運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想建立求解模型

馬紅

摘 要：數(shù)學(xué)建模教學(xué)自始至終貫穿于素質(zhì)教育的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷模型假設(shè)、模型構(gòu)建、模型求解、模型驗(yàn)證和模型應(yīng)用的系列活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生在生活中實(shí)實(shí)在在應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，能給予學(xué)生一種新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，從而真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);建模思想;求解方法

【中圖分類(lèi)號(hào)】G【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B

【文章編號(hào)】1008-1216（2020）02B-0052-02

目前，數(shù)學(xué)技術(shù)正逐漸向其他領(lǐng)域滲透和發(fā)展，數(shù)學(xué)建模思想的重要地位日益凸顯。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模思想引領(lǐng)下學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維和方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，并形成良好的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新理念。下面以一元一次方程模型為例，具體探討如何運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想建立和求解模型。

一、創(chuàng)設(shè)情境，模型分析

數(shù)學(xué)建模是讓學(xué)生親自動(dòng)手用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，是促進(jìn)學(xué)生“學(xué)以致用、知行合一”的有效途徑。數(shù)學(xué)建模的第一步就是提出問(wèn)題。相比于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)良好、方法已知和結(jié)論明確的數(shù)學(xué)習(xí)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題具有一定的障礙性，如條件不足、解題方法未知、結(jié)論不明確等，其難點(diǎn)在于復(fù)雜性和運(yùn)用的巧妙性上，問(wèn)題的解決能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)的形成。建構(gòu)主義理論認(rèn)為，情境的創(chuàng)設(shè)，更容易引發(fā)學(xué)生的思考和知識(shí)的獲得。

數(shù)學(xué)建模思想的難點(diǎn)在于，學(xué)生能否將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心。

（一）學(xué)情分析

在一元一次數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，本節(jié)課安排在學(xué)生學(xué)習(xí)了《從問(wèn)題到方程》和《解一元一次方程》知識(shí)后，雖然學(xué)生對(duì)一元一次方程及其解決知識(shí)已有一定基礎(chǔ)，但對(duì)于數(shù)學(xué)建模幾乎一無(wú)所知。為此，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想建立和求解模型解決實(shí)際問(wèn)題是本節(jié)課的關(guān)鍵。

（二）數(shù)學(xué)問(wèn)題情境

丟番圖是古希臘亞歷山大的著名數(shù)學(xué)家，也是代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一。在丟番圖時(shí)代，人們熱衷于對(duì)幾何的研究，認(rèn)為只有經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理論證的命題才是可靠的，所以將一切代數(shù)問(wèn)題，甚至簡(jiǎn)單的一次方程問(wèn)題都納入幾何學(xué)中。而丟番圖將代全解放了出來(lái)。對(duì)于丟番圖的生平，人們知之甚少，在丟番圖的墓志銘上記載著這樣一段：“他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無(wú)憂(yōu)無(wú)慮的少年，再過(guò)去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數(shù)的一半?！眮G番圖究竟活了多少歲呢？

在這一環(huán)節(jié)中，結(jié)合學(xué)生學(xué)情和教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)了問(wèn)題情境。真實(shí)的歷史背景和人物故事，更容易引起學(xué)生的好奇心和探究欲望。

二、建立模型，求解模型

建模是數(shù)學(xué)建模思想運(yùn)用的最關(guān)鍵步驟，需要學(xué)生在閱讀問(wèn)題材料、理解題意的基礎(chǔ)上，從中找到題目中所蘊(yùn)含的各類(lèi)變量和參數(shù)，并抽象出各個(gè)參數(shù)直觀的關(guān)系，建構(gòu)出符合題意的數(shù)學(xué)模型，比如幾何模型、函數(shù)模型、方程模型等等。建模的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，是建立在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。

提出情境問(wèn)題后，學(xué)生邊看幻燈片邊聽(tīng)教師講解。

師：你們從墓志銘上獲得了哪些信息？

生：他的童年是人生的六分之一，少年占十二分之一，再過(guò)七分之一結(jié)婚。五年后兒子出生，然而兒子只活到父親歲數(shù)一半就去世，四年后，丟番圖也去世。

師：那丟番圖的年齡是多少呢？誰(shuí)能用快速的方法算一下呢？

（由于部分學(xué)生已經(jīng)了解這個(gè)問(wèn)題的算術(shù)解法，所以學(xué)生很快得出答案。）

師：非常好，你們都聽(tīng)明白這位同學(xué)的做法了嗎？

在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景和要求進(jìn)行數(shù)據(jù)的整理和分析，并將丟番圖的年齡求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為算術(shù)模型、方程模型進(jìn)行求解，這就是數(shù)學(xué)的建模過(guò)程。

三、回到模型，檢驗(yàn)結(jié)果

在利用數(shù)學(xué)模型求出答案后，需要學(xué)生將求出的結(jié)果再次轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷模型是否實(shí)用、是否符合實(shí)際、是否合理。如果合乎實(shí)際情況，問(wèn)題得到解決;如果發(fā)現(xiàn)結(jié)果與現(xiàn)實(shí)情境不符合，那么需要學(xué)生再次建立模型，直到模型符合實(shí)際問(wèn)題，則可進(jìn)行運(yùn)用。

師：現(xiàn)在我們來(lái)回顧一下剛才的解題思路。首先說(shuō)道“年齡”，一般情況下都是按照正整數(shù)進(jìn)行計(jì)算，但在有些情況下，也會(huì)用非整數(shù)表示，比如，一歲半、兩歲半等。在用前兩種模型計(jì)算時(shí)，我們就先假設(shè)了丟番圖年齡為整數(shù)。同時(shí)，要求學(xué)生以最快的速度算出，學(xué)生很快用了算術(shù)模型中的份數(shù)法和公倍數(shù)法，由于公倍數(shù)的模型用的數(shù)字少，運(yùn)算簡(jiǎn)單，很快經(jīng)過(guò)口算就得出了答案7×12=84。對(duì)于這個(gè)結(jié)果你們是否還有疑問(wèn)呢？

四、模型應(yīng)用，總結(jié)反思

用所建立的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際生活問(wèn)題，讓學(xué)生深刻掌握數(shù)學(xué)模型的用處和益處，從而感受到數(shù)學(xué)建模思想的重要價(jià)值，并形成數(shù)學(xué)建模的一般方法，這就是建立數(shù)學(xué)模型的最終目的。

在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃螅o出簡(jiǎn)單的練習(xí)，讓學(xué)生自主體會(huì)模型的應(yīng)用。

練習(xí)1：已知一棵樹(shù)上有很多蘋(píng)果，其中，三分之一是綠色的，二分之一是紅色的，還有七顆是半紅半綠，那么樹(shù)上有多少顆蘋(píng)果呢？

練習(xí)2：已知一本書(shū)一共有五章，第一章頁(yè)數(shù)被撕掉了26頁(yè)，其剩余部分與第二章、第三章頁(yè)數(shù)占全書(shū)的，第四章、第五章頁(yè)數(shù)占，其他部分包括前言、目錄和參考文獻(xiàn)一共剩下46頁(yè)，問(wèn)這本書(shū)一共有多少頁(yè)？

練習(xí)1與例題非常相似，學(xué)生利用公倍數(shù)的模型很快求出答案，但容易忽略假設(shè)檢驗(yàn)，從而掉入題設(shè)的陷阱中.因此，此題設(shè)置的目的是讓學(xué)生意識(shí)到檢驗(yàn)的重要性。練習(xí)2，學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中，再次回顧一元一次方程模型的構(gòu)建、求解和檢驗(yàn)過(guò)程，加深學(xué)生記憶和理解。

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，“知識(shí)的應(yīng)用也不是簡(jiǎn)單地套用，而是根據(jù)具體情境的創(chuàng)造性組合，需要根據(jù)具體情境進(jìn)行選擇、變化”。數(shù)學(xué)建模正是在建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下以解決問(wèn)題為目標(biāo)的創(chuàng)新性活動(dòng)，有利于挖掘?qū)W生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系，提升學(xué)生高層次的問(wèn)題抽象和問(wèn)題解決能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]黎康麗，鄭燕玲.運(yùn)用反比例函數(shù)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017，（27）.

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