導函數(shù)隱零點問題的處理對策

牙政澤

摘 要：近年來，隨著我國社會經(jīng)濟與現(xiàn)代化科學技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，各個領(lǐng)域都取得了重大的成就，教育領(lǐng)域的優(yōu)化改革也已經(jīng)成為一種必然趨勢。在教育過程之中，高考已然成為改變學生命運的重要轉(zhuǎn)折點之一，其中的數(shù)學學科更是關(guān)鍵所在。而導函數(shù)作為高中數(shù)學的重要知識點，其具有多種解題算法，導函數(shù)在求導過程中，存在超越方程、高次冪方程等，將增加解題難度，為此應通過不同的解題方法對函數(shù)求導存在的問題進行全面解析，以此來得出正確的求導結(jié)果。文章針對導函數(shù)隱零點問題進行探討，并對整體代換、反帶消參、降次留參等解題思路進行研究。

關(guān)鍵詞：導函數(shù);隱零點;解題思路

中圖分類號：G633.6? ??文獻標識碼：A? ? ??文章編號：2095-624X（2020）15-0062-02

一、導函數(shù)定義解析

當函數(shù)f（x）在（A，B）區(qū)間內(nèi)的任何一個節(jié)點處可導，可建立基于f（x）的導函數(shù)，一般以f ′（x）為代表。當A，B屬于閉合區(qū)間時，此時f（x）在A處右導數(shù)、B處左導數(shù)均存在時，可將f ′（x）表現(xiàn)為[A，B]內(nèi)的導函數(shù)。如果將（A，B）區(qū)間內(nèi)的任意一點作為定義域內(nèi)的拓展節(jié)點時，此時f（x）應在定義域的開區(qū)間內(nèi)可導，其區(qū)間內(nèi)的任意點值則代表f（x）的定義函數(shù)，以此來建構(gòu)新函數(shù)，并可將新函數(shù)作為f（x）的導函數(shù)f ′（x），其關(guān)系式為：

f（x+△x）-f（x）

f '（x）=lim—

△x

二、高中導函數(shù)零點教學現(xiàn)狀分析

在高中時期的數(shù)學教學過程之中，導函數(shù)零點問題作為教學重點一直深受教師與學生的關(guān)注，但是由于該題目的解題方式過于復雜、難懂，使得學生在面對該類型題目時往往會出現(xiàn)“無從下手”的現(xiàn)象。再加上高中階段的學習時間緊、任務重，學生不愿意將大部分的學習精力以及學習時間放置到導函數(shù)零點問題研究之上。而教師在教學過程之中針對該種類型內(nèi)容的教學也只是選擇一些經(jīng)常考查的題目及其解題方式在課堂進行講解，讓學生背誦解題思路，這種教學方法固然能夠讓學生找到一定的解題思路。但是當題型發(fā)生變化時，往往會失去解題的思路或是在解題過程之中出現(xiàn)思路混亂，無法得出正確答案。所以，針對這一類型題目的教學還是需要通過教師教學引導找到解題的正確思路并在課堂授課環(huán)節(jié)及時幫助學生梳理思路。

三、導函數(shù)零點問題分析策略

倒數(shù)問題作為高中的熱點內(nèi)容，其導函數(shù)的零點在解決函數(shù)單調(diào)性、最值性、不等式證明等問題的解決過程之中十分重要。但是一些零點能夠判斷其是否存在，一些數(shù)值上的求解卻比較困難。所以，對于該類型的內(nèi)容求解需要從邏輯判斷以及不等式的運用等方面。在導函數(shù)零點問題教學過程之中，教師需要考慮的內(nèi)容是多方面的，根據(jù)對解題類型的分析，其具體可以利用整體代換、反代消參、降次留參、分離函數(shù)、分離變量等方式進行解決。

1. 整體代換

在學生的學習過程中，代數(shù)是一種基礎的數(shù)學知識，在實際的考查過程之中，其對學生的考查主要從兩方面進行考慮，第一是對學生的運算能力進行考查，這就需要學生熟練掌握各種類似的公式。第二則是對學生的觀察能力以及思考能力進行考查，學生要充分挖掘各個式子之中的各個關(guān)系，借助相應的解題技巧對所要求解的公式進行解答。在題型的運算過程之中，整數(shù)代換就是主要的變形技巧與主要方式之一，尤其是在一些數(shù)字運算、代數(shù)運算都具備的復雜數(shù)學題型之中。如果學生單純地按照題目之中所給的信息進行解答，則整個運算過程就會變得非常復雜，甚至會出現(xiàn)無法求解出正確答案的現(xiàn)象。如果學生能夠巧妙地運用整體代換思想，抓住題型之中的一些共同點進行整體代換，將復雜的題型簡單化就能夠巧妙得出結(jié)果。

例題一：設函數(shù)f（x）=e2x-alnx，求：（1）f（x）導函數(shù)f ′（x）零點數(shù)量;（2）證明：a>0時，f（x）≥2a+aln—。

步驟解析：在對例題中的（2）進行解答時，證明f（x）≥2a+aln—（a>0），可通過[f（x）]min≥2a+aln—。此時[f（x）]min可通過f ′（x）的零點進行解析，但此時

f ′（x）=0隸屬于超越方程，不能實現(xiàn)求解，但此方程的思路可適用于滿足x0的等式，e2x? =—，lnx0=ln—-2x0，此時可將其進行整體代換將超越方程轉(zhuǎn)化為普通方程，即e2x? -alnx0轉(zhuǎn)化為—+2a x0+aln—，再通過均值不等式將函數(shù)最小值進行求值，以此來對x0進行消除，得出最終結(jié)果。

2.反帶消參

在諸多類型的數(shù)學考試之中，含有參數(shù)的導函數(shù)隱零點問題往往都以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類題型還有參數(shù)，難度也比較大。在傳統(tǒng)的解答過程中，大都運用分類討論思想或是分離參數(shù)思想進行解答，這就使得學生形成了一種固定的解題思維。如果學生能夠在解題過程中走出原有的思維定式，并將注意力轉(zhuǎn)移到消參的角度上。通過反代消參來進行解答，就會將含參數(shù)題型轉(zhuǎn)變?yōu)椴缓瑓?shù)的問題，進而獲得意想不到的收獲，問題也會隨之解決。

例題二：已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+x+2，曲線y=f（x）在（0，2）點處的切線，與坐標軸（x）的橫坐標為-2。證明：當m<1時，曲線y=f（x）和直線y=mx-2的交點數(shù)為1。

步驟解析：當-20，此時x2隸屬于可求范圍內(nèi)，即x2=1+—，但此時如果想直接證明m的不等式

h（x2）>0，問題解決思路不明顯，因此可采用反帶消參，建構(gòu)單一函數(shù)（以零點為基準），通過虛設x2來代表從參數(shù)值，即將函數(shù)轉(zhuǎn)化為1-m=-3x22+6x2，進而使問題得到簡化。

3.降次留參

在導函數(shù)隱零點問題的諸多題型之中，有些題型有較高的指數(shù)以及大量的參數(shù)，學生在解題過程之中既要考慮到降次又要考慮到參數(shù)的求解。這就使得很多學生面對這種復雜問題時，會有一種“無力”感，找不到明確的解題方向。而降次留參解題方式的應用便很好地解決了這一方法。該種方法也是高中數(shù)學解題過程中的一種常用且比較實際的解答方式，其具體是指在解題過程中將含有未知數(shù)的項數(shù)的指數(shù)部分進行降次處理。且在降次過程之中對題目之中的參數(shù)繼續(xù)保留，不做處理。降次之后再建立新的方程式并尋找其中的關(guān)聯(lián)點，進行解答。

例題三：已知函數(shù)f（x）=—x3+x2+mx.

步驟解析：通過極點值x1，x2，與參數(shù)m之間的定向聯(lián)系，對次數(shù)進行降冪處理，一直降到1為止，以求出方程內(nèi)交點，通過降次留參，建立新的參數(shù)方程，進而求出m值。

4.分離函數(shù)

在高中數(shù)學導函數(shù)解題過程之中，對于求解分數(shù)性質(zhì)的函數(shù)，我們可以采用拆分的辦法將分式之中的分數(shù)變成常數(shù)，一些分數(shù)函數(shù)也可以拆分成一個整數(shù)式子或是分數(shù)式子，這種方法也可以認為是分離常數(shù)法。該種解題方法一般用于求解函數(shù)的整數(shù)或是函數(shù)的值域等問題之中。如例題四：

已知函數(shù)f（x）=lnx/（x+1）+1/x，證明：x>1且x ≠1時，f（x）>lnx/（x-1）。

在該類型題目解決過程之中，如果直接求解并構(gòu)造出函數(shù)g（x）= lnx /（x+1）+1/x-lnx/（x-1）則會使得該式子在進行求導之后無法解答出相應的導函數(shù)零點。經(jīng)過分析之后，我們可以知道，造成無法求解導函數(shù)零點是由于函數(shù)式之中含有l(wèi)nx的組合形式。所以，在解題過程之中需要將不等式之中的內(nèi)容進行等價變換，再將題目之中的lnx進行分離，才能夠求解出該導函數(shù)的零點，進而再次分析，解答出其中的最值，使得該不等式得到證明。

5.變更主元

在我們解答一些與函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容有關(guān)的函數(shù)題目時，我們可以將數(shù)學式子之中的主元與數(shù)學常量進行換位，或是將主元與參數(shù)的位置進行互換，參數(shù)與常量之間進行位置互換，進而產(chǎn)生一種認識上的轉(zhuǎn)化變化，但是這種變化并不換元，而是借助這種思維方式進行題目解決的方式才叫作變更主元法。如例題五：

已知a>0，函數(shù)f（x）=ax2-x，g（x）=ln x。

（1）a=1/2，求函數(shù)y=f （x）-2g（x）的極值;

（2）在實數(shù)a，使得f（x）≥g（ax）對任意正數(shù)x恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值集合;若不存在，請說明理由。

解決過程之中，如果采用傳統(tǒng)的解題方式，會使得學生面對多種變量時無法進行靈活應變。而應用變更主元法之后，可以直接令h（x）=f （x）-g（ax）=ax2-x-lnax，之后進行函數(shù)求導，發(fā)現(xiàn)該導函數(shù)無法求解出正確的零點之后進行主元變換，該問題也得到了解決。

6.分離變量

分離變量法是指一種應用在解決數(shù)學偏微方程、常微分方程的解題方法，該種方式在數(shù)學導函數(shù)問題解決過程之中同樣適用。該種方法在運用過程之中需要借助代數(shù)將原來的方程式進行重新編排，并讓方程式的一部分都只含有一個變量，其他的剩余部分與該變量之間沒有關(guān)系。通過這種方式，來隔離出兩個部分的數(shù)值，并將其分別等于兩個常數(shù)，這兩個部分的值的代數(shù)和就等于0。該種解題方式還應用了高數(shù)知識、級數(shù)求解知識以及一些其他種類、類型的解題方法，并求解出各個方程，最后將這些內(nèi)容進行重新“組裝”。分離變量法屬于一種解答波動方程或是邊值問題的解答方法。例題六如下：

已知函數(shù) f（x）=kx，g（x）=lnx/x，如果不等式

f（x）≥g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)恒成立，求解實數(shù)K的取值范圍。在解題過程之中需要對這一題目進行變量分離，再構(gòu)造出相應的函數(shù)，不需要再進行分類討論，而是應當簡單、直接地進行解答，從而化簡整個解題的過程，得到最終的答案。

綜上所述，導數(shù)作為高中數(shù)學中的重要知識點，在其研究函數(shù)過程中，將產(chǎn)生隱零點的問題，進而增加習題的難度，文章對導函數(shù)隱零點的問題進行分析，并通過相應的習題對解題思路進行探討，以此來為學生提供解題方向。

[參考文獻]

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[2]葉良銓.導函數(shù)零點不可求問題的解答策略[J].中學理科園地，2018（6）：49-50.

作者簡介：牙政澤（1984—），男，壯族，廣西南丹人，中學一級教師，本科，研究方向：高中數(shù)學教學。