時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Lie對(duì)稱(chēng)性

彭 姣，朱建青

(蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

1961年Lur’e給出完整力學(xué)系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的方程，根據(jù)分析力學(xué)方法給出了相對(duì)于非慣性系各類(lèi)動(dòng)力學(xué)方程，同時(shí)對(duì)相對(duì)于非慣性系系統(tǒng)的Noether對(duì)稱(chēng)性[1-3]等進(jìn)行了相關(guān)探究.1979年，Lutzky在力學(xué)系統(tǒng)上從全新的角度來(lái)探究Lie對(duì)稱(chēng)性和守恒量[4-7]，緊接著這一研究方法被迅速傳播，取得了很多顯著成果[8-10].同時(shí)，關(guān)于相對(duì)于非慣性系Lie對(duì)稱(chēng)性的研究，已有了許多工作，梅鳳翔在分析力學(xué)專(zhuān)題[11]中研究載體與被載體相對(duì)于非慣性系的運(yùn)動(dòng)微分方程.他又在非Chetaev型非完整系統(tǒng)[12]中建立了相對(duì)于非慣性系的Lie理論.岳楠和張毅則對(duì)關(guān)于相對(duì)于非慣性系的Lie對(duì)稱(chēng)性及其逆問(wèn)題在事件空間中進(jìn)行了研究[13].

1988年，德國(guó)學(xué)者Stefan Hilger在他的博士論文中第一次提到時(shí)間尺度理論[14]，是為了同時(shí)解決連續(xù)和離散分析并且將它們的理論擴(kuò)展到“介于兩者之間”的案例[15].近年來(lái)時(shí)間尺度理論上關(guān)于數(shù)學(xué)研究應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)、工程學(xué)等科學(xué)分支，同時(shí)關(guān)于對(duì)稱(chēng)性與守恒量的探究在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中也得到了一些重要成果[16-25].2012年，蔡平平運(yùn)用時(shí)間尺度理論對(duì)約束力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行了詳細(xì)的研究，給出了計(jì)算約束力學(xué)系統(tǒng)第一積分方法[26].然而關(guān)于時(shí)間尺度上相對(duì)于非慣性系Lie對(duì)稱(chēng)性研究還較少，本文基于時(shí)間尺度理論研究非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Lie對(duì)稱(chēng)性及守恒量.

1 時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的運(yùn)動(dòng)方程

若相對(duì)于非慣性系的運(yùn)動(dòng)受g個(gè)理想雙面非完整約束

(1)

(2)

時(shí)間尺度上相對(duì)于非慣性系系統(tǒng)的Hamilton原理為

(3)

(4)

由(2)式，則原理(3)可表為

其中γβ為L(zhǎng)agrange乘子.

根據(jù)Dubois-Reymond引理，可得

(5)

對(duì)上式求Δ導(dǎo)數(shù)可得

(j=1，2，…，n;β=1，2，…，g)，

(6)

方程(6)稱(chēng)為時(shí)間尺度上Lagrange方程非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的運(yùn)動(dòng)方程.

假設(shè)系統(tǒng)非奇異，即

(7)

由方程(1)和(6)可求出γβ的函數(shù)，并將其代入方程(6)可得

(j=1，2，…，n)，

(8)

其中，

(9)

通過(guò)(8)式可進(jìn)一步求解出所有廣義加速度

(10)

2 時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Lie對(duì)稱(chēng)性與守恒量

引入無(wú)限小變換

t*=t+εζ0(t，κ)，

(11)

取生成元向量[28]

(12)

它的一次擴(kuò)展

(13)

以及它的二次擴(kuò)展

(14)

即方程(10)在時(shí)間尺度上的無(wú)限小變換(11)下的不變性可表為

(15)

進(jìn)而歸結(jié)為如下確定方程

(16)

定義1對(duì)于符合確定方程(16)的生成元ζ0，ζj，則對(duì)稱(chēng)性為時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Lie對(duì)稱(chēng)性.

約束方程(1)由(11)式性質(zhì)可得限制方程

Ζ(1)(ψβ(t，κσ，κΔ))=0 (β=1，2，…，g).

(17)

考慮到方程(2)對(duì)ζ0，ζj的限制，得到附加限制方程

(18)

定義2對(duì)于同時(shí)符合確定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)的ζ0，ζj，則對(duì)稱(chēng)性為時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的強(qiáng)Lie對(duì)稱(chēng)性.

定理1如果生成元ζ0，ζj在確定方程(16)中成立，并且存在符合結(jié)構(gòu)方程

(19)

的規(guī)范函數(shù)R=R(t，κσ，κΔ)，則時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的守恒量

(20)

證明由文獻(xiàn)[29]可推得時(shí)間尺度上公式如下

(21)

定理2如果生成元ζ0，ζj在確定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)中同時(shí)成立，并且存在符合結(jié)構(gòu)方程(19)的規(guī)范函數(shù)R=R(t，κσ，κΔ)，則時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系存在形如(20)的強(qiáng)Lie對(duì)稱(chēng)性守恒量.

(22)

相應(yīng)式(20)為經(jīng)典的非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Lie對(duì)稱(chēng)性守恒量

(23)

3 算例

設(shè)時(shí)間尺度

(24)

相對(duì)于非慣性系的Lagrange函數(shù)為

(25)

Τ3=0 (j=1，2，3)，

(26)

其中載體以勻角速度ω繞某鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)，被載系統(tǒng)為一單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn).所受非完整約束為

(27)

研究系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量.

首先，由(6)式可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(28)

由方程(27)、(28)求得約束乘子

(29)

將(29)式代入方程(28)可得

(30)

其次，根據(jù)(16)式建立Lie對(duì)稱(chēng)性的確定方程可得一組解為

ζ0=1，ζ1=ζ2=ζ3=0.

(31)

然后，判斷是否是強(qiáng)Lie對(duì)稱(chēng)性，由(17)式和(18)式可得

(32)

(33)

顯然，生成元(31)滿足(32)式和(33)式，于是它相應(yīng)為該系統(tǒng)的強(qiáng)Lie對(duì)稱(chēng)性.

最后，由結(jié)構(gòu)方程求解規(guī)范函數(shù)及其相應(yīng)守恒量，將(31)式代入(19)式可得

R=0，

根據(jù)式(20)可得時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的守恒量

4 結(jié)論

本文基于Hamilton原理和Dubois-Reymond引理，研究了時(shí)間尺度上Chetaev型非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Lie對(duì)稱(chēng)性與守恒量.通過(guò)不變性原理推導(dǎo)出了確定方程和限制方程，進(jìn)而得出了結(jié)構(gòu)方程和相應(yīng)的守恒量，并通過(guò)算例說(shuō)明了結(jié)果的應(yīng)用，其思想方法可推廣研究到相對(duì)于非慣性系的非Chetaev型非完整力學(xué)系統(tǒng).