用“拆解法”破解初中數(shù)學綜合題

曹愛東

摘 要：本研究提出的“拆解法”是將數(shù)學綜合題化難為易、化繁為簡、化整為零的一種行之有效的解題方法. 這種解題方法按照數(shù)學問題所含知識點之間的聯(lián)系，通過觀察、分析它們的結(jié)構(gòu)特征，把綜合題拆成幾個貼近學生認知水平、容易解決的小問題，通過各個破解，進而解決問題. 它更符合多數(shù)學生尤其是學困生的認知水平，更好地還原難題的本來面目，讓學生在拾級而上的解題過程中不斷收獲、不斷成長，消除攻克難題的畏懼心理，體會數(shù)學學習的樂趣.

關(guān)鍵詞：數(shù)學解題;難題拆解;綜合題破解

美國著名數(shù)學家哈爾莫斯（Halmos，1916-）提出“數(shù)學的真正組成部分是問題和解”，而要解決越來越復(fù)雜的數(shù)學問題，除必須掌握有關(guān)數(shù)學內(nèi)容的基本知識，加強必要的訓練外，還需要掌握一定的解題方法. “拆解法”是將初中數(shù)學綜合題化難為易、化繁為簡、化整為零的一種行之有效的解題方法.

1“拆解法”的內(nèi)涵

1.1 問題背景

如何解答數(shù)學綜合題，既是學生們在學習數(shù)學時深感頭痛、苦苦探求的課題，也是教師們在工作實踐中需要展開研究的課題[1].本研究者一直思索是否有一種相對應(yīng)用廣泛的通法可以解決所有綜合題？經(jīng)過多年的教學探索和實踐，現(xiàn)在有了結(jié)果.

1.2 理論依據(jù)

德國數(shù)學家希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）說過：“在討論數(shù)學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.” 可能在大多數(shù)場合，我們尋找一個問題的答案而未能成功的原因，就在于有一些比手頭問題更簡單、更容易的問題沒有解決，或者沒有完全解決. 這一切都有賴于要找出這些比較容易的問題，并能運用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們. 這種方法是克服數(shù)學困難的重要的杠桿之一.

著名美國數(shù)學家和數(shù)學教育家波利亞（George Polya，1887～1985）在《怎樣解題》一書中說：“如果你不能解決所提出的問題，那么可先去解決一個更特殊的問題或解決這個問題的一部分.”

我國數(shù)學家華羅庚（1910-1985）也強調(diào)：解題時先足夠地退，退到我們最易看清楚問題的地方，認透了、鉆深了，然后再上去[2].

基于以上了解，并根據(jù)方法論的基本原理和數(shù)學解題的基本思想、基本方法，我們可以使用“拆解法”將綜合題分成幾個小問題，按層次解決.

1.3 定義、適用原則及范圍

定義：所謂“拆解法”就是按照數(shù)學問題所含知識點之間的聯(lián)系，通過觀察、分析它們的結(jié)構(gòu)特征，把綜合題拆成幾個貼近學生認知水平、容易解決的小問題，化整為零，通過各個破解，進而解決問題的一種數(shù)學解題方法.

原則：在熟悉數(shù)學基礎(chǔ)知識和掌握基本解題方法的基礎(chǔ)上運用“拆解法”.

范圍：所有的中等難度及壓軸試題都適用，適用于所有層次學生的學習，特別是學困生.

1.4 目的、方法與意義

目的：有利于夯實雙基，提煉典型的思維方法，讓解題思路更具體、更清晰、更有條理性，使復(fù)雜問題簡單化，有效提高學生的綜合解題能力.

方法：把復(fù)雜問題分拆成若干個簡單的問題，然后各個擊破.

意義：操作性強、應(yīng)用范圍廣、適用學生多，尤其為學困生低起點、高輸出解決綜合題提供可能.

2 “拆解法”的應(yīng)用舉例

2.1 試題呈現(xiàn)

題目 （2019年北京中考第27題）已知∠AOB=30°，點H為射線OA上一定點，OH=3+1，點P為射線OB上一點，點M為線段OH上一動點，連接PM，滿足∠OMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到線段PN，連接ON.

（1）依題意補全圖1;

（2）求證：∠OMP=∠OPN;

（3）點M關(guān)于點H的對稱點為點Q，連接QP.寫出一個OP的值，使得對于任意的點M總有ON=QP，并證明.