型不變量為(e，3，1)的有限正則非交換p群的分類

張 慧 玲

(太原學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，太原 030001)

正則p群的概念和理論是Hall在1933年提出并發(fā)展的，在以后的半個(gè)世紀(jì)中，人們對(duì)這個(gè)理論做了不少有價(jià)值的工作，使它形成了p群理論中一個(gè)重要的研究方向.其中一個(gè)重要的理論就是Hall在文[1]中給出的基定理，從而正則p群的分類問題要比一般的p群分類相對(duì)容易.對(duì)于型不變量為(e1，…，ew)的正則p群，記w(G)=w，如果w(G)=1，則G循環(huán)，如果w(G)=2，則G是亞循環(huán)的，而亞循環(huán)p群的分類已知[2-3]，剩下最簡單的情況就是w(G)=3，即型不變量為(e1，e2，e3)的有限p群.文[4]分類了型不變量為(e，1，1)的正則p群，文[5]分類了型不變量為(e，2，1)的正則p群，本文將分類型不變量為(e，3，1)的正則p群，由于p7階群的分類已由文[6]完成，所以只需要考慮e≥4的情形，而型不變量為(4，3，1)的有限p群不一定亞交換，從而換位子計(jì)算非常復(fù)雜，故本文只給出p≥5時(shí)型不變量為(e，3，1)的正則p群的分類.由文[7]定理5.2.10可知，正則2群是交換群，而型不變量為(e，3，1)的有限交換p群只能是Cpe×Cp3×Cp，故本文只考慮型不變量為(e，3，1)的有限正則非交換p群，其中p≠2．

本文用到一些具體的符號(hào)，其中G′表示群G的導(dǎo)群，Z(G)表示群G的中心，expG表示群G的方次數(shù)，d(G)表示群G的秩，Φ(G)表示群G的Frattini子群，N≤G表示N是群G的子群，G/N表示群G關(guān)于群N的商群，o(b)表示b的階，〈a，b〉表示由a，b生成的群，i(G)=〈gpig∈G〉，Ωi(G)=〈g∈Ggpi=1〉，其它符號(hào)和術(shù)語均是標(biāo)準(zhǔn)的．

1 預(yù)備知識(shí)

定義3[7]設(shè)G是有限正則p群，令Wi(G)=1(G)Ωi(G)，0≤i≤e，稱群列G=We(G)≥We-1(G)≥…≥W0(G)=1(G)為G的W群列.在W群列中去掉重復(fù)項(xiàng)，再加細(xì)成G到1(G)間的一個(gè)主群列：G=L0(G)>L1(G)>…>Lw(G)=1(G)，稱為G的一個(gè)L群列．

定義4[7]設(shè)G是有限正則p群，expG=pe.對(duì)于1≤s≤e，令pws(G)=Ωs(G)/Ωs-1(G)|，稱(w1，w2，…，we)為G的w不變量，其中ws=ws(G).另外，對(duì)于任意的正整數(shù)j，1≤j≤w，令ej為在集合(w1，w2，…，we)中≥j的元素個(gè)數(shù)，這樣得到一組正整數(shù)e1≥e2≥…≥ew，稱它們?yōu)镚的e不變量或型不變量．

下面介紹本文所用到的一些結(jié)果.

引理1[7]設(shè)G是有限p群且s(G′)=1，則G是ps正則的當(dāng)且僅當(dāng)G是ps交換的．

引理2[7]設(shè)G是ps交換p群，則s(G)=Z(G)．

引理3[7]設(shè)G是有限正則p群，expG=pe，e≥0，則：

2)Ωi(G)=〈g∈G|gpi=1〉={g∈G|gpi=1}，其中0≤i≤e；

4)api=bpi?(ab-1)pi=1?(a-1b)pi=1，其中0≤i≤e；

5) [api，b]=1?[a，b]pi=1?[a，bpi]=1，其中0≤i≤e；

引理4[7]設(shè)G是有限正則p群，(L)為G的任一個(gè)L群列.對(duì)于1≤i≤w，取bi是Li-1(G)Li(G)中任一最小階元素，則(b1，…，bw)是G的一組唯一性基底．

2 型不變量為(e，3，1)的正則非交換p群

定理1設(shè)G是型不變量為(e，3，1)(e≥5)的正則非交換p群，則G屬于下述六類群之一：

Ⅰ 〈a，b，c|ape=bp3=cp=1，[b，a]=c，[c，a]=aipe-1bjp2，[c，b]=akpe-1bhp2，[b，ap]=[a，bp]=1〉，p≥3．

Ⅱ 〈a，b，c|ape=bp3=cp2=1，[b，a]=c，cp=aipe-1bjp2，[c，a]=akpe-1bhp2，[c，b]=alpe-1bmp2，[b，ap2]=[a，bp2]=1〉，p≥3，i、j模p不全為零.

Ⅲ 〈a，b，c|ape=bp3=cp3=1，[b，a]=c，cp=aipe-2bjp2，[c，a]=akpe-2bhp2，[c，b]=alpe-1，[b，ap3]=1〉，p≥3，(i，p)=1.

Ⅳ 〈a，b，c|ape=bp3=cp=1，[b，a]=aipe-1bjp2，[b，c]=akpe-1bhp2，[c，a]=alpe-1bmp2，[b，ap]=1〉，p≥3，i、j、k、h、l、m模p不全為零．

Ⅴ 〈a，b，c|ape=bp3=cp=1，[b，a]=aipe-2bjp，[b，c]=akpe-1bhp2，[c，a]=alpe-1bmp2，[b，ap2]=1〉，p≥3，i、j模p不全為零．

Ⅵ.〈a，b，c|ape=bp3=cp=1，[b，a]=aipe-3bjp，[b，c]=akpe-1bhp2，[c，a]=alpe-1bmp2，[b，ap3]=1，[b，ap2]=axpe-1〉，p≥3，(i，p)=1，(x，p)=1．

證明因?yàn)閣=3，所以d(G)=2或3.取G的L群列：G=L0(G)>L1(G)>L2(G)>L3(G) =1(G).下面就d(G)=2和d(G)=3分別討論.

1)d(G)=2

因?yàn)镚L2(G)|=p2，故G′≤L2(G)，又1(G)≤L2(G)，從而Φ(G)≤L2(G)，進(jìn)而有L2(G)=Φ(G).取a∈L0(G)L1(G)，b∈L1(G)L2(G)使o(a)=pe，o(b)=p3，則G=〈a，b〉，1(G)=〈ap，bp〉.令[b，a]=c，由引理3可知，o(c)=p，p2或p3.由且c∈1(G)知c∈L2(G)L3(G).斷言G3≤1(G)：令1(G)則若交換，則G′≤1(G)；若非交換，則內(nèi)交換，從而進(jìn)而得證．

下按o(c)=p，p2和p33種情況討論：

(1)若o(c)=p，由引理4知，(a，b，c)為G的U-基，由G′=〈cg|g∈G〉且G′正則知expG′=p，從而expG3≤p，又G3≤1(G)=〈ap，bp〉，于是G3≤〈ape-1，bp2〉.由此可得[c，a]=aipe-1bjp2，[c，b]=akpe-1bhp2.因?yàn)閛(c)=p，由引理3知[b，ap]=[a，bp]=1，故G屬于第Ⅰ類群.

(2)若o(c)=p2，因?yàn)閏p∈1(G′)≤1(G)=〈ap，bp〉，從而cp=aipe-1bjp2，又expG′=p2，進(jìn)而由引理1知G是p2交換群，由引理2知2(G)=〈ap2，bp2〉≤Z(G)，于是cp∈Z(G)，expG3≤p，又G3≤1(G)=〈ap，bp〉，從而G3≤〈ape-1，bp2〉，由此可得[c，a]=akpe-1bhp2，[c，b]=alpe-1bmp2.因?yàn)閛(c)=p2，從而i、j模p不全為零且由引理3知[b，ap2]=[a，bp2]=1.故G屬于第Ⅱ類群．

(3)若o(c)=p3，首先證明1(G)是p交換的.由G正則知1(G)正則，又bp3=1，由引理3知[bp，ap]p=1，于是有exp1(G′)=p，由引理1知1(G)是p交換的.再證cp=aipe-2bjp2.因?yàn)閏p∈1(G′)≤1(G)，因此有cp=aipbjp.由1(G)是p交換的，可得cp3=(aipbjp)p2=aip3=1.從而pe-3|i.又cp2∈2(G′)≤2(L2(G))=3(G)=〈ap3〉，于是有cp=aipe-2bjp2.又o(c)=p3，故(i，p)=1.最后證明G3≤〈ape-2，bp2〉.因?yàn)閑xp1(G′)=p3，由引理1知G是p3交換的，再由引理2知3(G)=〈ap3〉≤Z(G)，進(jìn)而cp2∈Z(G)，于是有expG3≤p2.令.容易驗(yàn)證為型不變量為(e-1，3，1)的正則p群.與o(c)=p2的論證類似，可知，從而G3≤〈ape-2，bp2，cp2〉=〈ape-2，bp2〉，設(shè)[c，a]=akpe-2bhp2，[c，b]=alpe-1bmp2.容易看出G′≤〈ape-2，bp2，c〉，即G′交換.由此可得[c，a，b]=[c，b，a]=1，進(jìn)而有m≡0(modp).由e≥5，ap3∈Z(G)知ape-2∈Z(G)，從而[cp，b]=1，進(jìn)而[cp，b]=1，于是有l(wèi)≡0(modp).因?yàn)閛(c)=p3，由引理3知，[b，ap3]=1.故G屬于第Ⅲ類群．

2)d(G)=3

由引理4知，存在a∈L0(G)L1(G)，b∈L1(G)L2(G)，c∈L2(G)L3(G)使o(a)=pe，o(b)=p3，o(c)=p，(a，b，c)為G的U-基.因?yàn)棣?G)=1(G)=〈ap，bp〉，所以G′≤〈ap，bp〉.又G′=〈[b，a]g，[b，c]g，[c，a]g|g∈G〉，o(b)=p3，由引理3知expG′≤p3．

下按expG′=p，p2和p33種情況討論：

(1)若expG′=p，則G′≤〈ape-1，bp2〉.設(shè)[b，a]=aipe-1bjp2，[b，c]=akpe-1bhp2，[c，a]=alpe-1bmp2，于是i、j、k、h、l、m模p不全為零.再由引理3知[b，ap]=1.故G屬于第Ⅳ類群

(2)若expG′=p2，則G′≤〈ape-2，bp〉，又o(c)=p，由引理3知[b，c]p=[c，a]p=1.設(shè)[b，a]=aipe-2bjp，[b，c]=akpe-1bhp2，[c，a]=alpe-1bmp2，于是i、j模p不全為零.因?yàn)閑xpG′=p2，由引理3知[b，ap2]=1.故G屬于第Ⅴ類群．

(3)若expG′=p3，則G′≤〈ape-3，bp〉，又o(c)=p，由引理3知[b，c]p=[c，a]p=1.設(shè)[b，a]=aipe-3bjp，[b，c]=akpe-1bhp2，[c，a]=alpe-1bmp2，于是(i，p)=1.又expG′=p3，由引理3知[b，ap3]=1.因?yàn)閇b，ap2]∈[G，2(G)]=3(G′)≤3(G)=〈ap3〉 ，由引理3知[b，ap2]p=1，可設(shè)[b，ap2]=axpe-1，(x，p)=1，故G屬于第Ⅵ類群．