淺談抽象函數(shù)競賽題的求解策略

方志平

(廣東省惠州市第一中學(xué), 516007)

抽象函數(shù)由于其外在形式高度抽象與內(nèi)在性質(zhì)隱而不露的特征，因而能較好地考查學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力,從而成為數(shù)學(xué)競賽命題的熱點素材.求解此類問題需要將抽象化與具體化結(jié)合起來，以化解函數(shù)抽象性帶來的認(rèn)知障礙.下面介紹求解的若干策略，供大家參考.

一、聚焦函數(shù)的基本性質(zhì)

1.利用函數(shù)的單調(diào)性

例1(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧省預(yù)賽題)設(shè)函數(shù)f(x)是(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù),且對任意x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6.若x0是方程f(x)-f′(x)=4的一個解,且x0∈(a-1,a)(a∈N*),則a的值為( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解由f(x)單調(diào)性和f[f(x)-log2x]=6知,存在唯一的實數(shù)c,使得f(x)-log2x=c,此式中再令x=c,得f(c)-log2c=c,結(jié)合f(c)=6,得log2c=6-c, 故c=4.

評注利用f(x)的單調(diào)性得到f(x)-log2x=c(常數(shù))是求解本題的一個切入點.

例2(2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南省預(yù)賽題)設(shè)f(x) 是定義在(-∞,0)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x), 2f(x)+xf′(x)>x2, 則不等式(x+2 017)2f(x+2 017)-f(-1)>0 的解集為______.

解取函數(shù)F(x)=x2f(x),則F′ (x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)](-1)2f(-1),即F(x+2 017)>F(-1), 于是x+2 017<-1, 得不等式的解集為(-∞，-2 018).

評注由條件不等式構(gòu)造函數(shù)F(x)=x2f(x),再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，將所求不等式合適變形是求解的關(guān)鍵點.

2.運(yùn)用函數(shù)的奇偶性

例3(2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆維吾爾自治區(qū)預(yù)賽題)已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)減奇函數(shù),若m、n滿足

則5m-n的取值范圍是______.

于是5m-n=2(m+n)+3(m-n)≥7,即5m-n的取值范圍是[7,+∞).

3.挖掘函數(shù)的周期性

解取x=n,y=1, 得f(n)=f(n+1)+f(n-1);同理，有f(n+1)=f(n+2)+f(n),聯(lián)立得f(n+2)=-f(n-1), 故f(n+3)=-f(n), 得f(n+6)=-f(n+3)=f(n),所以函數(shù)f(x)以6為周期.從而有f(2 019)=f(336×6+3)=f(3).

評注要求f(2 019)的值,在f(x)的解析式不易獲得的前提下,通常利用函數(shù)f(x)的周期性解題.

二、妙用函數(shù)圖象的對稱性

例5(2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅省預(yù)賽試題)已知函數(shù)f(x)=x3+sinx(x∈R),函數(shù)g(x)滿足g(x)+g(2-x)=0(x∈R),若函數(shù)h(x)=f(x-1)-g(x)恰有2 019個零點,則所有這些零點之和為______．

解顯然f(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,從而f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱.又由g(x)+g(2-x)=0可知g(x)的圖象也關(guān)于點(1,0)對稱,于是函數(shù)h(x)=f(x-1)-g(x)的圖象也關(guān)于點(1,0)對稱,可得題設(shè)中的2019個零點關(guān)于點(1,0)對稱.

由h(1)=f(0)-g(1)=0,得x=1是函數(shù)h(x)的一個零點;其余2 018個零點首尾依次結(jié)合,兩兩關(guān)于點(1,0)對稱,從而這2 018個零點之和為2 018, 故所有這些零點之和為2 019.

評注由f(x-1)和g(x)圖象均是關(guān)于點(1,0)成中心對稱,得函數(shù)h(x)圖象是一個中心對稱圖形;又觀察易知h(x)有一個特殊零點x=1,看清了這一點,問題輕松獲解.

三、賦值法

解令x=y=0,易得f(0)=0.

令x=-1,y=1,得f(1)+f(-1)=6;又f(-1)f(1)≥9,故[6-f(1)]f(1)≥9,即[f(1)-3]2≤0,得f(1)=3.

例7(2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅省預(yù)賽試題)設(shè)f(x)是定義在整數(shù)集上的函數(shù),滿足條件:①f(1)=1,f(2)=0;②f(x+y)=f(x)f(1-y)+f(1-x)f(y)對任意的x、y恒成立, 則f(2 015)=______.

解 令x=y=0,得f(0)=2f(0)f(1), 又f(1)=1, 則f(0)=0.再令y=1,得f(x+1)=f(1-x),得f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱.

令y=-x,得f(0)=f(x)f(1+x)+f(1-x)f(-x), 即f(-x)=-f(x), 故f(x)為奇函數(shù).結(jié)合f(x+1)=f(1-x),得f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x), 即f(x)以4為周期.

綜上,f(2 015)=f(3)=-f(3)=-1.

四、借用函數(shù)模型

評注本題的函數(shù)方程很容易使人聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)模型,由于本題是填空題,用特殊法可使問題巧妙獲解.

五、采用遞推關(guān)系求解

評注在與整數(shù)、數(shù)列有關(guān)的問題或求值問題中,通過賦值得到遞推關(guān)系式常常能夠突破求解瓶頸.

總之，在求解抽象函數(shù)問題時,我們要善于觀察題目的結(jié)構(gòu)特征充分利用題目提供的信息 抓住關(guān)鍵點,找準(zhǔn)切入點,分析問題與條件的關(guān)系,就可以撥開迷霧.本文給出的幾種方法,僅僅是高中數(shù)學(xué)競賽中求解抽象函數(shù)問題的冰山一角，這里略作介紹，以求拋磚引玉.