輸入飽和的非線性系統(tǒng)多模型二階段自適應(yīng)控制器設(shè)計

吳 偉 ,王 昕 ,王振雷

(1.華東理工大學(xué)化工過程先進控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點實驗室,上海 200237;2.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院電工電子實驗教學(xué)中心,上海 200240)

1 引言

實際系統(tǒng)存在著非線性特性,其中輸入飽和特性是常見的一類非線性特征.在航天器對接控制[1]、遙控系統(tǒng)[2–3]、導(dǎo)彈目標攔截系統(tǒng)[4]中都有所涉及.非對稱飽和特性如果不加處理,則系統(tǒng)的暫態(tài)性能會很差,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定[5–6].例如,硬盤驅(qū)動的磁頭移動太快會損壞硬盤,因而受到飽和特性的約束,Venkataramanan 提出離散復(fù)合反饋非線性控制(discrete-time composite nonlinear feedback control,DCNF),通過線性部分加快響應(yīng)速度,非線性部分減小線性部分引起的超調(diào)完善了對硬盤讀寫的控制[7].J.M.G等人在幅值飽和的基礎(chǔ)上增加了其一階導(dǎo)數(shù)飽和特性[8].之后,多種針對線性系統(tǒng)的控制策略被提出,Tingshu等人通過計算系統(tǒng)吸引域的方法[9],廣義扇區(qū)法與線性矩陣不等式技術(shù)[10]對系統(tǒng)進行了分析與設(shè)計.Castelan等人使用動態(tài)輸出反饋補償器對線性時變離散系統(tǒng)進行了控制分析[11].但在實際生產(chǎn)中,絕大多數(shù)系統(tǒng)本身帶有復(fù)雜的非線性特征,隨后,非線性系統(tǒng)帶有輸入飽和的情況也做了分析[12],證明了相關(guān)算法與系統(tǒng)的穩(wěn)定性[13–16].純反饋時滯系統(tǒng)[17]、未知控制方向的系統(tǒng)[18]、分數(shù)階系統(tǒng)[19]、抗干擾復(fù)合系統(tǒng)[20]以及不確定系統(tǒng)[21]都討論了各自存在輸入飽和情況下的控制器設(shè)計,諸如backstepping控制[22–23]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[24–26]、滑?？刂芠27–28]、自適應(yīng)控制[29]、動態(tài)面控制[30]等在處理輸入飽和特性上有著很好的效果.為了改善輸入飽和特性系統(tǒng)的暫態(tài)性能,Y.He等人設(shè)計了復(fù)合非線性反饋控制[31].施加的控制信號都是基于系統(tǒng)模型所給出的,模型的精確性直接關(guān)系到施加的控制信號是否合適.在初期,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊系統(tǒng)對系統(tǒng)的辨識效果較差,暫態(tài)性能難以達到要求,甚至可能帶來系統(tǒng)的不穩(wěn)定.相比于傳統(tǒng)自適應(yīng)控制,多模型二階段自適應(yīng)能夠更快地逼近系統(tǒng)的真實參數(shù)[32–33],能夠有效地改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能.

基于改善暫態(tài)性能的目的,本文在傳統(tǒng)自適應(yīng)控制器上引入了多模型二階段自適應(yīng)機制,根據(jù)先驗知識確定參數(shù)空間的范圍,在邊界處建立若干個模型,通過backstepping,逐步穩(wěn)定系統(tǒng)并設(shè)計控制器,并給出了穩(wěn)定性證明.相比于傳統(tǒng)自適應(yīng)控制器,通過增加魯棒項,能夠減小所需控制信號的幅值、超調(diào)與振蕩.所設(shè)計的控制器能夠保證系統(tǒng)中的信號半全局最終一致有界,跟蹤誤差收斂于一個較小的緊集內(nèi),最后進行數(shù)值仿真與應(yīng)用研究,驗證了本文所提出的控制器的有效性、優(yōu)越性與實用性.

2 系統(tǒng)描述

考慮如下單輸入單輸出的執(zhí)行器非對稱飽和的非線性離散時間系統(tǒng):

式中:xi(k)=[x1(k)x2(k)… xi(k)]T表示系統(tǒng)的狀態(tài);v(k),y(k)分別是控制輸入信號與輸出信號;θifi,gi∈(i=1,2,…,n)是系統(tǒng)中的非線性部分,其中g(shù)i,fi為已知的非線性函數(shù),θi為未知參數(shù);u(v(k))為系統(tǒng)的輸入量,具有非對稱飽和特性.其主要非對稱飽和特性

umax,umin為未知的飽和執(zhí)行器的上下界.為簡化證明計算,根據(jù)文獻[36],該非對稱飽和特性可由以下光滑的函數(shù)來代替(如圖1所示):

圖1 飽和特性函數(shù)Fig.1 Saturation function

定義函數(shù)

其中:c是一個正常數(shù),u(k)和v(k)是時間k的函數(shù).該函數(shù)僅用于穩(wěn)定性證明,其中c在控制器的設(shè)計中并不需要知道其實際值.系統(tǒng)(1)可改寫為增量形式:

?xi(k)含義為系統(tǒng)單位采樣時間內(nèi)各狀態(tài)的變化量,i=1,…,n.

系統(tǒng)需滿足以下幾個假設(shè):

假設(shè)1參考信號連續(xù)且有界;

假設(shè)2控制增益gi(·)是已知的,并且存在常數(shù)

假設(shè)3存在常數(shù)滿足

假設(shè)4為已知的Lipschitz非線性函數(shù);

假設(shè)5系統(tǒng)的未知參數(shù)向量θ位于凸集合內(nèi).

值得注意的是,假設(shè)2?3的上下界不要求已知,假設(shè)3為飽和函數(shù)一般性假設(shè).關(guān)于假設(shè)4,Lipschitz非線性是非常常見的,具有相當大的實用性.假設(shè)5為二階段自適應(yīng)的一般性假設(shè).

本文的目的是針對一類形如1的非線性系統(tǒng),設(shè)計控制器,使其漸近跟蹤已知的參考信號,誤差最終收斂到0的小鄰域內(nèi).

3 控制器設(shè)計

3.1 一階段參數(shù)辨識

針對系統(tǒng)(5)設(shè)計如下的自適應(yīng)模型集:

xsi為辨識模型的狀態(tài)變量,為辨識模型的估計參數(shù),定義參數(shù)辨識誤差與狀態(tài)辨識誤差分別為esi=為待設(shè)計的常數(shù),s=1,2,…,q+1為模型編號,q為未知參數(shù)個數(shù),N=q+1個模型分布在由先驗知識確定的參數(shù)空間的邊界處.

選取如下的候選李雅普諾夫函數(shù):

μ為自適應(yīng)系數(shù),一般取0.7左右.選取0<λ<1可以使式(8)小于0,辨識誤差和參數(shù)估計誤差趨于0,即

3.2 二階段參數(shù)辨識

在一階段參數(shù)辨識中,已對未知參數(shù)進行了初步的辨識,為進一步減少辨識誤差,對上一節(jié)得到的N個模型進行凸組合.

引理1(凸包的性質(zhì))集合?m∈n,令cov?m為?m的凸包,則cov?m中所有的點均可以用?m中至多n+1個點的線性凸組合表示.

由引理1可知,如果系統(tǒng)未知參數(shù)θpi在k=0時刻位于cov?m(0)中,則存在一組系數(shù)αi滿足

在k=k0時,θpi∈cov?m,即

由一階段自適應(yīng)律(9)有

因此,在任意k >0 時刻,θpi都位于θi,j(k)的凸包cov?m(k)中,即一定有

式中:

建立系數(shù)模型

系數(shù)αi(k)由如下自適應(yīng)律進行更新:

由上述算法,可以得到各個參數(shù)子集在k時刻的虛擬模型參數(shù)

選取如下的候選李雅普諾夫函數(shù):

由式(8)(18)?(19)可得,凸組合后得到的李雅普諾夫函數(shù)在參數(shù)更新律(9)?(10)(23)(25)下,恒大于0,變化率小于0.

3.3 Backstepping控制

根據(jù)上一節(jié)的分析,辨識得到了未知參數(shù)θ的估計值?θ,根據(jù)該估計值,結(jié)合Lyapunov 定理與backstepping方法設(shè)計控制器.設(shè)計步驟如下:

選擇候選李雅普諾夫函數(shù)為

考慮到tanh函數(shù)的特性

代入式(32),得到

選擇以下候選李雅普諾夫函數(shù):

?ξ1(k)的更新律如下:

其中的δξ1是一個足夠小的正常數(shù),可取0.1～0.5,目的是增強對狀態(tài)、參數(shù)估計時的誤差的魯棒性.一步迭代后的虛擬控制律為

ki(i=1,…,n),k1為控制增益,可取5～20.由Yang不等式有

τ是時間常數(shù),與時間步長相關(guān),一般取1.

選擇候選李雅普諾夫函數(shù):

選取李雅普諾夫函數(shù):

選取控制律為

候選李雅普諾夫函數(shù):

選取總體李雅普諾夫函數(shù):

由式(11)可知,式(59)中的狀態(tài)估計誤差與參數(shù)辨識誤差趨于0.式(59)可改寫為

由Razumikhin引理和(57)?(58)(60)可知:該閉環(huán)系統(tǒng)中的信號均是半全局一致最終有界的.

4 仿真研究

4.1 數(shù)值仿真

考慮如下的輸入具有非對稱飽和特性的非線性連續(xù)時間系統(tǒng)[36]:

對其進行離散化采樣,得到如下的輸入具有非對稱飽和特性的非線性離散時間系統(tǒng):

其中:umax=40;umin=?45;Dt為系統(tǒng)采樣時間;θ=[θ1,θ2]=[2,?1],θi∈[?3,3],i=1,2;單控制器模型初值選取為[3,?3];MMSLA共建立3個模型,初值分別為[3,3],[?3,2],[3,?3].不失公平性,組合系數(shù)初始值為[0.05,0.05,0.9],虛擬模型的初始值接近單控制器模型的初始值.

參考信號為

各控制器的設(shè)計參數(shù)選取如下:

針對未知參數(shù)p1,p2,模型的初值分別為[3,?3,3],[3,2,?3].實際對p1,p2的辨識模型數(shù)量分別為2,3個,如圖2?3所示.

圖2 MMSLA控制器未知參數(shù)1辨識Fig.2 Parameter 1 identification

圖3 MMSLA控制器未知參數(shù)2辨識Fig.3 Parameter 2 identification

多模型與單個模型的差別僅在辨識上,多模型一階段的參數(shù)辨識是各自獨立的.由文獻[34–35]有:單步計算量為4mn2+4m2n+2mn ?m2+m+2.其中m,n為系統(tǒng)矩陣維度.凸組合系數(shù)計算的矩陣維度相比于系統(tǒng)矩陣要低一個維度,其計算復(fù)雜度為O(n2).多模型單步整體計算量為O(N ?(4mn2+4m2n+2mn ?m2+m+2)+con2),其中co是凸組合計算復(fù)雜度的常系數(shù).理論上MMSLA 單步計算量小于單個模型的N+1倍.考慮到MMSLA能更快地收斂[32–33],參數(shù)收斂后若系統(tǒng)是時不變的,僅需要計算控制信號即可.針對系統(tǒng)(60),計算復(fù)雜度的比較見表1.

表1 計算復(fù)雜度比較Table 1 Computational complexity comparison

當m,n3 時,針對較大范圍不確定參數(shù),MMSLA計算效率優(yōu)于單個模型.當系統(tǒng)更為復(fù)雜、未知參數(shù)范圍越大時,多模型占用的計算資源會越多.但是單個模型的收斂時間T也會快速增長,同時,還需忍受長時間的較差的暫態(tài)響應(yīng)以及控制信號不匹配下可能出現(xiàn)的不穩(wěn)定情況.長遠來看,多個模型是值得的.

從圖4?5中,可以看出,MMSLA控制下的系統(tǒng)對于跟蹤所給定的信號具有較小的誤差,暫態(tài)性能也更好.控制信號的飽和特性如圖6?7所示.圖8顯示,誤差是有界的,并最終收斂到一個充分小的緊集.圖2?3、圖9?10顯示了未知參數(shù)的辨識,因MMSLA對未知參數(shù)的辨識收斂更快.施加的控制信號更加合適,能夠使得系統(tǒng)輸出更快更好地跟蹤參考信號.綜上,本文提出的控制策略能夠產(chǎn)生一個有界的控制信號,滿足非對稱飽和特性,跟蹤所給定的參考信號并有著相比于傳統(tǒng)控制器更為優(yōu)良的性能.

圖4 單控制器系統(tǒng)輸出Fig.4 Output of single controller

圖5 MMSLA控制器系統(tǒng)輸出Fig.5 Output of MMSLA controller

圖6 單控制器系統(tǒng)輸入Fig.6 Input of single controller

圖7 MMSLA控制器系統(tǒng)輸入Fig.7 Input of MMSLA controller

圖8 系統(tǒng)誤差對比Fig.8 Error in output comparison

圖9 單控制器未知參數(shù)1辨識Fig.9 Parameter 1 identification

圖10 單控制器未知參數(shù)2辨識Fig.10 Parameter 2 identification

4.2 船舶仿真研究

為了驗證本文所提自適應(yīng)控制器的實用性,在船舶航向控制系統(tǒng)中進行仿真研究應(yīng)用.船舶運動的幾何學(xué)在坐標系(X0,Y0)中定義,而船舶本身的運動在與船舶固定的相對坐標系(x,y)中描述.船舶的運動如圖11所示.

圖11 船舶運動坐標系Fig.11 Ship motion coordinate system

系統(tǒng)中,被控參數(shù)為航向ψ(t),控制參數(shù)為舵角δ(t).從牛頓動力學(xué)定律出發(fā),推導(dǎo)了描述船舶動力特性的方程.假設(shè)大型排水船(如油輪)的橫向運動可以忽略.船舶的動力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型采用了Astrom與Wittenmark(1989)給出的游輪的模型,為非線性三階微分方程[37].

游輪空載時:

游輪滿載時:

對于大多數(shù)船舶來說,航向角和其速度變化都需保持在一定范圍內(nèi).對于這一假設(shè),轉(zhuǎn)向機的動態(tài)特性由式(68)給出:

式中:TR=156 s,KR=96?.

模型(64)可被改寫為

轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程:

將其進行離散化,得到

?T為采樣時間,T,TR,KR為未知參數(shù).

在船舶滿載的情況下,得到的仿真結(jié)果如圖12?19所示.由圖13?15可知,MMSLA比單個自適應(yīng)模型能更快地收斂.對比圖12與圖16,本文的控制方法所需的控制信號幅值相比于單個模型大大減小了,單模型控制器至少需要35?,而MMSLA僅需要20?.由圖12,16,19可知,兩種控制器在初期存在一定范圍的振蕩,但是MMSLA能更快的穩(wěn)定下來,暫態(tài)誤差更小.

圖12 單模型控制器系統(tǒng)控制信號Fig.12 Input of single model controller

圖13 MMSLA控制器未知參數(shù)1辨識Fig.13 Identification of unknown parameter 1

圖14 MMSLA控制器未知參數(shù)2辨識Fig.14 Identification of unknown parameter 2

圖15 MMSLA控制器未知參數(shù)3辨識Fig.15 Identification of unknown parameter 3

圖16 MMSLA控制器系統(tǒng)控制信號Fig.16 Input signal of MMSLA controller

圖17 單模型控制器系統(tǒng)輸出Fig.17 Output of single model controller

圖18 MMSLA控制器系統(tǒng)輸出Fig.18 Output of MMSLA controller

圖19 跟蹤誤差對比Fig.19 Comparison of tracking error

5 結(jié)論

本文針對一類執(zhí)行器非對稱飽和的非線性離散時間系統(tǒng)設(shè)計了多模型二階段控制器.首先根據(jù)狀態(tài)誤差對參數(shù)進行第1次辨識,在第2階段,基于辨識誤差依指數(shù)收斂的性質(zhì)確定了凸組合系數(shù),將多個模型組合為一個虛擬模型,在保證李雅普諾夫穩(wěn)定的前提下,基于虛擬模型設(shè)計控制器,并證明系統(tǒng)的信號為半全局一致最終有界.最后,仿真研究表明,本文設(shè)計的控制器加快了參數(shù)的收斂,多個模型信息充分利用,改善了系統(tǒng)的暫態(tài)性能.