正交各向異性功能梯度微板的自由振動行為

(中國石油大學(xué)(華東)儲運與建筑工程學(xué)院，山東青島，266580)

功能梯度材料是材料組分或幾何尺寸沿結(jié)構(gòu)特定方向成連續(xù)梯度變化的一種新型功能材料，它具有消除應(yīng)力集中、減小殘余應(yīng)力、增強連接強度、減小裂紋驅(qū)動力等許多普通均質(zhì)材料不具備的優(yōu)異性能[1-3]。隨著微電子科技的發(fā)展，功能梯度微結(jié)構(gòu)的應(yīng)用更加廣泛，眾多的微觀實驗發(fā)現(xiàn)并證實，當(dāng)金屬或復(fù)合材料構(gòu)件的特征尺寸減小到一定范圍時，其力學(xué)性能隨著特征尺寸的改變而變化，表現(xiàn)出較強的尺度效應(yīng)[4-5]。為對該現(xiàn)象作出合理解釋且方便建模，許多學(xué)者在彈性體的本構(gòu)關(guān)系中引入與微觀結(jié)構(gòu)相關(guān)的特征尺度參數(shù)，提出偶應(yīng)力理論用以描述材料力學(xué)行為的尺度依賴性。YANG等[6]在偶應(yīng)力理論基礎(chǔ)上，提出了修正偶應(yīng)力理論，該理論只引入1個長度尺度參數(shù)，簡化了建模過程，更便于實際應(yīng)用。ASGHARI等[7]基于修正偶應(yīng)力理論在線彈性范圍建立了能夠描述功能梯度Timoshenko微梁彎曲及自由振動尺度效應(yīng)的力學(xué)模型。KE等[8]基于修正偶應(yīng)力理論分析了功能梯度Timoshenko微梁的動態(tài)穩(wěn)定性問題。在修正偶應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上，REDDY[9]利用Euler-Bernoulli和Timoshenko梁理論，研究了功能梯度微梁的彎曲，自由振動和屈曲行為。DEHROUYEH-SEMNANI等[10]基于修正偶應(yīng)力理論，通過參數(shù)分析研究了微尺度梁剪切變形的尺度效應(yīng)，并對微尺度梁的靜彎曲、屈曲和自由振動等力學(xué)問題進行了研究。DAI等[11]基于修正偶應(yīng)力理論，考慮大變形和尺度效應(yīng)，提出一種非線性模型描述懸臂微梁的共振特性。除此之外，許多專家學(xué)者對微板的力學(xué)行為的尺度效應(yīng)進行了理論研究。TSIATAS[12]基于修正偶應(yīng)力理論和Kirchhoff板理論，建立了能夠描述不同邊界條件下任意邊界形狀微板靜彎曲行為尺度效應(yīng)的力學(xué)模型。KE等[13-14]基于修正偶應(yīng)力理論，研究了不同邊界條件下Kirchhoff和Mindlin微板自由振動行為。THAI等[15]基于3種不同板理論對功能梯度微板的彎曲，自由振動以及屈曲行為進行分析并探討了材料尺度參數(shù)對板彎曲撓度，自振頻率以及屈曲載荷的影響。LOU等[16]考慮幾何非線性，基于修正偶應(yīng)力理論提出一種能夠描述功能梯度微板尺度效應(yīng)的統(tǒng)一高階板理論，并利用哈密頓原理推導(dǎo)了微板的控制方程和邊界條件。隨著材料科學(xué)的發(fā)展和實際工程需要，各向異性的功能梯度微結(jié)構(gòu)的應(yīng)用愈發(fā)廣泛，針對其力學(xué)行為研究也得到青睞。CHEN等[17]將偶應(yīng)力理論推廣到各向異性材料，提出了一種新修正偶應(yīng)力理論，并基于該理論開展了一系列有關(guān)層合梁板結(jié)構(gòu)彎曲、振動和穩(wěn)定等問題的研究[18-19]。賀丹等[20-21]]基于新修正偶應(yīng)力理論，對平面正交各向異性功能梯度微梁和斜交鋪設(shè)層合Kirchhoff微板的彎曲行為的尺度效應(yīng)進行研究。YANG等[22]基于新修正偶應(yīng)力理論和虛功原理研究了正交各向異性功能梯度Kirchhoff微板在彎曲變形過程中撓度和正應(yīng)力的尺度效應(yīng)。上述研究均假設(shè)材料參數(shù)以冪指數(shù)形式變化，定性分析了各向異性和指數(shù)變化對微結(jié)構(gòu)撓度、應(yīng)力和固有頻率尺度效應(yīng)的影響。本文作者基于新修正偶應(yīng)力理論和Kirchhoff板理論，定量研究材料參數(shù)沿板厚方向呈正弦梯度變化的正交各向異性簡支微板的彎曲和自由振動行為，重點考察各向異性和功能梯度參數(shù)對微板撓度、偶應(yīng)力和固有頻率尺度效應(yīng)的影響。本研究可為微電子機械系統(tǒng)(MEMS)中微結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計和力學(xué)分析提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)參考。

1 新修正偶應(yīng)力理論

CHEN等[17-19]提出新修正偶應(yīng)力理論，并給出了彈性體應(yīng)變分量εij和曲率分量χij的表達式為：

式中：ui為平動位移分量；

ωi為轉(zhuǎn)動位移分量；eijk為置換符號。

各向異性彈性體的本構(gòu)關(guān)系可以描述為：

式中：Cijkl為彈性常數(shù)分量；σij為應(yīng)力分量；mij為偶應(yīng)力分量；Gi和Gj分別為2個正交方向的剪切模量；li和lj分別為2個正交方向的材料尺度參數(shù)。

2 微板動力學(xué)模型建立

2.1 基本變量描述

圖1所示為正交各向異性微板示意圖，其中：a，b和h分別為微板的長度、寬度和厚度；xy平面與微板的中面重合。根據(jù)Kirchhoff板假設(shè)，板的位移場為

式中：u，v和w分別為板內(nèi)任意一點沿x，y和z方向上的位移分量；u0和v0分別為變形后板中面沿x和y方向上的位移；t為時間。將位移分量表達式(6)代入幾何方程式(1)，得到微板的非零應(yīng)變分量為

將位移分量表達式(6)和轉(zhuǎn)動位移表達式(3)代入曲率分量表達式(2)，得到微板的非零曲率分量：

由式(4)可知本構(gòu)關(guān)系可以表示為

圖1 正交各向異性微板示意圖Fig.1 Schematic diagram of orthotropicmicroplate

式中：

和

分別為應(yīng)力列向量和應(yīng)變列向量。剛度矩陣K中非零元素為

式中：μxy和μyx分別為材料不同方向的泊松比；Ex和Ey分別為材料沿x和y方向的彈性模量；Gxy，Gxz和Gyz為材料不同方向的剪切模量；lx和ly分別為材料沿x和y方向的特征尺度參數(shù)。

2.2 動力學(xué)微分方程

哈密頓原理亦稱最小作用原理，表述為：受完整約束的有勢系，在位形空間中，相同時間通過兩位形點間的一切可能運動曲線中，真實運動曲線使作用量取極小值，即作用量的一階變分為零，表示為

式中：在時間間隔[t1,t2]內(nèi)微板虛動能為

式中：ρ為密度；u為板的平動位移；V為體積；Ω為中性面面積；?Ω為其邊界；系數(shù)h1，h2，h3和h4分別為

式中：nx和ny分別為中面邊界外法線與x和y軸的夾角余弦，

在時間間隔[t1,t2]內(nèi)微板虛應(yīng)變能為

式中：

面內(nèi)合力與合力矩以及合偶應(yīng)力表達式為

令

式中：n和s分別為板邊界的法向和切向。將式(18)代入式(16)得

式中：q7=nxp6+nyp7；q8=-nyp6+nxp7。對于矩形板，邊界為直線，所以，?w?n=?w?s，對式(19)進行分部積分可得

式中：[q8]i為q8在i個轉(zhuǎn)角處的跳躍值。

在時間間隔[t1,t2]內(nèi)外力虛功為

式中：ωx和ωy為轉(zhuǎn)動位移分量；fT為體力；-fT為表面力。

將式(23)代入式(21)并進行分部積分，化簡得

將式(13)，(20)和(24)代入式(12)，得

式中：S1=h1-p1+fx；S2=h2-p2+fy；S3=h3-為轉(zhuǎn)角；wi為撓度在第i個轉(zhuǎn)角處的跳躍值。對任意的δu0，δv0和δw，式(25)均成立，可得運動控制方程：

和相應(yīng)的邊界條件為

將式(6)～(9)代入式(26)，得到位移表示的微分控制方程：

式中：

對于微板在橫向分布載荷q(x,y)作用下的靜態(tài)彎曲行為，忽略式(28)中位移的時間導(dǎo)數(shù)項，可得微板靜力學(xué)平衡方程為

3 微板動力學(xué)模型求解

以四邊簡支微板為例，如圖2所示，對正交各向異性功能梯度微板彎曲撓度和自由振動頻率的尺度效應(yīng)進行研究。其材料參數(shù)Ex，Ey，Gxy，Gxz，Gyz，ρ，lx和ly均沿板厚方向呈正弦梯度變化，梯度函數(shù)為

式中：上標(biāo)s表示微板上下表面；上標(biāo)c表示微板中面，

α為定義的量綱一的功能梯度參數(shù)，當(dāng)α=1時，材料模型退化為正交各向異性均質(zhì)模型。

簡支板的邊界條件為

圖2 正交各向異性功能梯度簡支微板示意圖Fig.2 Schematic diagram of orthotropic functionally graded simply supportedmicroplate

3.1 微板位移求解

工程中任何形式的載荷均可描述為三角級數(shù)的形式，為了描述微板結(jié)構(gòu)所承受實際載荷的復(fù)雜情況，設(shè)作用于微板的載荷函數(shù)關(guān)系式為

設(shè)滿足式(33)的位移勢函數(shù)為

式中：

將位移表達式(35)代入幾何方程(7)和本構(gòu)方程(9)，可得微板偶應(yīng)力表達式為

為了便于分析，定義量綱一的坐標(biāo)，量綱一撓度和量綱一偶應(yīng)力的表達式為

3.2 微板固有頻率求解

基于Navier法，將滿足微板邊界條件式(33)的位移函數(shù)描述為雙三角級數(shù)解的形式：

式中：p為板的固有頻率；i為虛數(shù)單位，i2=-1。為待定系數(shù)。將式(39)代入位移表示的運動控制方程式(28)得

式中：D為剛度矩陣，矩陣中各元素表示為

M為板的質(zhì)量矩陣，矩陣中各元素表示為

由于待定系數(shù)的取值具有任意性，故求固有頻率p可以轉(zhuǎn)化為求剛度矩陣對質(zhì)量矩陣的廣義特征值。為了便于分析，將微板量綱一固有頻率的表達式定義為

4 數(shù)值結(jié)果與討論

據(jù)上述力學(xué)模型，對正交各向異性功能梯度簡支微板前三階固有頻率以及其在雙向正弦載荷作用下的撓度和偶應(yīng)力進行數(shù)值計算。其材料參數(shù)如表1所示，載荷參數(shù)q0=1 000MPa，微板的結(jié)構(gòu)尺寸為h=0.025mm，a/h=10，a=b。

表1 正交各向異性功能梯度微板材料參數(shù)[23]Table1 Materialparametersof orthotropic functionally gradientmicroplate[23]

4.1 撓度分析

圖3所示為h/lx取值不同時，微板在y=b/2處截面的量綱一的撓度沿x方向的分布曲線。從圖3可以看出：微板沿x方向的撓曲線均呈正弦分布，且最大撓度出現(xiàn)在微板中間位置。

圖3 不同h/lx下微板沿x方向的量綱一的撓度w′分布Fig.3 Dimensionlessdeflection ofmicroplatewith different h/lx

圖4(a)所示為不同功能梯度參數(shù)下，微板中心量綱一的撓度隨h/lx的變化曲線。從圖4(a)可以看出：當(dāng)h/lx小于5時，微板量綱一的撓度較小，微板撓度具有明顯的尺度效應(yīng)；隨著h/lx增大，微板量綱一的撓度逐漸增大，但增大程度逐漸減緩，表明h/lx對微板沿x方向撓曲線的影響逐漸減弱；當(dāng)h/lx大于10時，微板最大量綱一的撓度基本保持恒定，微板撓度的尺度效應(yīng)消失。

圖4 不同功能梯度參數(shù)下微板最大量綱一的撓度w′變化曲線Fig.4 Maximum dimensionless deflection ofmicroplate with different functionally graded parameters

圖4(b)所示為不同功能梯度參數(shù)下，微板中心最大量綱一的撓度隨h/ly的變化曲線。從圖4(b)可以看出：當(dāng)功能梯度參數(shù)較小時，微板最大量綱一的撓度較?。浑S著功能梯度參數(shù)增大，微板最大量綱一的撓度逐漸增大，但增大程度逐漸減緩，表明功能梯度參數(shù)對微板撓度的影響逐漸減弱。除此之外，通過對圖4(a)和4(b)進行對比可以發(fā)現(xiàn)，h/ly也是影響微板撓度尺度效應(yīng)的重要因素，但沿2個正交方向的材料尺度參數(shù)對微板撓度的尺度效應(yīng)影響程度不同。

4.2 偶應(yīng)力分析

圖5所示為h/lx取值不同時，微板量綱一的偶應(yīng)力mx'在x=a/2處截面沿y方向的變化曲線。從圖5可以看出：微板量綱一的偶應(yīng)力mx'均沿y方向呈余弦分布，且最大偶應(yīng)力出現(xiàn)在微板邊界位置，中心處偶應(yīng)力為零。

圖5 不同h/lx下微板量綱一的偶應(yīng)力mx'分布曲線Fig.5 Dimensionless couple stressofmicroplatewith different h/lx

圖6所示為h/ly取值不同時，微板最大量綱一的偶應(yīng)力mx'隨h/lx變化曲線。從圖6可以看出：當(dāng)h/lx小于5時，微板量綱一的偶應(yīng)力較大，微板最大量綱一的偶應(yīng)力mx'隨板厚與材料尺度參數(shù)比變化明顯，具有明顯的尺度效應(yīng)。隨著h/lx增大，量綱一的偶應(yīng)力逐漸減小，但減小程度逐漸減緩，表明h/lx對微板偶應(yīng)力的影響逐漸減弱；當(dāng)h/lx大于12時，微板偶應(yīng)力趨于0，尺度效應(yīng)消失。

圖7所示為不同功能梯度參數(shù)情況下，微板最大量綱一的偶應(yīng)力mx'隨h/lx的變化曲線。從圖7可以看出：當(dāng)功能梯度參數(shù)較小時，微板最大量綱一的偶應(yīng)力mx'較大，隨著功能梯度參數(shù)增大，微板偶應(yīng)力逐漸減小，但減小程度逐漸減緩，表明功能梯度參數(shù)對微板偶應(yīng)力的影響逐漸減弱。

4.3 固有頻率分析

圖8(a)所示為h/ly取值不同時，微板一階量綱一的固有頻率隨h/lx變化曲線。從圖8(a)可以看出：微板一階量綱一的固有頻率隨h/lx的增大而減?。划?dāng)h/lx小于5時，微板一階量綱一的固有頻率隨h/lx變化明顯；當(dāng)h/lx大于10時，微板一階量綱一的固有頻率趨于穩(wěn)定值，其尺度效應(yīng)消失。

圖6 不同h/ly下微板最大量綱一的偶應(yīng)力mx'隨h/lx的變化曲線Fig.6 Maximum dimensionless couple stressof microplate vs.h/lx for differentdimensionless thickness h/ly

圖7 不同功能梯度參數(shù)下微板最大量綱一的偶應(yīng)力mx'隨h/lx的變化曲線Fig.7 Maximum dimensionless couple stressof microplate vs.h/lx with different functionally graded parameters

圖8(b)所示為h/lx取值不同時，微板一階量綱一的固有頻率隨h/ly變化曲線。從圖8(b)可以看出：微板一階量綱一的固有頻率隨h/ly的增大而減小；當(dāng)h/ly小于3時，微板一階量綱一的固有頻率隨h/ly變化明顯；當(dāng)h/ly大于6時，微板一階固有頻率趨于穩(wěn)定值，其尺度效應(yīng)消失。除此之外，通過對圖8(a)和8(b)進行對比可以印證，沿2個正交方向的材料尺度參數(shù)對微板一階固有頻率的影響不同。

圖8 微板一階量綱一的固有頻率p′11的變化曲線Fig.8 Curvesof dimensionless firstordernatural frequency of microplate

圖9所示為h/ly取值不同時，微板二階量綱一的固有頻率隨h/lx變化曲線。從圖9可以看出：微板二階量綱一的固有頻率隨h/lx的增大而減小；當(dāng)h/lx小于5時，微板二階量綱一的固有頻率隨板厚與材料尺度參數(shù)比變化明顯；當(dāng)h/lx大于10時，微板二階固有頻率趨于穩(wěn)定值，其尺度效應(yīng)消失。

圖10所示為h/ly不同時，微板三階量綱一的固有頻率隨h/lx變化曲線。從圖10可以看出：微板三階量綱一的固有頻率隨h/lx的增大而減小，當(dāng)h/lx小于5時，微板三階量綱一的固有頻率隨板厚與材料尺度參數(shù)比變化明顯；當(dāng)h/lx大于10時，微板三階固有頻率趨于穩(wěn)定值，其尺度效應(yīng)消失。

圖9 微板二階量綱一的固有頻率p′21隨h/lx的變化曲線Fig.9 Dimensionless second ordernatural frequency of microplate vs.h/lx

圖10 微板三階量綱一的固有頻率p′31隨h/lx的變化曲線Fig.10 Dimensionless third ordernatural frequency of microplate vs h/lx

圖11所示為不同功能梯度參數(shù)下，微板一階量綱一的固有頻率隨h/lx的變化曲線。從圖11可以看出：當(dāng)功能梯度參數(shù)較小時，微板一階量綱一的固有頻率較大；隨著功能梯度參數(shù)增大，微板一階量綱一的固有頻率逐漸減小并逐漸趨于穩(wěn)定值，表明功能梯度參數(shù)對微板固有頻率的影響逐漸減弱。

圖11 不同功能梯度參數(shù)下微板一階量綱一的固有頻率p′11隨h/lx變化曲線Fig.11 Dimensionless firstordernatural frequency of microplate vs.dimensionless thickness h/lx with different functionally graded parameters

5 結(jié)論

1)板厚與材料尺度參數(shù)比越小，微板撓度、偶應(yīng)力和前三階固有頻率的尺度效應(yīng)越明顯；當(dāng)板厚與材料尺度參數(shù)比大于10，微板撓度、偶應(yīng)力和前三階固有頻率的尺度效應(yīng)可以忽略不計。

2)沿2個正交方向的材料尺度參數(shù)對微板撓度、偶應(yīng)力和固有頻率的尺度效應(yīng)影響程度不同。

3)功能梯度參數(shù)對微板撓度、偶應(yīng)力和前三階固有頻率的尺度效應(yīng)有一定影響，且隨著功能梯度參數(shù)增大，功能梯度參數(shù)對微板撓度、偶應(yīng)力和固有頻率的影響逐漸減弱。