)學(xué)的理解，體現(xiàn)學(xué)習(xí)個性與有效性。

三是學(xué)習(xí)過程既重視實(shí)踐操作也關(guān)注心智分析。表征是認(rèn)知心理學(xué)的核心概念之一，多元表征始于學(xué)生認(rèn)知心理，又歸于學(xué)生心理認(rèn)知。多元表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)然選擇、實(shí)然追求與必然考量，數(shù)學(xué)多元表征的文獻(xiàn)顯示既注重外部的可視可察行為，也關(guān)注學(xué)生內(nèi)在的思維活動。研究一方面“知其然”，即諸多文獻(xiàn)研究成果提供了豐富、翔實(shí)的教學(xué)課例與實(shí)施策略。這些課例與策略，本質(zhì)上都足基于學(xué)生立場，即符合學(xué)生認(rèn)知心理，又立足學(xué)生已有數(shù)學(xué)水平與活動經(jīng)驗(yàn)。研究另一方面“知其所以然”，即高校學(xué)者從認(rèn)知心理學(xué)、信息加工、腦科學(xué)等不同領(lǐng)域，圍繞認(rèn)知模型、心像系統(tǒng)、雙重編碼、動力學(xué)等工具視角，展開高度專業(yè)化的心智分析與學(xué)理解讀。這些都為數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)提供了內(nèi)在思維路徑與外顯教學(xué)范導(dǎo)依據(jù)。

（二）研究不足

從研究主體來看，存在“二多二少”的現(xiàn)象，小學(xué)數(shù)學(xué)教師邊緣化。主題“小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征”檢索文獻(xiàn)18篇，占比僅10%，小學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注度明顯不夠。文獻(xiàn)的資源類型、來源、作者、機(jī)構(gòu)分析均顯示高校教師與碩博生研究多、個人探索與研究多，小學(xué)數(shù)學(xué)教師成果少、合作研究成果少，形成“二多二少”現(xiàn)象。究其原因，一方面是因?yàn)楦咝W(xué)者理論功底深厚，研究平臺較廣而深，過程科學(xué)。另一方面，小學(xué)數(shù)學(xué)教師更加關(guān)注的是實(shí)踐應(yīng)用，較少開展主題式專題研討，理論架構(gòu)力整體不足，掌握的資源平臺與研究方法受限。因此，高質(zhì)量多元表征研究在小學(xué)教育教學(xué)領(lǐng)域整體較弱。

從表征形式來看，存在“重外輕內(nèi)”現(xiàn)象，多元內(nèi)在表征被弱化。實(shí)踐或?qū)嵶C研究都需要理論支撐，從而雙向展開理論的實(shí)踐性解讀與實(shí)踐的理論性反思，然而文獻(xiàn)內(nèi)容表明，多元外在表征研究豐富，而多元內(nèi)在表征研究偏弱。一方面，多元內(nèi)在表征更多需要內(nèi)隱的心智理論技術(shù)支撐，本源性認(rèn)知層面的心理機(jī)制的解釋與解讀涉及不多、深入不足。另一方面，國內(nèi)對心理機(jī)制的研究相較國外顯得單薄，并且理論研究要求較高，研究者相對集中于高校學(xué)者或碩博學(xué)生。

從教學(xué)實(shí)施來看，存在“實(shí)例虛類”現(xiàn)象，“類”教學(xué)范式被虛化。數(shù)學(xué)多元表征的研究雖有較多具體翔實(shí)的課例經(jīng)驗(yàn)，但這是集中于某個“節(jié)點(diǎn)”課時的碎片化，缺失面上的“類”結(jié)構(gòu)的普適意義，“類”結(jié)構(gòu)教學(xué)范式被虛化。一是少有如何具體實(shí)現(xiàn)表征內(nèi)的自我轉(zhuǎn)換以及表征間的相互轉(zhuǎn)譯的研究。二是少有某個具體的單一表征的深度研究。三是鮮有小學(xué)數(shù)學(xué)教材表征樣態(tài)的研究。比如就動作表征而言，有著怎樣的教學(xué)價值？小學(xué)數(shù)學(xué)教材中哪里適合應(yīng)用？如何有效實(shí)施？背后的心理機(jī)制是什么？缺失了面上的統(tǒng)領(lǐng)，一線教師難以獲得清晰而全面的理解，也難以科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貞?yīng)用到日常教學(xué)之中，更難從整體上實(shí)現(xiàn)從抽象“一類課”范式到具體“一節(jié)課”課例的交流互鑒。

三、未來研究展望

在國內(nèi)，數(shù)學(xué)多元表征歷經(jīng)12年的短暫發(fā)展，整體上仍屬于起步階段，但是數(shù)學(xué)多元表征研究已逐步成為鮮活主題與熱門話題，取得了較為豐富的研究成果，還可以從以下幾方面開展進(jìn)一步探索。

（一）進(jìn)一步豐富多元表征的研究主體

從最近幾年的文獻(xiàn)來看，小學(xué)數(shù)學(xué)教師研究成果呈現(xiàn)發(fā)展趨勢，小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域數(shù)學(xué)多元表征有著廣泛的研究空間。后續(xù)研究中，需要進(jìn)一步豐富研究主體，加強(qiáng)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的研究共同體建設(shè)，加強(qiáng)小學(xué)與高校的聯(lián)合教研體建設(shè)，實(shí)現(xiàn)高校學(xué)者的理論優(yōu)勢與小學(xué)數(shù)學(xué)教師的一線實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的雙向配合，共同協(xié)作開展多元表征的理論建構(gòu)與實(shí)踐探索，增強(qiáng)理論研究與實(shí)踐研究的指導(dǎo)意義，增強(qiáng)教師自身生長感與獲得感。

（二）進(jìn)一步關(guān)注多元表征的心理內(nèi)涵

數(shù)學(xué)多元表征的研究要從關(guān)注實(shí)踐思辨，轉(zhuǎn)向更深層次的理論研究與心智探索。一方面高校教師加強(qiáng)心理學(xué)、腦科學(xué)、神經(jīng)學(xué)等內(nèi)部心理機(jī)制研究，從“外”而“內(nèi)”，走向深度理解，解構(gòu)認(rèn)知原理。另一方面，心理機(jī)制的研究于小學(xué)一線教師而言具有較高的挑戰(zhàn)，他們更需多加關(guān)注與學(xué)習(xí)，為實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)找到更深入的學(xué)理支撐，進(jìn)一步跳出經(jīng)驗(yàn)總結(jié)思辨。第三方面，回歸與審慎心理認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，尤其是心理學(xué)層面的解釋與解讀，雙向展開理論的實(shí)踐性解讀與實(shí)踐的理論性反思，通過實(shí)踐樣態(tài)“看到”其背后的內(nèi)隱心智元素，從而助力于更好地分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象、概念或問題，有效設(shè)計并應(yīng)用多元表征，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解與認(rèn)知建構(gòu)。在一定量的實(shí)踐研究之后，勢必會逐步轉(zhuǎn)入更深層次的理論研究與心理學(xué)基礎(chǔ)研究，提供更為豐富的多元表征學(xué)習(xí)的源動力。

（三）進(jìn)一步拓展多元表征的研究內(nèi)容

多元表征的研究內(nèi)容還需進(jìn)一步橫向拓寬多元表征的研究領(lǐng)域，縱向加深單一表征的專項(xiàng)研究，從而扎根數(shù)學(xué)課堂、生根數(shù)學(xué)思維、養(yǎng)根學(xué)習(xí)歷程。一是范式研究。具體就動作表征、圖像表征、符號表征等單一表征開展專題深度研究，不斷聚焦并縱深建構(gòu)，形成不同側(cè)重的教學(xué)范式。二是盲點(diǎn)突破。相對而言，多元表征的研究比較關(guān)注概念教學(xué)，聚力于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何領(lǐng)域，數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模多有涉及，而承載數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計與概率領(lǐng)域?qū)儆诿c(diǎn)，有待突破。三是教材研究。梳理出教材例題的表征形式與教學(xué)建議，探索并形成教材例題表征手冊，提供借鑒啟迪。四是表征評價。重視表征內(nèi)的自我轉(zhuǎn)換以及表征間的相互轉(zhuǎn)譯的效果評價，尤其是學(xué)生自主應(yīng)用表征解讀數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題的意識與路徑能力，研究多元表征評價維度，審慎并促進(jìn)多元表征的應(yīng)用過程與設(shè)計優(yōu)化。

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責(zé)任編輯：李韋

A Review of Research on Mathematical Multiple Representation

YAO JianFa

（Xinbei Xinqiao Experimental Primarv School，Changzhou 213032 China）

Abstract： Mathematic multiple representation has not only its should-be theoretical underpinningsand values but also its guiding significance and pursuit in teaching. The present research mainly focuseson the connotation cognition and representation system. psychological mechanism and affecting factors.teaching values and applying strategies. and cognitive models and lesson practice. which has yielded suchresearch results as representation forms of diversified expressions and systematic frameworks. various andinterconnected forms of representation. and stressing practical operation as well as concerning mental analysis.Based on the deficiencies found in previous research. this paper suggests that the future research should furtherenrich the research subjects. attend to mental connotations. and expand research contents.

Key words： mathematic representation; multiple representation： mathematics understanding; researchreview

*本文為江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題巾多元表征的教學(xué)研究”（B-a/2020/02/06）、江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十二期重點(diǎn)資助課題“重建兒童課堂生活——基于‘詩意兒童文化的童性課堂研究”（2017JK12-ZA07）的階段性科研成果。

收稿日期：2020-04-15

作者簡介：姚建法，常州市新北區(qū)新橋?qū)嶒?yàn)小學(xué)（江蘇常州，213032）副校長，高級教師，江蘇省第五期“333工程高層次人才培養(yǎng)工程”第三層次培養(yǎng)對象，常州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，常州市教育領(lǐng)軍人才。