半?yún)?shù)模型中參數(shù)的最優(yōu)線性無偏差分估計(jì)

馬 歌，胡宏昌，宋國文

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

半?yún)?shù)模型是近代發(fā)展起來的一種的統(tǒng)計(jì)模型，它既包含了線性部分，也包含了非線性的部分，自被提出以來便得到了十分廣泛的關(guān)注。它是由Engle在對氣候狀況與居民用電量需求的關(guān)系進(jìn)行研究的時候引入的，半?yún)?shù)模型在眾多實(shí)際問題應(yīng)用廣泛且靈活,故本文先考慮如下半?yún)?shù)回歸模型

y=Xβ+g(t)+ε

其中y為n×1維觀測隨機(jī)向量，X為n×p已知矩陣，且rank(X)=p，β為p×1維待測參數(shù)向量，g(t)為光滑連續(xù)未知向量函數(shù)，ε為n×1誤差向量，E(ε)=0，Cov(ε)=σ2I，σ2為已知常數(shù)。

半?yún)?shù)回歸模型在許多實(shí)際問題中擬合效果較好，特別對于其中參數(shù)估計(jì)較精準(zhǔn)。為得到參數(shù)β的最優(yōu)線性無偏估計(jì)，許多學(xué)者提出許多方法來獲得最優(yōu)線性無偏估計(jì)，Zhu和Hu[1]利用平衡損失函數(shù)得到參數(shù)的最優(yōu)線性無偏估計(jì)，Wu和Liu[2]又提出加權(quán)平衡損失函數(shù)，給出了加權(quán)平衡損失函數(shù)下最優(yōu)線性無偏估計(jì)。為除去上述模型中非參數(shù)效應(yīng)，Yatchew[3]在此模型中引入差分算子D，得到如下差分模型

Dy=DXβ+Dg(t)+Dε≌DXβ+Dε

(1)

其中D為(n-m)×n維已知非負(fù)矩陣，且滿足rank(DX)=p.

針對上述差分模型下的參數(shù)估計(jì)研究較少，本文在前面學(xué)者研究基礎(chǔ)上給出上述差分模型下的加權(quán)平衡損失函數(shù)，并得出此模型下參數(shù)的最優(yōu)線性無偏估計(jì)，同時根據(jù)實(shí)例得出此模型下所得參數(shù)β估計(jì)較好。

1 加權(quán)平衡損失函數(shù)

本文根據(jù)最小二乘估計(jì)理論以及Wu和Liu[2]研究加權(quán)平衡損失的想法，給出如下加權(quán)平衡損失函數(shù)：

(2)

(3)

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，我們討論了模型(1)中加權(quán)平衡損失函數(shù)下的參數(shù)的最優(yōu)線性無偏估計(jì)。

2.1 最優(yōu)線性無偏差分估計(jì)量

我們?nèi)={LDY∶L是p×n階常數(shù)矩陣，LDX=Ip}作為β的估計(jì)類，當(dāng)DDT為半正定矩陣，研究LDy在Q中的最優(yōu)線性無偏差分估計(jì)。

類似文獻(xiàn)[2]，給出如下定義：

如果LDy在Q中使

R(LDy,β)=E{ω2(Dy-DXLDy)TT+(Dy-DXLDy)+(1-ω)2(LDy-β)TS(LDy-β)+

達(dá)到最小，那么LDy為β的最優(yōu)線性無偏差分估計(jì)。

接下來，我們給出在討論中用到的六個引理。

引理1 設(shè)D為(n-m)×n階矩陣，rank(D)=n-m行滿秩矩陣，X為n×p階矩陣，rank(X)=p列滿秩矩陣，且n-m≥p，則DX為(n-m)×p階矩陣，rank(DX)=p.

證 設(shè)X=(x1，x2，…，xp),因X為列滿秩矩陣，rank(X)=p，則x1,x2，…,xp線性無關(guān)，故存在一組全為0的數(shù)α1,α2,…,αp，使

α1x1+α2x2+…+apxp=0

且有

DX=(Dx1,Dx2,…,Dxp)Dα1x1+Dα2x2+…+Dαpxp=0

則Dx1,Dx2,…,Dxp是線性無關(guān)的，從而rank(DX)=p.

引理2[6]設(shè)DX為(n-m)×p階矩陣，L為p×(n-m)階矩陣，則

引理3[7]設(shè)A為(n-m)×(n-m)階正定矩陣，λ1≥…≥λn-m>0為A的有序特征值，P為(n-m)×k階矩陣并且PTP=Ik，(n-m)>k，使l=min(k,n-m-k)則

引理4[8]設(shè)A為(n-m)×(n-m)階正定矩陣，λ1≥…≥λn-m>0為A的有序特征值，P為(n-m)×k階矩陣并且PTP=Ik，(n-m)>k，使l=min(k,n-m-k)則

引理5[9]設(shè)T=DDT+DXU(DX)T，rank(T)=rank(DDT?DX)，則

1)R(DDT?DX)=R(T).

2)(Dy-DXβ)TT-(Dy-DXβ),(DX)TT-DX)和(DX)TT-Dy都與T-選擇無關(guān)。

3)(DX)TT-T=(DX)T,DX((DX)TT-DX)-DXT-DX=DX.

引理6[10]設(shè)rank(DX)=p，T=DDT+DXU(DX)T，且rank(T)=rank(DDT?DX)，

則(DX)TT-DX是可逆矩陣。

在接下來的定理證明，我們將推導(dǎo)出加權(quán)平衡損失函數(shù)下β的最優(yōu)線性無偏估計(jì)。

定理1 對于模型(1)，DDT是半正定矩陣，若L=((DX)TT-DX)-1(DX)TT-，則LDy為β在加權(quán)平衡損失函數(shù)下的最優(yōu)線性無偏估計(jì)。

證 設(shè)LDy∈Q，則根據(jù)(2)，風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為

R(LDy,β)=E{ω2(Dy-DXLDy)TT-(Dy-DXLDy)+(1-ω)2(LDy-β)TS(LDy-β)+

2ω(1-ω)(DXLDy-Dy)TT-DX(LDy-β)}

=σ2ω2tr{(T--(DXL)TT--T-DXL)(T-DXU(DX)T)+(DXL)TT-DXLDDT}+

σ2(1-ω)2tr(LTSLDDT)+

2ω(1-ω)σ2tr{(DXL)TT-DXLDDT-T-DXL(T-DXU(DX)T)}

=σ2ω2tr(T-T)-2σ2pω+(2-w)ωσ2tr{(DX)TT-DXU}+σ2tr(LTMLDDT)

(4)

其中M=ω(2-ω)(DX)TT-DX+(1-ω)2S，則要使LDy為β的最優(yōu)線性無偏估計(jì)，等同于

由Lagrange乘子法，使

F(L,λ)=tr(LTMLDDT)-2tr(λ′(LDX-Ip))

其中λp×p為拉格朗日乘數(shù)，對L和λ分別求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零，可得如下方程：

ML(T-DXU(DX)T)-λ(DX)T=0

LDX-Ip=0

結(jié)合引理5則可得到

L=((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+G(In-m-TT-)

其中G是p×p階矩陣，則

LDy=[((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+G(In-m-TT-)]Dy

接下來證明((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy的風(fēng)險(xiǎn)與LDy的風(fēng)險(xiǎn)相等.

因?yàn)?In-m-TT-)DDT=(In-m-TT-)(T-DXU(DX)T)=0，且有

R([((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+G(In-m-TT-)]Dy,β,σ2)

=σ2ω2tr(T-T)-2σ2pω+(2-ω)ωσ2tr((DX)TT-DXU)+

σ2tr(T-DX((DX)TT-DX)-1M((DX)TT-DX)-1(DX)TT-DDT)+

2σ2T-DX((DX)TT-DX)-1MG(In-m-TT-)DDT+

σ2tr((G(In-m-TT-))TM(G(In-m-TT-))DDT)

則

R([((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+G(In-m-TT-)]Dy,β)=R(((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy,β)

最后證((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy是最小風(fēng)險(xiǎn)。

R([((DX)TT-DX)-1(DX)TT-+μN(yùn)]Dy,β)

=R(((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy,β)+σ2tr{(μN(yùn)(DD)T)1/2)TMμN(yùn)(DDT)1/2}

≥R(((DX)TT-DX)-1(DX)TT-Dy,β)

(5)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)L=((DX)TT-DX)-1(DX)TT-.

推論1 對于模型(1)，若L=((DX)TT-DX)-1(DX)TT-，則LDy為β的最優(yōu)線性無偏差分估計(jì)。

2.2 差分估計(jì)下的相對效率

因定理1所得出的最優(yōu)線性無偏差分估計(jì)與普通最小二乘估計(jì)必存在一些偏差，故本文利用相對效率可以比較估計(jì)量的優(yōu)越性。

故類似Wu和Liu[6]定義的兩種相對效率：

(6)

(7)

則

則兩種估計(jì)對應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)如下：

σ2tr{M((DX)TDX)-1(DX)TTDX((DX)TDX)-1}

其中 rank(DX)=prank(T)=kk>pm=min(p,k-p)

證 因?yàn)镽(DX)?R(T)，QDX為k×p階矩陣，rank(QDX)=p，設(shè)QDX=γ，則

=σ2trM(γTγ)-1γTΛγ(γTγ)-1-σ2trM(γTΛ-1γ)-1

=σ2[tr(ρTρ)-1ρTΛρ(ρTρ)-1-tr(ρTΛ-1ρ)-1]

則定理2證明完成，接下來證下一個定理。

Λ=diag(λ1,…,λk),λ1≥…≥λk>0.c1≥…≥cp>0=cp+1=…=ck是這個矩陣QDXM-1(DX)TQT的特征值，若ω2tr(T-T)-2pω-(1-ω)2tr(SU)=0，則

其中 rank(DX)=prank(T)=kk>pm=min(p,k-p)

根據(jù)定理2及引理3，則

Λ=diag(λ1,…,λk),λ1≥…≥λk>0.c1≥…≥cp>0=cp+1=…=ck是這個矩陣QDXM-1(DX)TQT的特征值，若ω2tr(T-T)-2pω-(1-ω)2tr(SU)≠0，且(DX)TT-DX≤U-1,則

其中 rank(DX)=prank(T)=kk>pm=min(p,k-p)

由定理2，可得

3 模擬算例

在本節(jié)中，將給出一個模擬例子來說明理論結(jié)果的正確性。取差分矩陣[3]為

則

為半正定矩陣，又取矩陣

在本文中我們?nèi)ˇ?=0.05，U=I，S=I，則計(jì)算出兩種相對效率e1和e2，其圖像如圖1所示。

圖1 兩種相對效率e1和e2