含參數(shù)的冪函數(shù)問題求解策略

◇ 山東 于苗苗

含有參數(shù)的冪函數(shù)問題是冪函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用的一類重要問題，正確求解含參數(shù)的冪函數(shù)問題關(guān)鍵是理解冪函數(shù)的概念、圖象特征以及性質(zhì)等.本文就舉例分析常見的幾種含參數(shù)的冪函數(shù)問題及其處理策略.

1 概念中的含參問題

判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)要把握住冪函數(shù)的概念.

分析本題需根據(jù)冪函數(shù)的概念建立含有相應(yīng)參數(shù)的不等式組,通過求解不等式組來達(dá)到確定參數(shù)的目的.

2 圖象中的含參問題

根據(jù)冪函數(shù)的圖象特征,關(guān)注冪函數(shù)的指數(shù)在α>1，α=1，0<α<1，α=0以及α<0時(shí)冪函數(shù)y=xα的圖象特征,建立相應(yīng)的關(guān)系式并結(jié)合其他相關(guān)的條件確定參數(shù)的取值情況.

分析依據(jù)冪函數(shù)的圖象特征來確定解析式,需構(gòu)建指數(shù)滿足的不等式解出相應(yīng)參數(shù)的取值范圍,再進(jìn)一步挖掘隱含條件合理分類確定.

解因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸都沒有公共點(diǎn),則n2-2n-3≤0,解得-1≤n≤3,又由于n∈Z,所以n=-1,0,1,2或3,又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對稱,則n2-2n-3為偶數(shù),當(dāng)n=-1時(shí),n2-2n-3=0為偶數(shù).

當(dāng)n=0時(shí),n2-2n-3=-3為奇數(shù);當(dāng)n=1時(shí),n2-2n-3=-4為偶數(shù);當(dāng)n=2時(shí),n2-2n-3=-3為奇數(shù);當(dāng)n=3時(shí),n2-2n-3=0為偶數(shù),所以n的值為-1,1或3.當(dāng)n=-1或3時(shí)，冪函數(shù)的解析式為y=x0(x≠0);當(dāng)n=1時(shí)，冪函數(shù)的解析式為y=x-4(x≠0).

3 性質(zhì)中的含參問題

在研究冪函數(shù)的性質(zhì)時(shí),要注意冪函數(shù)的定義域,在定義域取值的限制條件下,分析對應(yīng)的奇偶性與單調(diào)性等性質(zhì).

分析正確理解題目所隱含的條件m∈N+,并在此條件上對冪函數(shù)的性質(zhì)加以正確分析與判斷.

解由于冪函數(shù)的指數(shù)m2+m-1=m(m+1)-1,而m∈N+,從而可以判定m2+m-1是正奇數(shù),所以冪函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽．

由于冪指數(shù)m2+m-1是正奇數(shù),則f(-x)=(-x)m2+m-1=-xm2+m-1=-f(x),所以冪函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),同時(shí)冪函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增.

冪函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最基本的函數(shù)類型,也是高考必考內(nèi)容之一.涉及含參數(shù)的冪函數(shù)問題,要綜合冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì),以及函數(shù)的解析式、圖象與基本性質(zhì)等進(jìn)行求解,這類問題能很好地考查基礎(chǔ)知識與知識應(yīng)用能力.