小學(xué)數(shù)學(xué)在線學(xué)習(xí)內(nèi)容的“1+X”式拓展

姜華

摘要：“停課不停學(xué)”期間，微課在線學(xué)習(xí)成為重要的學(xué)習(xí)方式。但仔細(xì)分析微課在線學(xué)習(xí)，存在優(yōu)秀學(xué)生“吃不飽”、基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生“吃不透”的問(wèn)題。為滿足不同學(xué)生的個(gè)性化和層次化需求，選擇部分統(tǒng)一錄制的微課作為基礎(chǔ)，從趣味性、動(dòng)態(tài)性、聯(lián)系性和文化性等角度，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)在線學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行“1+X”式拓展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)在線學(xué)習(xí)微課拓展

“停課不停學(xué)”期間，江蘇省南京市建鄴區(qū)教師發(fā)展中心組織優(yōu)秀教師力量，錄制了本學(xué)期各學(xué)科各年級(jí)教學(xué)內(nèi)容的前30個(gè)課時(shí)的微課，以供本區(qū)教師在線教學(xué)時(shí)選用。筆者在學(xué)習(xí)了小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)的30個(gè)微課之后，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)共性問(wèn)題。

一是吃不飽。大部分微課教學(xué)內(nèi)容較為淺顯，以講解教材中的例題和習(xí)題為主。這樣托底式的安排，讓優(yōu)秀學(xué)生覺(jué)得“線上得來(lái)總覺(jué)淺”，存在在線學(xué)習(xí)“吃不飽”的問(wèn)題。

二是吃不透。可能是微課教學(xué)時(shí)空的局限性，導(dǎo)致教師在難點(diǎn)的處理上常常采用“自問(wèn)自答”和“掐頭去尾燒中段”的教學(xué)方式，學(xué)生面對(duì)的只是一個(gè)個(gè)被教師平移過(guò)來(lái)卻沒(méi)有來(lái)由的方法和規(guī)則。剛性的方法和規(guī)則壓縮了學(xué)生真實(shí)、自然、動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)進(jìn)程?；A(chǔ)薄弱的學(xué)生只能死記硬背，難以自我內(nèi)化，面臨在線學(xué)習(xí)“吃不透”的問(wèn)題。

筆者認(rèn)為，如果只采用“拿來(lái)主義”，這樣的純微課在線學(xué)習(xí)很難滿足學(xué)生個(gè)體的差異性和層次性需求。因此，教師需結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，對(duì)在線學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行拓展開(kāi)發(fā)。由此，筆者對(duì)建鄴區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)在線學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了“1+X”式拓展——選擇部分統(tǒng)一錄制的微課作為基礎(chǔ)（“1”），從趣味性、動(dòng)態(tài)性、聯(lián)系性和文化性等角度（“X”），對(duì)知識(shí)、技能、方法等學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行拓展。

一、指向趣味性的拓展

據(jù)筆者統(tǒng)計(jì)，30個(gè)微課的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，有23個(gè)屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，涉及蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)多位數(shù)》《三位數(shù)乘兩位數(shù)》《用計(jì)算器計(jì)算》三個(gè)單元。這三個(gè)單元符號(hào)化的學(xué)習(xí)，讓很多學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)無(wú)非是0—9這些阿拉伯?dāng)?shù)字的排列，平淡、枯燥，學(xué)習(xí)的熱情也逐漸高開(kāi)低走。但到了《用計(jì)算器計(jì)算》單元的第二課時(shí)《用計(jì)算器探索規(guī)律》，學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情卻有了回升。在課后與學(xué)生的交流中，筆者明白了緣由：學(xué)習(xí)這樣的內(nèi)容時(shí)，學(xué)生不僅可以操作計(jì)算器，還可以了解很多有趣的規(guī)律，如142857這樣的“走馬燈數(shù)”。這也再次佐證了學(xué)習(xí)內(nèi)容的趣味性可以很好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

受此啟發(fā)，筆者在《用計(jì)算器計(jì)算》單元末安排了一節(jié)拓展課《神奇的“缺8數(shù)”》，引領(lǐng)學(xué)生在觀察、猜想、驗(yàn)證、質(zhì)疑、推理等活動(dòng)中探究“缺8數(shù)”（12345679）的奇妙性質(zhì)：

（1）清一色：“缺8數(shù)”乘9的倍數(shù)（倍數(shù)小于10），結(jié)果會(huì)由同一個(gè)數(shù)字組成“清一色”;

（2）三胞胎：“缺8數(shù)”乘3的倍數(shù)（9的倍數(shù)除外），結(jié)果會(huì)由三個(gè)數(shù)字組成“三胞胎”（首位加0）;

（3）輪流休息：“缺8數(shù)”乘不是3的倍數(shù)的數(shù)，結(jié)果的各位數(shù)字均不相同。

學(xué)生在探究中感受到“缺8數(shù)”的神奇之處和數(shù)學(xué)的規(guī)律之美。“缺8數(shù)”的拓展好似星星之火，點(diǎn)燃了學(xué)生探究的熱情。他們興奮地借助網(wǎng)絡(luò)查閱資料，認(rèn)識(shí)了更多神奇的數(shù)：回文數(shù)、三角形數(shù)、金字塔中的數(shù)、數(shù)字黑洞495……神奇的“缺8數(shù)”好似一根線，串起了一顆顆閃亮的“數(shù)字珍珠”。學(xué)生在這樣的串聯(lián)中感受到數(shù)字的結(jié)構(gòu)美和對(duì)稱美。數(shù)字在他們眼里少了一份平淡和枯燥，多了一份神奇和趣味;少了一份冰冷，多了一份熱情。

美國(guó)科普大師馬丁·加德納指出，喚醒學(xué)生的最好辦法是向其提供有吸引力的數(shù)學(xué)游戲、智力題、魔術(shù)、笑話、悖論、打油詩(shī)或那些呆板的教師認(rèn)為無(wú)意義而避開(kāi)的其他東西。因此，我們應(yīng)想方設(shè)法拓展在線學(xué)習(xí)內(nèi)容的趣味性，讓學(xué)生在學(xué)中生智，練中生趣，感悟數(shù)學(xué)的魅力，從而產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

二、指向動(dòng)態(tài)性的拓展

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是將教材中靜態(tài)的知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)的過(guò)程。受教學(xué)時(shí)空的限制，微課中只能將需要學(xué)生動(dòng)手操作的內(nèi)容通過(guò)動(dòng)畫演示出來(lái)，學(xué)生常常會(huì)出現(xiàn)不操作或操作體悟不完整的現(xiàn)象，導(dǎo)致他們的空間想象無(wú)法啟動(dòng)或深入。因此，在線教學(xué)應(yīng)為學(xué)生提供盡可能多的操作和實(shí)踐的機(jī)會(huì)，讓動(dòng)作為思維服務(wù)。

例如，《平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱》一課，筆者基于“軸對(duì)稱圖形”知識(shí)進(jìn)行了“剪紙成圖”的動(dòng)態(tài)性拓展，讓學(xué)生在一張正方形紙上剪下一個(gè)小正方形（如圖1所示）。

學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)將正方形先對(duì)折，剪起來(lái)比較方便，不同的對(duì)折次數(shù)，剪法也不一樣。而實(shí)際操作的過(guò)程并不那么順利，“對(duì)折之后再剪哪里？”“剪掉一個(gè)什么樣的圖形？”都是需要考慮的問(wèn)題。因此，在操作過(guò)程中，學(xué)生也收獲了很多“意外”（見(jiàn)圖2）。這些“意外”為學(xué)生操作經(jīng)驗(yàn)的積累和空間想象的發(fā)展提供了依托。

“兒童的智慧就在他們的手指尖上?！睂?duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行動(dòng)態(tài)性拓展，不僅有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。

三、指向聯(lián)系性的拓展

對(duì)學(xué)生而言，難題通常難在其豐富的變式及其難以觸及的生長(zhǎng)根源。一些學(xué)生面對(duì)難題時(shí)常常望而卻步，只能死記硬背一些方法和規(guī)則，難題在他們眼里是那么的“高冷”。若能帶著學(xué)生找到難題生長(zhǎng)的根源，循著一次次的變式拾級(jí)而上，難題也會(huì)變得“平易近人”。

例如，對(duì)于《三位數(shù)乘兩位數(shù)》單元的一道思考題（見(jiàn)圖3），微課以1分16秒的時(shí)長(zhǎng)程序化地告知學(xué)生：要使乘積最大，先選4個(gè)較大的數(shù)字組成乘積最大的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，再將最后一個(gè)數(shù)搭配進(jìn)去，比較出計(jì)算結(jié)果;要使乘積最小，先選4個(gè)較小的數(shù)字組成乘積最小的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，再將最后一個(gè)數(shù)搭配進(jìn)去，比較出計(jì)算結(jié)果。很多學(xué)生初見(jiàn)這樣的思路，不明就里，找不到此題生長(zhǎng)的根——三年級(jí)學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)曾練習(xí)過(guò)用給定的4個(gè)數(shù)字組成乘積最大或最小的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，近一年的時(shí)間跨度導(dǎo)致很多學(xué)生對(duì)此已經(jīng)有所淡忘。

基于題目的難度和學(xué)生學(xué)情，筆者將這道思考題設(shè)計(jì)成兩節(jié)拓展課——《哪道算式的乘積最大》和《哪道算式的乘積最小》，聚焦知識(shí)生長(zhǎng)的順序進(jìn)行了縱向和橫向的聯(lián)系性拓展。下面以《哪道算式的乘積最大》為例具體說(shuō)明。

縱向聯(lián)系。首先，組織學(xué)生在猜想、驗(yàn)證中探究4個(gè)數(shù)字（非0）組成的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘積最大的組合方法。學(xué)生的前數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)逐漸得到重啟和激活。在此基礎(chǔ)上，再次引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)猜想和驗(yàn)證，探究5個(gè)數(shù)字（非0）組成的三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘積最大的組合方法。學(xué)生剛剛獲得的“如何將4個(gè)數(shù)字（非0）組成乘積最大的兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)得到了進(jìn)一步的提升。學(xué)生在這樣的縱向聯(lián)系中，觸及知識(shí)的脈絡(luò)，體悟到知識(shí)發(fā)展的“序”。

橫向聯(lián)系。在分別用4個(gè)數(shù)字和5個(gè)數(shù)字組成符合要求的乘法算式的環(huán)節(jié)，學(xué)生都需要對(duì)每次組成的兩道算式的結(jié)果進(jìn)行比較。這時(shí)，豎式驗(yàn)證是一種方式，還可以根據(jù)實(shí)際情況巧比。筆者就“巧比”進(jìn)行了兩次橫向聯(lián)系。第一次，先運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系三年級(jí)所學(xué)的“周長(zhǎng)與面積的關(guān)系”，讓學(xué)生知道“當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬越接近，面積就越大”。繼而，學(xué)生也就明白了在比較“42×31”和“41×32”的結(jié)果時(shí)，也可以運(yùn)用類似的方法。這一橫向聯(lián)系，讓學(xué)生“形”的經(jīng)驗(yàn)在“數(shù)”的學(xué)習(xí)中有了落腳點(diǎn)，真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。 第二次，在比較類似“52×431”和“521×43”的算式的結(jié)果時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘法的意義拆分算式：52×431=52×430+52×1，521×43=52×430+43×1。即從乘法分配率的角度實(shí)現(xiàn)巧比。這一橫向聯(lián)系，調(diào)動(dòng)了學(xué)生最本源的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，也為后續(xù)乘法分配律的學(xué)習(xí)做了孕伏。

非0數(shù)字組合的算式已經(jīng)理解透徹了，含0算式的探究就輕而易舉了;內(nèi)化了最大積的尋找方法，最小積的尋找方法就可以自然生長(zhǎng)了。拓展在線學(xué)習(xí)內(nèi)容的聯(lián)系性，可以幫助學(xué)生摸清知識(shí)脈絡(luò)，真正建構(gòu)起屬于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

四、指向文化性的拓展

本次的微課學(xué)習(xí)內(nèi)容，有4個(gè)涉及教材中的《你知道嗎》欄目，均只是對(duì)數(shù)學(xué)文化的簡(jiǎn)單介紹;而其他的都沒(méi)有涉及數(shù)學(xué)文化的拓展。可見(jiàn)，這次的微課并沒(méi)有將數(shù)學(xué)文化自然地滲透在教學(xué)內(nèi)容中，數(shù)學(xué)文化與教學(xué)內(nèi)容依舊是“兩張皮”。由此，學(xué)生也只能聽(tīng)聽(tīng)看看，偶爾發(fā)出一些感嘆，依舊難以體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的文化性，不利于其情感態(tài)度和價(jià)值觀的發(fā)展。對(duì)此，筆者采用以下兩種方式來(lái)拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容的文化性。

（一）擴(kuò)容教材中的文化介紹

《用計(jì)算器計(jì)算》單元的第二個(gè)《你知道嗎》欄目，教材以簡(jiǎn)短的語(yǔ)句介紹了籌算、珠算、計(jì)算機(jī)，意在讓學(xué)生體會(huì)計(jì)算工具演變和發(fā)展的大致歷程，感受古代勞動(dòng)人民和數(shù)學(xué)家的智慧，以及計(jì)算工具的演變和發(fā)展對(duì)社會(huì)文明的促進(jìn)作用。本次制作的微課，在臨近結(jié)束的30秒左右對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行了介紹。這只是教材的有聲平移，難以引發(fā)學(xué)生深刻的感悟。

筆者在整合教材的基礎(chǔ)上，以“計(jì)算器的歷史”為題，開(kāi)展了文化拓展。以“你知道最原始的計(jì)數(shù)工具是什么嗎？你知道世界上第一個(gè)計(jì)算器是什么樣子的嗎？”為引子，一下子激發(fā)了學(xué)生的好奇心，抓住了學(xué)生的興奮點(diǎn)。在一幅幅圖片中，學(xué)生仿佛打開(kāi)了一幅源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的數(shù)學(xué)畫卷，回到了遠(yuǎn)古時(shí)代，知道了石子、結(jié)繩、木棒、手指、刻痕等都是人類最初用來(lái)計(jì)數(shù)和計(jì)算的工具，理解了人類在勞動(dòng)中建立起來(lái)的“一一對(duì)應(yīng)”的計(jì)數(shù)方法。徜徉在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河里，學(xué)生知道了：早在2500多年前的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，人們就已經(jīng)普遍使用算籌來(lái)計(jì)數(shù)了，表示數(shù)的算籌有縱、橫兩種方式;繼算籌計(jì)數(shù)之后，算盤是我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的又一個(gè)更簡(jiǎn)便的計(jì)算工具;1642年，法國(guó)科學(xué)家帕斯卡根據(jù)算盤的原理，發(fā)明了第一部只能計(jì)算加減的機(jī)械式計(jì)算器;1694年，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨對(duì)機(jī)械式計(jì)算器做了改進(jìn)，才有了還可以計(jì)算乘除的計(jì)算器;直到20世紀(jì)50年代末，電子計(jì)算器才出現(xiàn)。在計(jì)算工具逐漸演變的歷史畫卷里，學(xué)生驚嘆于古代勞動(dòng)人民和數(shù)學(xué)家的智慧和創(chuàng)造，更是觸摸到了數(shù)學(xué)的歷史和力量。

（二）增添教材外的文化鏈接

《三位數(shù)乘兩位數(shù)》單元的教學(xué)基礎(chǔ)是，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握兩、三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，絕大部分學(xué)生可以自主通過(guò)類比解決新的計(jì)算問(wèn)題。因此，微課中僅以教材例題為依托，在具體細(xì)致地演示了豎式計(jì)算的過(guò)程之后，以一些常見(jiàn)的練習(xí)收尾。但是，本單元是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材整數(shù)乘法教學(xué)的最后一個(gè)單元，如何讓學(xué)生在此淺顯處學(xué)得更深入呢？

受“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)中“鋪地錦乘法”的啟發(fā)，筆者在本單元教學(xué)中拓展了印度的“畫線乘法”。學(xué)生在觀察、運(yùn)算中興趣盎然地掌握了畫線乘法的算法，體會(huì)到畫線乘法的直觀性和算法的多樣性。同時(shí)，筆者還引導(dǎo)學(xué)生將畫線乘法和豎式乘法進(jìn)行對(duì)比，溝通聯(lián)系（如圖4所示），幫助學(xué)生在厘清關(guān)系的同時(shí)進(jìn)一步理解算理，發(fā)展數(shù)感。學(xué)生也在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)了畫線乘法的弊端，體會(huì)到豎式乘法的簡(jiǎn)便性。

數(shù)學(xué)是一種文化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)有生命力的過(guò)程。在線數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)只是知識(shí)和方法的簡(jiǎn)單匯聚，還應(yīng)是一個(gè)開(kāi)放的文化平臺(tái)，向?qū)W生展示人類智慧和創(chuàng)造力的結(jié)晶，幫助學(xué)生拔節(jié)數(shù)學(xué)思維，拓寬數(shù)學(xué)視野。

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