數(shù)學(xué)素養(yǎng)：在教學(xué)“等待”中落地

張新宇

【摘要】有些新教師往往把學(xué)生看成一張白紙，備課中擔(dān)心學(xué)生對(duì)教學(xué)的關(guān)鍵答非所問(wèn)，浪費(fèi)寶貴的課堂時(shí)間，在數(shù)學(xué)課上常常打斷學(xué)生的表達(dá)，改由教師主講到底。其實(shí)，有時(shí)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)超乎教師想象的新異表現(xiàn)，教師要注意捕捉學(xué)生的抽象思維，引導(dǎo)他們類(lèi)推遷移，聚焦其圖形直觀，善于耐心等待，學(xué)生一定會(huì)給數(shù)學(xué)課堂帶來(lái)驚喜，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會(huì)在“等待”中落地生根。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)等待 學(xué)生經(jīng)驗(yàn) 聯(lián)系視角 幾何直觀

教師課前的備課設(shè)計(jì)往往決定上課的質(zhì)量。筆者作為新教師在備課時(shí)，既想讓課堂教學(xué)能上出精彩，又總擔(dān)心學(xué)生是一張白紙，在某些問(wèn)題中“答不到點(diǎn)子上”。因此，教師在課堂教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)對(duì)學(xué)生生拉硬拽，不給學(xué)生充分的時(shí)間交流，舍不得將太多的時(shí)間留給學(xué)生來(lái)表達(dá)，常常將學(xué)生的發(fā)言打斷，把課堂思維向自己的課前預(yù)設(shè)中帶。這就造成了教師一直說(shuō)個(gè)不停，實(shí)行“滿(mǎn)堂灌”教學(xué)，導(dǎo)致教學(xué)效果低下，難以完成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。其實(shí)，這正是新教師中常見(jiàn)、多發(fā)的心性毛糙、修養(yǎng)缺乏歷練的毛病。

新教師往往比較自我，多把注意力全部集中在如何設(shè)計(jì)出精彩的教學(xué)環(huán)節(jié)上，而忽略如何讓學(xué)生學(xué)得出彩。如果換一個(gè)角度思考，從學(xué)生視角出發(fā)，課堂中學(xué)生的生成，其實(shí)就是最好的教學(xué)資源材料。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，不能僅僅局限于教材、眼睛盯著知識(shí)體系，要兼顧學(xué)生，留給學(xué)生充分的交流和表達(dá)的時(shí)間，讓學(xué)生在課堂上能夠真正地參與到學(xué)習(xí)中，這樣才能使他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根。筆者在擔(dān)任五年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的一年里，就多次發(fā)現(xiàn)，其實(shí)學(xué)生有時(shí)在課堂上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維表現(xiàn)，甚至能夠超出教師的想象，兒童其實(shí)是具有無(wú)限的發(fā)展?jié)摿Φ摹?/p>

一、抽象思維：對(duì)兒童生活經(jīng)驗(yàn)的深度挖掘

方程是數(shù)學(xué)里的一種重要思想方法，其基礎(chǔ)是用字母表示數(shù)，其實(shí)質(zhì)是用一般性代替一個(gè)個(gè)具體的數(shù)，是思維的假設(shè)和抽象概括。而許多學(xué)生在五年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題時(shí)，常常不容易適應(yīng)方程思想，他們?nèi)匀痪窒抻趶牡湍昙?jí)一直沿用的列算式計(jì)算求結(jié)果的思維方式，不習(xí)慣將未知數(shù)當(dāng)作與已知數(shù)同樣地參與列式的思考表達(dá)方法。因此，如何培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，讓學(xué)生克服原有列式計(jì)算思維方式的約束，順利列出方程，困擾著剛從事五年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的新教師。

【案例片段1】蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第78頁(yè)的一道思考題：

“買(mǎi)3支圓珠筆和2支鉛筆要8.7元，買(mǎi)2支圓珠筆和3支鉛筆要6.8元，圓珠筆和鉛筆的單價(jià)各是多少？”

該題在還沒(méi)有學(xué)習(xí)方程時(shí)，學(xué)生們能夠解答嗎？他們會(huì)怎么解決呢？為了了解學(xué)生對(duì)此問(wèn)題到底能不能解答，又可能采取什么方法解答，筆者決定先找班里幾個(gè)思維較為靈活的學(xué)生作為摸底對(duì)象，讓他們嘗試思考一番。課間，筆者給他們提出了這道題目。結(jié)果他們不僅解決了這個(gè)問(wèn)題，并且?guī)讉€(gè)同學(xué)一起鉆研，竟然呈現(xiàn)出多種的解題方法。有的學(xué)生通過(guò)列出表格進(jìn)行分析，有的畫(huà)出線(xiàn)段圖比較數(shù)量關(guān)系，也有的運(yùn)用已知數(shù)據(jù)帶進(jìn)去湊算試驗(yàn)……其中有個(gè)學(xué)生很特別，他得意地向大家清晰地解說(shuō)著他的思路——

“3圓+2鉛=8.7;2圓+3鉛=6.8，將它們合在一起買(mǎi)，就是5圓+5鉛=15.5，那么我們買(mǎi)1圓+1鉛就是3.1元。如果我們買(mǎi)2圓+2鉛就花了6.2元?！惫P者問(wèn)道：“你求出這個(gè)有什么用呢？”“老師你看，題目中買(mǎi)3支圓珠筆和2支鉛筆用了8.7元，比這個(gè)多買(mǎi)了一支圓珠筆。多花的8.7-6.2=2.5（元）不就是一支圓珠筆的價(jià)錢(qián)嗎？同樣的，我們也能根據(jù)第二個(gè)條件算出一支鉛筆的價(jià)錢(qián)是6.8-6.2=0.6（元）?！?/p>

學(xué)生的新穎思路的確十分巧妙難得，其中的思維表現(xiàn)細(xì)細(xì)分析起來(lái)有如下的超常之處：一是將圓珠筆和鉛筆分別用“圓”和“鉛”字來(lái)簡(jiǎn)化代替，以簡(jiǎn)練的方法列出兩個(gè)含有文字的類(lèi)似“方程式”;二是解法思考中將題中兩個(gè)購(gòu)買(mǎi)情況合并，從而得到了同樣圓珠筆與鉛筆都是5支的總價(jià)為15.5元;三是由此他推導(dǎo)計(jì)算得到一支圓珠筆和一支鉛筆是3.1元，進(jìn)而兩支圓珠筆與兩支鉛筆就是6.2元的結(jié)論;四是用這一結(jié)論與第二種購(gòu)買(mǎi)情況比較，就推導(dǎo)出一支鉛筆是6角;最后學(xué)生求出了一支圓珠筆是2.5元。思路清晰，過(guò)程完整。

對(duì)此，筆者不禁陷入了沉思，在筆者思考這道題目的時(shí)候，就算不列方程，也會(huì)用到等式的性質(zhì)，而沒(méi)學(xué)過(guò)等式性質(zhì)的學(xué)生，卻能夠聯(lián)系生活情景，做出這樣有序的推理，著實(shí)令人贊嘆。這位學(xué)生的思考方法實(shí)際上就是解二元一次方程的思想，只是他自己還沒(méi)有注意到這一點(diǎn)罷了。之后，也有學(xué)生陸陸續(xù)續(xù)地站起來(lái)，向大家說(shuō)出他們的解題方法，其中不乏通過(guò)這樣的方法解題的學(xué)生，竟然能夠運(yùn)用題中的兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式相減，用“圓珠筆抵消鉛筆找出它們的單價(jià)差為1.9元”為切入點(diǎn)進(jìn)行解題。更有學(xué)生已經(jīng)接近于找出中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中使用的“消元法”了，只不過(guò)學(xué)生暫時(shí)不能這么明白地說(shuō)出這一方法名稱(chēng)而已。

在該班學(xué)生學(xué)完用字母表示數(shù)第一課時(shí)之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生明白，前段時(shí)間的思考題，實(shí)際上就是用漢字“圓”“鉛”來(lái)代替這兩種物品的價(jià)格。如果把物體漢字用漢語(yǔ)拼音字母的首字母來(lái)表示，可以怎么表示呢？學(xué)生想到了用“Y”和 “Q”來(lái)列出表示數(shù)量關(guān)系的算式！當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這樣表達(dá)的巧妙后，會(huì)為方程的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

二、遷移規(guī)律：抓時(shí)機(jī)引導(dǎo)類(lèi)推的巧妙串聯(lián)

小學(xué)階段的簡(jiǎn)便計(jì)算題，往往是運(yùn)用四則運(yùn)算的運(yùn)算定律來(lái)對(duì)算式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之便于計(jì)算。一方面運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算具有一定的靈活性，對(duì)于數(shù)學(xué)能力要求較高，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的困難。另一方面，運(yùn)算定律的運(yùn)用也為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維靈活性提供了極好的機(jī)會(huì)。以往的簡(jiǎn)便計(jì)算練習(xí)題的講解，筆者也就是讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)運(yùn)用了哪些運(yùn)算定律，怎樣轉(zhuǎn)變的，思維要求往往千篇一律。但是在一次課前引入環(huán)節(jié)，筆者出了一道簡(jiǎn)便計(jì)算題，有一個(gè)學(xué)生的解題思路卻深深地吸引了我。

【案例片段2】新授前的引入思考題：簡(jiǎn)便計(jì)算490÷35。

490÷35 ? ? 490÷35

=490÷（7×5） =（490÷7）÷（35÷7）

=490÷7÷5 =70÷5

=70÷5 =14

對(duì)于此類(lèi)題，學(xué)生已經(jīng)不知道做過(guò)了多少遍，看見(jiàn)題目迅速動(dòng)筆計(jì)算：490÷35=490÷（7×5）=490÷7÷5=70÷5=14。然后他們自信滿(mǎn)滿(mǎn)地說(shuō)：“先將35拆成7×5，再去括號(hào)，應(yīng)用除法的性質(zhì)這里7和5之間的乘號(hào)要改寫(xiě)成除號(hào)！”本以為這題已經(jīng)練習(xí)完畢，可以翻篇進(jìn)入下一題了。此時(shí)，另一個(gè)學(xué)生緩緩地舉起了手說(shuō)：“老師，這題我還有別的方法！”筆者讓她上臺(tái)演示了自己的解法。她邊寫(xiě)邊說(shuō)：“這里可以用除法中商不變的規(guī)律，將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以7，也能將算式化簡(jiǎn)，從而進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算！算式是：490÷35=（490÷7）÷（35÷7）=70÷5=14。”這樣一道“典型的”簡(jiǎn)便計(jì)算題，也可以運(yùn)用商不變的規(guī)律，另辟蹊徑來(lái)作答。此時(shí)學(xué)生能夠跳出思維定式，不拘一格出新意，顯露出不俗的思維表現(xiàn)。

該學(xué)生的另解思維點(diǎn)醒了筆者，同時(shí)也在其他學(xué)生的心中留下了深深的烙印。受此啟發(fā)聯(lián)想，在接下來(lái)學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)，不少學(xué)生看到題目就已經(jīng)能聯(lián)想到，可以運(yùn)用商不變的規(guī)律來(lái)進(jìn)行計(jì)算。教師又進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上繼續(xù)類(lèi)推遷移：一是讓他們編出一些類(lèi)似于4.8÷1.8的小數(shù)類(lèi)除法題，嘗試應(yīng)用商不變規(guī)律;二是將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘一個(gè)整數(shù)比如5，使得除法算式變?yōu)檎麛?shù)除法題進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，讓學(xué)生完整理解商不變的規(guī)律，在除法計(jì)算中實(shí)現(xiàn)多層提升。這樣，學(xué)生步步遷移，拾級(jí)而上，學(xué)得非常輕松，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就能夠多途徑地應(yīng)用商不變規(guī)律從容應(yīng)對(duì)了！

三、幾何直觀：兒童“錯(cuò)誤”資源的真實(shí)捕捉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思想，預(yù)測(cè)結(jié)果?！睅缀沃庇^是一種十分重要的數(shù)學(xué)能力，借助于以形示數(shù)的幾何圖示直觀，實(shí)現(xiàn)直觀形象思維與抽象邏輯推理思維的結(jié)合，不但能夠促進(jìn)兒童思維的發(fā)展，還可以幫助學(xué)生更為便捷地解決一些涉及圖形的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【案例片段3】看圖計(jì)算圓外切正方形與內(nèi)接正方形的面積關(guān)系問(wèn)題。

在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《圓》這一單元教學(xué)中，在練習(xí)題中曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)這樣一道題目：

如圖1，已知大正方形的面積是40平方厘米，求小正方形的面積。

拿到這個(gè)題目，大部分學(xué)生無(wú)從下手，有幾個(gè)“尖子生”開(kāi)始動(dòng)筆了，他們?cè)O(shè)大正方形邊長(zhǎng)為d，圓的半徑為r，大正方形的邊長(zhǎng)就是圓的直徑，那么因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=40，那么可以得出d2=40，實(shí)際上就是2r×2r=40，也就是4r2=40，則r2=10。接著，連接對(duì)角線(xiàn)（如圖2）之后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，小正方形面積是由四個(gè)小三角形組成的，三角形的面積就是r2÷2，四個(gè)就是2r2，那么就能求出小正方形的面積是20平方厘米。

這個(gè)時(shí)候，班級(jí)里傳來(lái)一聲：“你圖畫(huà)錯(cuò)了！”筆者循聲看去，原來(lái)是我們班的一個(gè)小女孩把圖錯(cuò)畫(huà)成了圖3被人提出了糾正意見(jiàn)?！板e(cuò)畫(huà)”圖形的女生堅(jiān)持說(shuō)：“那我把這個(gè)圓連同里面的小正方形一起轉(zhuǎn)一下不就好了嘛？這樣小正方形的面積不就是大正方形面積的一半嘛？”這個(gè)旋轉(zhuǎn)的方法一出，學(xué)生更興奮了。在圖中，添上小正方形的對(duì)角線(xiàn)，就清楚地看出，組成小正方形的每一個(gè)小三角形，都是組成大正方形的每一個(gè)小正方形的一半！借助于旋轉(zhuǎn)45°，運(yùn)用幾何直觀，使得算式簡(jiǎn)單，方法易懂，真是另辟蹊徑，一目了然！

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生并不是知識(shí)信息被動(dòng)的接收者，而是積極主動(dòng)的構(gòu)建者。每個(gè)學(xué)生都是以自己頭腦中已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，用個(gè)人特有的思維方式建構(gòu)對(duì)事物的理解、進(jìn)行檢驗(yàn)和加以評(píng)議批判的。不同的人看到的是事物的不同方面。因此，即使是再好的教學(xué)設(shè)計(jì)，也不能保證每個(gè)學(xué)生的思維都不會(huì)超越教師預(yù)設(shè)的思維軌道。樹(shù)立建構(gòu)主義的教學(xué)觀，具備了尊重兒童、相信兒童主體作用的兒童觀，教師在遇上教學(xué)中兒童思維一時(shí)卡殼的現(xiàn)象時(shí)，應(yīng)耐心等待，給學(xué)生留足思考的時(shí)間和機(jī)會(huì)。

在課堂中，我們不妨放慢腳步，學(xué)會(huì)等待。等待不是無(wú)為，等待是學(xué)生成長(zhǎng)路上的相伴相隨，它是一種寬容;等待是一種睿智，是一種“慢”教育;等待是一種信任，是一種用心贊賞，是一種用愛(ài)和學(xué)生的同行。教師站在學(xué)生的角度，重視兒童的奇思妙想，耐心傾聽(tīng)學(xué)生們的表達(dá)，讓他們真正地成為課堂的主人。通過(guò)耐心的課堂等待，興許，精彩就能出現(xiàn)，兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展就會(huì)出現(xiàn)飛躍！

【參考文獻(xiàn)】

[1]薛娜. 淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的簡(jiǎn)便計(jì)算[J]. 金色年華（下）， 2013（11）.

[2]劉偉森. 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生的“意外”發(fā)言[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2003（10）.

[3] 張偉紅. 數(shù)學(xué)課堂，請(qǐng)耐心等待[J]. 新課程（小學(xué)）， 2012（12）.