用指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式x=eln x簡(jiǎn)便解題*

甘志國(guó)

(北京市豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué)，100071)

以函數(shù)為背景的問題是中學(xué)數(shù)學(xué)常見的問題,其中有一類含指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合題，按常規(guī)方法處理時(shí)過程比較繁瑣,成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問題.筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),其中有不少導(dǎo)數(shù)問題用恒等式x=eln x來求解很簡(jiǎn)潔.

一、求參數(shù)取值范圍問題

評(píng)注本題利用指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式輕松得到最小值,避免了導(dǎo)數(shù)法求最值帶來的繁瑣計(jì)算,使解題過程分外簡(jiǎn)潔.

例2已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0).若關(guān)于x的不等式f(x)>0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )

(A) (0,e2] (B) (0,e2)

(C) [1,e2] (D) (1,e2)

令g(t)=et+t(t∈R),則g(t)為單調(diào)增函數(shù),題設(shè)不等式等價(jià)于x-lna>ln(x-1),即x-ln(x-1)>lna.

綜上,選B.

評(píng)注本題無法分離參數(shù),f′(x)的零點(diǎn)為虛零點(diǎn),正面處理較困難.轉(zhuǎn)換視角,對(duì)f(x)>0利用指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式變形,方便了構(gòu)造和利用輔助函數(shù)解決問題,降低了問題求解難度.

解當(dāng)0

二、不等式證明問題

例4(2018年全國(guó)高考題) 已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解(1)略.

由導(dǎo)數(shù)法易證明x≥ln(ex)=lnx+1成立,于是f(x)≥0成立.得證.

例5已知函數(shù)f(x)=ax-lnx.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

f(x)≥2ax-xeax-1.

解(1)略.

(2)f(x)≥2ax-xeax-1等價(jià)于ax-lnx≥2ax-xeax-1,即xeax-1-lnx≥ax,即xeax-1≥ax+lnx,亦即eax+ln x-1≥ax+lnx.可令t=ax+lnx,只要證明et-1≥t,即證et≥et(t∈R).

設(shè)函數(shù)h(t)=et-et(t∈R),則h′(t)=et-e,易見h(t)在(-∞,1)單調(diào)減,在(1,+∞)單調(diào)增,故h(t)≥h(1)=0,即et≥et(t∈R).

綜上,f(x)≥2ax-xeax-1.

三、求值問題

例6若y=x2ex-2+lnx-2=0,則e2-x+lnx=______.

故e2-x+lnx=eln x+lnx=x+lnx=2.

評(píng)注本題的題設(shè)條件為超越方程,無法直接求解.上述解法利用恒等式及函數(shù)的單調(diào)性挖掘隱含條件,使已知條件簡(jiǎn)化,揭示了問題本質(zhì),有效化解了直接求解的難度.

例7曲線y=xe2x-lnx-1的過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線的斜率為______.

①

下面用三種方法求切線的斜率.

評(píng)注本題第(2)問體現(xiàn)了恒等式的應(yīng)用具有靈活性,需要我們根據(jù)問題特征靈活選擇解決問題的角度.