Ease-Off修形準(zhǔn)雙曲面齒輪減振優(yōu)化設(shè)計(jì)

蔣進(jìn)科 劉釗 彭先龍

(1長安大學(xué) 汽車學(xué)院 汽車運(yùn)輸安全保障技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710064；2.西安科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安710054)

準(zhǔn)雙曲面齒輪廣泛應(yīng)用于車輛主減速器，隨著螺旋錐齒輪向高速、重載方向的發(fā)展，強(qiáng)度和振動(dòng)噪聲已成為影響產(chǎn)品質(zhì)量的瓶頸。螺旋錐齒輪齒面復(fù)雜，其動(dòng)力學(xué)的研究在模態(tài)分析[1]、振動(dòng)穩(wěn)定性[2-3]及動(dòng)態(tài)響應(yīng)等方面取得了一些成果。動(dòng)力學(xué)模型主要考慮誤差、時(shí)變嚙合剛度、側(cè)隙、摩擦力等因素影響，且動(dòng)力學(xué)模型的建立主要以參考點(diǎn)受力分析為基礎(chǔ)，包括純扭轉(zhuǎn)模型[4]、彎-扭-軸耦合模型[5]、彎-扭-軸-擺耦合模型[6-7]。文獻(xiàn)[8-9]中基于多體動(dòng)力學(xué)理論與遲滯接觸動(dòng)力學(xué)方法，提出考慮全齒面動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系的螺旋錐齒輪三維接觸動(dòng)力學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)分析方法。文獻(xiàn)[10]中結(jié)合齒面接觸分析(TCA)和齒面承載接觸分析(LTCA)方法獲得嚙合位置幾何參數(shù)及剛度，表明弧齒錐齒輪的高階較2階傳動(dòng)誤差齒面的多轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)嚙合力下降更為明顯，實(shí)際上還是因?yàn)楦唠A傳動(dòng)誤差齒面適配量較小即重合度大。以上研究為螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)的理論研究和工程應(yīng)用做出了貢獻(xiàn)，然而由于齒面幾何復(fù)雜，關(guān)于螺旋錐齒輪的減振降噪技術(shù)研究尚鮮見。

齒面修形是降低齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲的有效途徑，廣泛應(yīng)用于圓柱齒輪，從動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)已有深入的研究。靜力學(xué)主要以承載傳動(dòng)誤差幅值(ALTE)最小為優(yōu)化目標(biāo)[11]，動(dòng)力學(xué)主要以嚙合線振動(dòng)加速度均方根最小為優(yōu)化目標(biāo)[12]，靜態(tài)性能最優(yōu)時(shí)的修形參數(shù)未必使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)[13]。文獻(xiàn)[14]中主要考慮修形改變了輪齒接觸間隙進(jìn)而改變了嚙合剛度激勵(lì)，或者把剛度視為常量，主要考慮修形改變輪齒傳動(dòng)誤差產(chǎn)生嚙合線位移激勵(lì)，通過與有限元法修形對(duì)比，表明剛度激勵(lì)模型更為準(zhǔn)確。可見，動(dòng)力學(xué)齒面修形設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是正確地描述修形參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的嚙合剛度和嚙合誤差等激勵(lì)的影響。文獻(xiàn)[15]中建立切片法修形斜齒輪剛度模型，文獻(xiàn)[16]中建立考慮實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的修形直齒輪剛度模型，并研究修形參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律，其剛度計(jì)算方法僅適用于齒面幾何簡單的圓柱齒輪及其齒廓修形情況。文獻(xiàn)[17]中基于有限元法獲得修形直齒輪嚙合剛度及靜態(tài)傳遞誤差，并引入到動(dòng)力學(xué)分析模型中，衡量齒輪修形優(yōu)劣。有限元法需要精確的齒面模型且計(jì)算耗時(shí)，在工程應(yīng)用中難以推廣。準(zhǔn)雙曲面齒輪采用局部共軛原理加工，已經(jīng)體現(xiàn)了輪齒修形的概念，局部綜合法[18]和高階傳動(dòng)誤差齒面研究[19]等有效地解決了齒面邊緣應(yīng)力集中問題，但造成了齒輪副失配量過大，導(dǎo)致了振動(dòng)噪聲的增加。為了控制齒面修形量，相對(duì)共軛齒面的修形方法即齒面Ease-off修形方法，已成為螺旋錐齒輪齒面設(shè)計(jì)與加工的研究熱點(diǎn)[20]，但主要集中于以ALTE最小進(jìn)行Ease-off修形齒面設(shè)計(jì)[21]，Ease-off修形齒面加工參數(shù)的反求[22-24]，Ease-off修形齒面的TCA仿真及有限元軟件LTCA仿真驗(yàn)證[25-27]。由于Ease-off修形準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何的復(fù)雜性，使齒面綜合誤差、嚙合剛度等參數(shù)的確定十分困難，螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)減振修形優(yōu)化設(shè)計(jì)鮮見。

為了進(jìn)一步提高汽車驅(qū)動(dòng)橋品質(zhì)，基于齒間間隙和齒面法向間隙產(chǎn)生原理，進(jìn)行小輪Ease-off修形齒面設(shè)計(jì)；結(jié)合TCA、LTCA方法[28]，準(zhǔn)確獲得輪齒綜合嚙合剛度，以嚙合位置受力分析為基礎(chǔ)，建立準(zhǔn)雙曲面齒輪彎-扭-軸耦合8自由度集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)模型；以法向振動(dòng)加速度均方根最小為目標(biāo)，通過優(yōu)化確定最佳Ease-off修形齒面，并討論了修形導(dǎo)致的剛度波形及幅值變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

1 小輪Ease-off修形齒面表達(dá)

按照齒輪嚙合理論和安裝關(guān)系，將大輪齒面視為假想齒輪刀具與小輪工件按照名義傳動(dòng)比對(duì)滾，獲得與大輪完全共軛的小輪齒面。Ease-off修形齒面改變了共軛齒面的齒間間隙和齒面法向間隙，齒間間隙如圖1(a)所示；齒面法向間隙如圖1(b)所示，可通過圖1(c)的齒廓修形曲線經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換映射得到，設(shè)計(jì)思路詳見文獻(xiàn)[29]。圖1中ε0～ε4及λ1～λ2為齒間接觸間隙參數(shù)，d1、d2、q1、q2及θa為齒面法向接觸間隙參數(shù)。

(a)四階傳動(dòng)誤差曲線

(b)接觸線修形示意

(c)接觸線修形曲線

在僅包含傳動(dòng)誤差的小輪齒面上，疊加齒面法向間隙δ1，得到修形小輪的解析齒面，其Ease-off曲面表達(dá)式為

δ(u，β)=(R1γ(u，β)-R10(u，β))·N10(u，β)

(1)

(2)

式中：R10、N10為與大輪完全共軛的小輪齒面位矢、法矢；R1、N1為僅包含傳動(dòng)誤差的小輪齒面位矢、法矢；R1γ、N1γ為小輪Ease-off修形齒面位矢、法矢；δ為Ease-off修形量；u、β為小輪理論齒面參數(shù)。

2 振動(dòng)優(yōu)化模型

通過TCA、LTCA方法得到一個(gè)嚙合周期輪齒法向位移，將法向位移轉(zhuǎn)化為嚙合線轉(zhuǎn)角即被動(dòng)輪承載傳動(dòng)誤差(單位為s)

(3)

式中：Rg、ng、eg分別為被動(dòng)輪接觸點(diǎn)位矢、單位法矢、軸線方向單位矢量；Z為法向承載變形。

采用集中質(zhì)量法，建立考慮時(shí)變剛度的螺旋錐齒輪系統(tǒng)沿x軸、y軸、z軸的橫向彎曲振動(dòng)、軸向振動(dòng)及法向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)即彎-扭-軸耦合8自由度動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，其廣義位移可表示為{xp，yp，zp，θp，xg，yg，zg，θg}，動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

式中：xi，yi，zi(i=p，g)為齒輪中心點(diǎn)沿坐標(biāo)軸3個(gè)方向的平移振動(dòng)位移；下標(biāo)“p”代表主動(dòng)齒輪，“g”代表被動(dòng)齒輪，以下同；θi(i=p，g)為齒輪中心點(diǎn)繞著坐標(biāo)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移；mi、Ii、Ti(i=p，g)為齒輪質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及扭矩；ci j、ki j(i=p，g，j=x，y，z)為齒輪各方向的支撐阻尼、支撐剛度；nij(i=p，g，j=x，y，z)為嚙合點(diǎn)法矢；rl(l=p，g)為嚙合點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半徑；Fn為法向嚙合力。嚙合點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半徑表示為

rl=Rl×el·nl

(5)

(nl=[nlxnlynlz]，l=p，g)

式中：Rl、nl、el(l=p，g)為齒輪接觸點(diǎn)位矢、單位法矢、軸線方向單位矢量。

修形改變輪齒嚙合剛度、嚙合線誤差，LTCA方法求解的嚙合剛度已包含了齒形誤差、安裝誤差的影響，因此不需要再次考慮，主要考慮軸頻誤差激勵(lì)，法向動(dòng)態(tài)嚙合力為

圖2 準(zhǔn)雙曲面齒輪副集中質(zhì)量振動(dòng)模型

Fig.2 Vibration model based on lumped mass for hypoid gears

(6)

式中：Fsn為靜態(tài)法向嚙合力；Kn、Cn為輪齒的綜合嚙合剛度、嚙合阻尼；en為軸頻誤差，A、ω、φ0為綜合軸頻誤差幅值、角速度及初始相位。主、被動(dòng)輪的扭轉(zhuǎn)位移可通過嚙合點(diǎn)法線的相對(duì)位移統(tǒng)一起來，因此上述方程組中引入相對(duì)位移sn作為新的自由度，從而將兩個(gè)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移消去，使得系統(tǒng)的自由度數(shù)降為7個(gè)。將所求的一個(gè)嚙合周期的嚙合剛度通過傅里葉級(jí)數(shù)擬合，帶入動(dòng)力方程；通過量綱統(tǒng)一化，利用變步長四階 Runge-Kutta數(shù)值積分方法對(duì)其求解。以法向振動(dòng)加速度均方根最小為優(yōu)化目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)表示為

G(y)=min{a/a0}

(7)

式中：y為優(yōu)化變量即齒間間隙參數(shù)(ε1～ε4及λ1、λ2)和接觸線法向間隙參數(shù)(d1、d2、q1、q2及θa)；a0、a為共軛齒面、理論齒面的法向振動(dòng)加速度均方根。優(yōu)化過程即改變齒面初始間隙求解TCA、LTCA、動(dòng)力學(xué)方程的一個(gè)非線性迭代過程，目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量間為隱式關(guān)系，且存在多個(gè)局部解，因此，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法不適合所研究的問題，而粒子群算法具有全局收斂性，可以求解具有多個(gè)局部極值的非線性優(yōu)化問題，只需要構(gòu)造包含TCA、LTCA、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算結(jié)果的適應(yīng)度函數(shù)即可，具體的優(yōu)化算法不再贅述。

3 算例與分析

對(duì)于高精度齒輪副，為了增加受載后的實(shí)際重合度，主要考慮接觸路徑大傾斜設(shè)計(jì)。以一對(duì)弧齒準(zhǔn)雙曲面齒輪的工作面為例，基本參數(shù)見表1。大輪額定扭矩為1 000 N·m，小輪輸入轉(zhuǎn)速5 000 r/min，最大軸頻誤差為A=3 μm；優(yōu)化的最優(yōu)Ease-off曲面參數(shù)見表2。為了研究修形后承載變形的幅值(剛度的幅值)與振動(dòng)的關(guān)系，表3中列出優(yōu)化迭代過程中不同修形齒面的ALTE、法向振動(dòng)加速度與共軛齒面對(duì)應(yīng)數(shù)值之比(優(yōu)化力度)。最優(yōu)Ease-off齒面ALTE降低到65%，法向振動(dòng)降低到15%，而優(yōu)化Ease-off齒面1的ALTE基本沒變，法向振動(dòng)卻降低到22%；可見ALTE最小時(shí)，振動(dòng)未必最小，法向振動(dòng)不僅與承載變形的幅值有關(guān)，還與承載變形曲線的形狀有關(guān)。

最優(yōu)Ease-off齒面TCA仿真如圖3(a)所示，在嚙入、嚙出端有一定修形量，接近內(nèi)對(duì)角接觸；

表1 準(zhǔn)雙曲面齒輪副基本參數(shù)

表2 最優(yōu)Ease-off修形參數(shù)

表3 修形齒面的傳動(dòng)誤差幅值及法向振動(dòng)與共軛齒面比值

Table 3 The ALTE and normal vibration of modification tooth to conjugate tooth ratio

不同修形齒面承載傳動(dòng)誤差幅值 / %嚙合線振動(dòng)加速度 / %最優(yōu)Ease-off齒面6515理論齒面105126優(yōu)化Ease-off齒面110622優(yōu)化Ease-off齒面24996優(yōu)化Ease-off齒面35633

理論齒面TCA仿真如圖3(c)所示，其為內(nèi)對(duì)角接觸，在嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)有一定的幅值，可以降低安裝誤差的敏感性，齒面適配量較大；二者的Ease-off曲面如圖3(b)、(d)所示，分別與接觸區(qū)域匹配一致，傳動(dòng)誤差越大，對(duì)應(yīng)的齒面修形量也較大。

(a)最優(yōu)Ease-off齒面TCA仿真(b)最優(yōu)Ease-off齒面修形量

(c)理論齒面TCA仿真 (d)理論齒面Ease-off修形量

(e)多載荷承載傳動(dòng)誤差幅值

這里一個(gè)嚙合周期分成8等份，TCA接觸點(diǎn)為22，理論重合度略大于(22-1)/8=2.6。多載荷ALTE如圖3(e)所示，共軛齒面實(shí)際重合度不變，隨載荷增加ALTE不斷增加；理論齒面適配量過大、橢圓長軸設(shè)計(jì)過小時(shí)，隨載荷增加，實(shí)際重合度增加程度不同，因此ALTE出現(xiàn)多個(gè)極值；最優(yōu)Ease-off齒面適配量較小、橢圓長軸設(shè)計(jì)較大時(shí)，隨載荷增加，重合度呈現(xiàn)增加，直至不變，因此載荷≥1 400 N·m時(shí)ALTE逐漸增加。

在法向自由度方向上，理論齒面修形量過大導(dǎo)致齒輪副嚙合剛度最小，相對(duì)振動(dòng)位移最大，共軛齒面反之；最優(yōu)Ease-off齒面振動(dòng)速度最為平穩(wěn)，且為單周期簡諧振動(dòng)規(guī)律，見圖4(a)。最優(yōu)Ease-off齒面振動(dòng)加速度均方根減小到共軛齒面的15%，主要為嚙合頻率(666.67 Hz)及3倍頻，修形主要減小了3倍嚙合頻率的振動(dòng)幅值，可見系統(tǒng)的某階固有頻率接近2000 Hz，見圖4(b)。同樣，最優(yōu)Ease-off齒面的法向動(dòng)態(tài)嚙合力在理論靜態(tài)嚙合力附近變化且振幅最小，對(duì)嚙合力的變化部分進(jìn)行傅里葉變換，主要為嚙合頻率及2倍、3倍頻，見圖4(c)。

為了研究振動(dòng)與剛度的關(guān)系，表3中不同修形齒面的嚙合剛度及頻譜如圖5所示：共軛齒面的平均嚙合剛度最大，而理論齒面修形量最大，平均嚙合剛度最小。對(duì)剛度曲線的波動(dòng)部分做傅里葉變換表明：①共軛齒面嚙合頻率幅值及3倍頻幅值均較大，優(yōu)化Ease-off齒面2的3倍頻幅值略小于基頻幅值；②理論齒面、最優(yōu)Ease-off齒面、優(yōu)化Ease-off齒面1、優(yōu)化Ease-off齒面3的基頻幅值大于諧波成分幅值且諧波成分幅值很小。

(a)法向振動(dòng)位移與相圖

(b)法向振動(dòng)加速度與頻譜

(c)法向嚙合力與頻譜

圖4 額定工況準(zhǔn)雙曲面齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

Fig.4 Dynamic response of rated condition for hypoid gears

結(jié)合表3振動(dòng)優(yōu)化力度可以看出：①額定工況下理論齒面ALTE基本無變化(105%)，由于修形量過大，平均嚙合剛度下降過多且剛度曲線主要為嚙合頻率，其振動(dòng)有所增加(126%)；②優(yōu)化Ease-off齒面1的ALTE也基本無變化(106%)，平均嚙合剛度下降較少且剛度曲線中主要為嚙合頻率，而振動(dòng)降低到22%；③優(yōu)化Ease-off齒面2的ALTE下降到49%，平均嚙合剛度下降較少，且剛度曲線中主要為嚙合頻率及其3倍頻，而振動(dòng)加速度變化不大(96%)；④最優(yōu)Ease-off齒面的ALTE下降到65%，平均嚙合剛度下降較少且剛度曲線主要為嚙合頻率，而振動(dòng)加速度降低到15%；

(a)齒面嚙合剛度

(b)齒面嚙合剛度頻譜

⑤優(yōu)化Ease-off齒面3的ALTE下降到56%，平均嚙合剛度下降較少且剛度曲線主要為嚙合頻率，振動(dòng)加速度降低到33%。綜上所述，當(dāng)修形量過大時(shí)導(dǎo)致剛度下降較多引起法向振動(dòng)增加；修形后平均嚙合剛度下降較少且剛度曲線振幅降低及諧波幅值很小時(shí)法向振動(dòng)明顯降低，而剛度曲線中的諧波成分較大時(shí)法向振動(dòng)增加；平均嚙合剛度相差不大情況下，剛度曲線的形狀較幅值對(duì)振動(dòng)的影響更為敏感。

共軛齒面在3 200、5 600 r/min處出現(xiàn)共振，動(dòng)態(tài)嚙合力增加；理論齒面修形量過大，盡管在5 600 r/min的嚙合力減小，但是在8 000 r/min后仍有較大共振，嚙合力增加；最優(yōu)Ease-off齒面、優(yōu)化Ease-off齒面1的法向嚙合力在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)明顯降低，見圖6(a)。同樣，共軛齒面在3 200、5 600 r/min處出現(xiàn)共振，法向振動(dòng)加速度明顯增加；理論齒面的共振轉(zhuǎn)速略有降低且在5 600 r/min附近振動(dòng)減小；最優(yōu)Ease-off齒面與優(yōu)化Ease-off齒面1在共振轉(zhuǎn)速附近振動(dòng)明顯降低，但在4 500 r/min附近振動(dòng)增加，見圖6(b)。隨載荷增加共軛齒面振動(dòng)逐漸增加；理論齒面隨載荷增加振動(dòng)產(chǎn)生波動(dòng)，特別是載荷較小時(shí)實(shí)際重合度較小，因此振動(dòng)較大；最優(yōu)Ease-off齒面與優(yōu)化Ease-off齒面1隨載荷增加，振動(dòng)增加較為緩慢，而相對(duì)于共軛齒面和理論齒面整體降低；多載荷ALTE曲線基本可以反映振動(dòng)隨載荷的變化趨勢(shì)，見圖6(c)。

(a)多轉(zhuǎn)速法向嚙合力(額定扭矩為1 000 N·m)

(b)多轉(zhuǎn)速法向相對(duì)振動(dòng)加速度均方根(額定扭矩為1 000 N·m)

(c)多載荷法向相對(duì)振動(dòng)加速度均方根(小輪轉(zhuǎn)速5 000 r/min)

Fig.6 Dynamic response for hypoid gear with multi-load and multi-speed

4 結(jié)論

為了提高汽車驅(qū)動(dòng)橋綜合傳動(dòng)性能，提出Ease-off修形準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面減振設(shè)計(jì)方法。

(1)基于齒間間隙和齒面法向間隙產(chǎn)生原理，對(duì)HFT法的小輪齒面進(jìn)行拓?fù)銭ase-off曲面設(shè)計(jì)，并疊加于共軛齒面表達(dá)修形齒面；

(2)結(jié)合TCA、LTCA方法，獲得輪齒綜合嚙合剛度，以一個(gè)嚙合位置受力分析為基礎(chǔ)，應(yīng)用集中質(zhì)量法建立弧齒錐齒輪彎-扭-軸耦合的8 自由度動(dòng)力學(xué)型；以法向振動(dòng)加速度均方根最小為目標(biāo)，通過優(yōu)化確定最佳Ease-off修形齒面，并討論了修形導(dǎo)致的剛度波形及幅值變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響；

(3)當(dāng)修形量過大時(shí)導(dǎo)致剛度下降較多引起法向振動(dòng)增加；修形后平均嚙合剛度下降較少且剛度曲線振幅降低及諧波幅值很小時(shí)法向振動(dòng)明顯降低，而剛度曲線中的諧波成分較大時(shí)法向振動(dòng)增加；平均嚙合剛度相差不大情況下，剛度曲線的形狀較幅值對(duì)振動(dòng)的影響更為敏感；

(4)通過優(yōu)化ALTE最小減小振動(dòng)的方法未必可以降低振動(dòng)，ALTE降低后也易導(dǎo)致剛度曲線(傳動(dòng)誤差曲線)中的高頻成分增加，產(chǎn)生新的振動(dòng)；多載荷ALTE基本可以反映振動(dòng)隨載荷的變化趨勢(shì)。