由特殊到一般方法在高數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

魏選平

摘 要 本文聯(lián)系小學(xué)，初高中數(shù)學(xué)，再結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)總結(jié)出來(lái)了從特殊到一般大的學(xué)習(xí)方法，這種方法來(lái)自于一線課堂實(shí)踐，實(shí)用可靠，對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有很大的借鑒性。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué) 特殊 一般

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1由特殊到一般方法在高數(shù)中的體現(xiàn)

鑒于高等數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)的推陳出新，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重新組合產(chǎn)生的解決新問(wèn)題的方法。而數(shù)學(xué)是對(duì)客觀世界從空間位置和數(shù)量關(guān)系兩方面進(jìn)行研究對(duì)的學(xué)科。所以，要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，首先要回顧和復(fù)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容。本文同樣要研究一種新方法，也要從最熟悉的簡(jiǎn)單問(wèn)題做起，首先從高等數(shù)學(xué)教材的第一、二章做起，初步在回顧和復(fù)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，初步學(xué)會(huì)從特殊到一般的教學(xué)和學(xué)習(xí)方法。例如，在講到函數(shù)的概念時(shí)，先舉一個(gè)簡(jiǎn)單的做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體的實(shí)例，在這一簡(jiǎn)單的實(shí)例中，認(rèn)識(shí)到取值發(fā)生變化的量是變量時(shí)間和路程，而對(duì)時(shí)間的每一個(gè)值，路程都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)。從而，將本身發(fā)生變化的量叫自變量，因自變量的變化而發(fā)生變化的量叫因變量。這種初一數(shù)學(xué)所反映出來(lái)的變量的關(guān)系，就是樸素的函數(shù)關(guān)系。進(jìn)而想到，自變量的取值范圍叫定義域;因變量的取值范圍叫值域。從定義域到值域這兩個(gè)數(shù)集間的映射關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系。按照從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的方法，通過(guò)抓住這一簡(jiǎn)單實(shí)例的本質(zhì)規(guī)律，熟能生巧地平行相似推廣到一般問(wèn)題，用自己的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)就是函數(shù)的定義。綜上，就能初步領(lǐng)會(huì)和學(xué)會(huì)由特殊得到一般的方法。初步學(xué)會(huì)這種方法后，就可利用該法進(jìn)一步繼續(xù)回顧和復(fù)習(xí)函數(shù)的表示方法。我們可從最簡(jiǎn)單的一條直線方程為例，由這條直線的數(shù)學(xué)表達(dá)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用列表的方法，通過(guò)給一個(gè)自變量的值，相應(yīng)得到一個(gè)函數(shù)值，從而得到坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)連成線，就得到了一次函數(shù)直線的圖像。這樣按照從特殊到一般的方法就總結(jié)出一般函數(shù)的表示方法為解析式法、列表法和圖像法。這樣，又一次重溫了從特殊到一般的教學(xué)方法，在較深入地領(lǐng)會(huì)了該法的基礎(chǔ)上，我們就可利用這種方法繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的特性。在復(fù)習(xí)函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性時(shí)，對(duì)每一個(gè)特性，我們都可先舉一個(gè)實(shí)例，由最簡(jiǎn)單的實(shí)例圖像所反映出來(lái)的規(guī)律和本質(zhì)，用自己的語(yǔ)言描述出來(lái)，就是函數(shù)的特性。綜上所述，通過(guò)回顧和復(fù)習(xí)中學(xué)的知識(shí)的過(guò)程中，就可初步學(xué)會(huì)從特殊到一般的教學(xué)方法。那么從第三章起，就可用這種方法進(jìn)行新內(nèi)容的學(xué)習(xí)。具體思路和方法如下。

第三章由中學(xué)熟悉的數(shù)列概念入手，對(duì)數(shù)列n分之一，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，該數(shù)列的第n項(xiàng)無(wú)限逼近于0，所以該數(shù)列的極限就是0。由這個(gè)特殊的簡(jiǎn)單的特例，可推廣出一個(gè)數(shù)列的極限的定義。再考慮到數(shù)列是特殊的函數(shù)，一個(gè)函數(shù)的自變量可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。所以一般函數(shù)的自變量的變化無(wú)非有趨近于無(wú)窮大和趨近于有限值兩種變化情況。從而可以由特殊的函數(shù)——數(shù)列的極限推廣出一般函數(shù)的極限。第四章可由曲線上某點(diǎn)的切線的斜率及變速直線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度兩個(gè)特殊的實(shí)例出發(fā)，熟能生巧地用自己的語(yǔ)言概括出一般導(dǎo)數(shù)的定義。由導(dǎo)數(shù)的定義可推導(dǎo)出本章的其它內(nèi)容;第五章又可采用特殊的實(shí)例的圖形，采用形數(shù)結(jié)合法推理出函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性、極值和最值。另外，按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，可平行推理出二元函數(shù)的極值和最值;第六章從求平面中求曲邊梯形面積這個(gè)特殊的實(shí)例出發(fā)，抓住分割、求和、取極限的特征，采用由特殊到一般的方法，用自己的語(yǔ)言可以歸納和概括出定積分的定義;第七章又可從求空間曲頂柱體的體積這個(gè)實(shí)例出發(fā)，推廣出二重積分的定義;第八章可以從求一個(gè)微分方程的簡(jiǎn)單的實(shí)例，概括、歸納、推理出一般微分方程的概念。顯然，從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的方法可貫穿于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。按照這樣的學(xué)習(xí)和教學(xué)方法，可化難為易，化抽象為具體，不但利用培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，也有利于提高學(xué)生學(xué)會(huì)由特殊到一般解決新問(wèn)題的能力。

本文立足于高等數(shù)學(xué)的實(shí)踐教學(xué)的一線課堂，突出教學(xué)的實(shí)踐創(chuàng)新性，將由特殊到一般、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的方法貫穿于高等數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，力爭(zhēng)每次課都用該法解決新問(wèn)題，使學(xué)生盡快學(xué)會(huì)利用該法進(jìn)行自學(xué)和有成效地解決新問(wèn)題。在整個(gè)貫穿由特殊到一般方法的同時(shí)，注重典型和重點(diǎn)的幾次課堂教學(xué)進(jìn)行錄像。由實(shí)況錄像中，抓細(xì)節(jié)，找問(wèn)題。對(duì)課堂教學(xué)中存在的問(wèn)題進(jìn)行整改，力爭(zhēng)使由特殊到一般的方法在課堂教學(xué)中發(fā)揮應(yīng)有的有效作用。在提高教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，提高教師的教學(xué)和學(xué)生的自學(xué)能力。鑒于教學(xué)科研課題具有實(shí)踐特色，根據(jù)唯物辯證法的實(shí)踐論，在高等數(shù)學(xué)課程進(jìn)修由特殊到一般方法的教學(xué)實(shí)踐的同時(shí)，要注意每次課后，多反思，多回味，將每次課中存在的問(wèn)題進(jìn)行整改，對(duì)每次課取得的好的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)。力爭(zhēng)做到每次課能找到問(wèn)題，又能發(fā)現(xiàn)成績(jī)。對(duì)好的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)可以寫(xiě)成教學(xué)體會(huì)文章。將好的經(jīng)驗(yàn)和做法繼續(xù)發(fā)揚(yáng)廣大，將存在的問(wèn)題和不足糾正后，再繼續(xù)進(jìn)行課堂教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn)。使教學(xué)認(rèn)識(shí)在多次循環(huán)往復(fù)課堂教學(xué)實(shí)踐中得到檢驗(yàn)和提高。當(dāng)然，在自我進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐和反思體會(huì)的同時(shí)，也要多與學(xué)生溝通，多了解學(xué)生的感受，多向?qū)W生征詢好的建議。

2結(jié)論

綜上所述，小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的每一個(gè)重要公式、概念、定理都是從生活中簡(jiǎn)單特殊的實(shí)例總結(jié)概括歸納出來(lái)的，由這些基本定理公式又可解決形形色色的同類所有問(wèn)題。體現(xiàn)出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律。只要掌握了從特殊到一般的方法，就能提高學(xué)生的自學(xué)能力，就能增強(qiáng)教師的教學(xué)能力。一般來(lái)說(shuō)，特殊的實(shí)例都很簡(jiǎn)單，一般問(wèn)題都很復(fù)雜，這種方法也是從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題中學(xué)會(huì)復(fù)雜問(wèn)題的解決辦法，這不能不說(shuō)是一種智慧。有了這種智慧，不但能學(xué)好數(shù)學(xué)，也能學(xué)會(huì)分析和解決新問(wèn)題的能力。