應(yīng)用函數(shù)與方程思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力

姚紅陽(yáng)

【摘 要】 解題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要組成部分，是學(xué)生綜合素養(yǎng)的體現(xiàn)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生解題能力為切入點(diǎn)，不斷激活學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。筆者在教學(xué)中，注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，既為學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理清了脈絡(luò)，更發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。本文就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用函數(shù)與方程思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力談?wù)劥譁\的認(rèn)識(shí)。

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué);函數(shù)與方程思想;解題能力

函數(shù)與方程思想是初中時(shí)代的重要思想，對(duì)學(xué)生的解題能力有著不可磨滅的作用。新的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)教師和學(xué)生提出了更大的挑戰(zhàn)，簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)考查已完全無(wú)法滿(mǎn)足現(xiàn)在的要求。同時(shí)，掌握了這一基本的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生其它方面的解題也有很大的作用。本文將從三個(gè)方面詳細(xì)闡述如何應(yīng)用函數(shù)與方程思想，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

一、求代數(shù)式，簡(jiǎn)捷快速

根據(jù)函數(shù)與方程中的韋達(dá)定理，可以將二次方程很復(fù)雜的兩個(gè)解轉(zhuǎn)化成整式形式。由此，求代數(shù)式時(shí)可以反向求解，進(jìn)而快速并正確解題。這就要求教師向?qū)W生展示正確用法，同時(shí)讓學(xué)生及時(shí)總結(jié)，才能真正掌握。

九年級(jí)上冊(cè)第22章第3節(jié)學(xué)習(xí)了實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)大家對(duì)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)有了比較深刻的理解。為了讓學(xué)生熟練應(yīng)用函數(shù)與方程思想，我便出了一道綜合性比較強(qiáng)的題，供學(xué)生思考：已知a=2-，b=2+，求（3a2-12a+4）（2b2-8b+13）的值。由于是剛學(xué)完二次函數(shù)，所以有的同學(xué)在努力根據(jù)二次函數(shù)的思想進(jìn)行求解;而另一部分同學(xué)則是在硬將a和b的值代入方程式中求解。顯然，如此復(fù)雜的式子，代入值計(jì)算的錯(cuò)誤率是很高的，而且根本沒(méi)有必要將其列為訓(xùn)練能力的重點(diǎn)。最后，有同學(xué)通過(guò)韋達(dá)定理快速解出了正確答案，我便讓他進(jìn)行了板書(shū)演示與講解：由a+b=4，ab=1可得，a和b分別為x2-4x+1=0的2個(gè)根，那么a2-4a+1=0與b2-4b+1=0是成立的;接下來(lái)可以得出3a2-12a+4=3（a2-4a+1）+1=1以及2b2-8b+13=2（b2-4b+1）+11=11，最后（3a2-12a+4）（2b2-8b+13）=1×11=11。

事實(shí)證明，通過(guò)不斷嘗試與思考，學(xué)生是完全有能力將函數(shù)與方程思想應(yīng)用在求解代數(shù)式中的。在這個(gè)過(guò)程中，教師一定要給予相應(yīng)的指導(dǎo)和肯定，將用法演示給暫時(shí)沒(méi)有理解的同學(xué)，同時(shí)進(jìn)行變式訓(xùn)練，才能保證學(xué)生真正理解并應(yīng)用。

二、解應(yīng)用題，打開(kāi)思路

不僅是計(jì)算題，函數(shù)與方程思想在應(yīng)用題中也有很大的作用。通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的求解，學(xué)生可以求出滿(mǎn)足題目要求的最佳方案。這也為學(xué)生的理性化解題提供了新的思路，讓學(xué)生掌握方向。

在九年級(jí)上冊(cè)第22章“二次函數(shù)”的復(fù)習(xí)題中，有一道涉及兩個(gè)未知條件的應(yīng)用題對(duì)學(xué)生產(chǎn)生了一定的困擾：公司用甲、乙兩個(gè)工廠同時(shí)生產(chǎn)960個(gè)零件;已知甲單獨(dú)完成比乙單獨(dú)完成多20天，每天乙比甲多生產(chǎn)8個(gè);甲日加工費(fèi)為800元，乙日加工費(fèi)為1200元;求生產(chǎn)這批零件公司所付費(fèi)用。表面上，題干與最終所求問(wèn)題關(guān)系并不大，涉及的量也太多。但事實(shí)上，通過(guò)步步抽離，這道題的本質(zhì)其實(shí)就是一元二次方程的列出與求解。從問(wèn)題出發(fā)，要求公司所付費(fèi)用，實(shí)際上是求甲、乙兩公司共生產(chǎn)了多少天。根據(jù)已知條件，設(shè)甲廠每天生產(chǎn)x件新產(chǎn)品，那么乙廠每天生產(chǎn)（x+8）件，由甲單獨(dú)完成比乙單獨(dú)完成多20天可得-=20，化簡(jiǎn)后得x2+8x-384=0;求得兩個(gè)解為16和-24，-24舍去，因此，結(jié)果為甲廠每天生產(chǎn)16個(gè)，乙廠24個(gè)，那么生產(chǎn)天數(shù)為960÷（16+24）=24，費(fèi)用=（800+1200）×24=4800元。

很顯然，解應(yīng)用題的過(guò)程中，同學(xué)們總會(huì)被繁瑣的條件煩擾，從而導(dǎo)致學(xué)生的思緒誤入歧途。這時(shí)候就需要教師引導(dǎo)學(xué)生，從題目出發(fā)，找到突破口，最后根據(jù)已知條件設(shè)未知數(shù)、列方程并求解，就一定能找到思路。

三、圖形計(jì)算，多元轉(zhuǎn)換

代數(shù)與幾何本就是相輔相成的。如大家所熟悉的勾股定理等，事實(shí)上很多圖形最終的形狀都與邊角的數(shù)值是相關(guān)的。因此，在求解圖形問(wèn)題時(shí)，同樣可以根據(jù)條件，應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題。

在九年級(jí)下冊(cè)第27章，大家學(xué)習(xí)了圖形的相似。由于之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)，因此我們師生都發(fā)現(xiàn)，很多題目中，應(yīng)用函數(shù)與方程思想會(huì)比僅僅只利用相似三角形方便得多。比如：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3;D為BC邊上一點(diǎn)，直線(xiàn)DE⊥BC與D，交AB與E，CF∥AB交直線(xiàn)DE于F;令CD=x，求當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形EACF為菱形。解題前，首先根據(jù)題中已知條件DE⊥BC與∠ACB=90°可得AC∥EF;加上CF∥AB，可知四邊形EACF為平行四邊形。前面這一部分是很簡(jiǎn)單的條件歸納，要使得平行四邊形EACF為菱形，還需滿(mǎn)足鄰邊相等，即AC=CF=2。由于AC∥ED，因此△ACB∽△EDB，那么=，得ED=（3-x），DF=。最終，根據(jù)勾股定理可知CD2+DF2=CF2，即x2+（x）2=22，解之得x=。因此，最終答案為：當(dāng)x為時(shí)，四邊形EACF為菱形。

由此可知，如果僅憑三角形以及平行四邊形自身的性質(zhì)，很難將題目解決。但是如果加上函數(shù)與方程，就可以將勾股定理以及平行四邊形中其他關(guān)于數(shù)值的條件很好地利用起來(lái)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換。

函數(shù)與方程并不是一個(gè)獨(dú)立的、簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)，而是可以滲透到任意范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)方法與思想。因此，掌握了函數(shù)與方程思想，對(duì)學(xué)生解題能力的提升大有裨益。同時(shí)，廣大師生在解題過(guò)程中還可自行總結(jié)，不斷完善其用法，從而更加深刻地理解并更加熟練地應(yīng)用函數(shù)與方程思想，進(jìn)而得到解題能力的提升。

【參考文獻(xiàn)】

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