高相對階連續(xù)時間系統(tǒng)的間接迭代學(xué)習(xí)控制

劉嬌龍 ,李 瑾 ,王 龍 ,薛建平 ,劉 彬

(1.中國人民解放軍66133部隊,北京 100043;2.空軍工程大學(xué)裝備管理與無人機工程學(xué)院,陜西西安 710051;3.空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院,陜西西安 710038)

1 引言

迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control,ILC)能夠顯著提高在有限時間內(nèi)重復(fù)執(zhí)行跟蹤任務(wù)系統(tǒng)的控制精度,受到控制領(lǐng)域?qū)W者們的廣泛關(guān)注[1–5].從Arimoto等人[6]開始,典型的ILC使用系統(tǒng)的歷史數(shù)據(jù)來調(diào)節(jié)當(dāng)前控制輸入,以獲得迭代域上的跟蹤誤差收斂性能[7–8].本質(zhì)上,這種基于歷史數(shù)據(jù)的控制方法對于每一次控制過程來說,屬于一類開環(huán)前饋控制.因此,諸如魯棒性、干擾抑制性等實時性能,并不是ILC的主要目標(biāo),ILC更多關(guān)注跟蹤誤差沿迭代軸的收斂性能,其學(xué)習(xí)之初的跟蹤性能常常被忽略.然而,對于安全性要求較高的系統(tǒng),如在空的飛行器,系統(tǒng)必須在穩(wěn)定的局部控制器下運行,以滿足安全性需要和規(guī)定的飛行品質(zhì)[9],實際中沒有必要也不允許設(shè)計人員對已有的閉環(huán)系統(tǒng)進行更改.因此,使用ILC直接全權(quán)接管飛行器的控制并不可行.

隨著ILC在工程中逐漸應(yīng)用,研究者越來越關(guān)注開發(fā)具有反饋控制和學(xué)習(xí)控制綜合性能的魯棒ILC方法,以同時確保在時域的控制性能和在迭代域的收斂性能.根據(jù)綜述文獻[10]的分類,主要有兩類ILC和傳統(tǒng)控制器的組合方法.一類是直接型ILC[11–14],學(xué)習(xí)控制直接用于決定系統(tǒng)的控制輸入;另一類是間接ILC,系統(tǒng)有基本的反饋控制器,學(xué)習(xí)控制用于更新優(yōu)化局部控制器的參數(shù).

典型的間接ILC可以用于調(diào)節(jié)內(nèi)環(huán)控制器的指令信號,控制增益,權(quán)重以及其他相關(guān)的參數(shù).而對于指令信號間接ILC來說,閉環(huán)系統(tǒng)可以完全保持已有的控制性能而不作改變,ILC通過調(diào)節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)的指令信號來提高跟蹤性能.這類控制方法主要好處在于ILC與內(nèi)環(huán)控制器之間保持級聯(lián)結(jié)構(gòu),這極大方便了ILC在實際應(yīng)用的設(shè)計與加入.指令信號間接ILC有兩個控制回路:一是由傳統(tǒng)的諸如PID、魯棒控制器組成的內(nèi)環(huán)控制,二是外環(huán)用于調(diào)節(jié)內(nèi)環(huán)系統(tǒng)指令信號的ILC回路.由于ILC本質(zhì)上是沿著時間軸和迭代軸的二維(two-dimensional,2?D)系統(tǒng),2?D 控制理論常常被用于構(gòu)建ILC的2?D系統(tǒng)形式,分析ILC的動力學(xué)性能[12,15–16].文獻[17]將PI控制器與間接ILC相組合,閉環(huán)系統(tǒng)被轉(zhuǎn)化為2?D形式,并給出了閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定性的充分條件.文獻[18]針對離散線性系統(tǒng),利用2?D系統(tǒng)理論,提出了基于魯棒PID的指令信號間接ILC.文獻[19]進一步提出了內(nèi)環(huán)反饋控制參數(shù)與外環(huán)ILC學(xué)習(xí)算法的整體優(yōu)化方法,確保了整個控制系統(tǒng)的優(yōu)化性能.

然而,現(xiàn)有間接ILC的研究普遍針對相對階為1的系統(tǒng),如何對在實際中廣泛存在的高相對階系統(tǒng)[16,20–21],構(gòu)建間接ILC的高階2?D系統(tǒng)形式,目前鮮見報道.如何合理設(shè)計高相對階系統(tǒng)間接ILC的局部控制器和外環(huán)學(xué)習(xí)律,使系統(tǒng)兼具魯棒控制性能和學(xué)習(xí)單調(diào)收斂性能,具有較大難度.另外,當(dāng)系統(tǒng)不滿足標(biāo)準(zhǔn)初始條件(identical initial condition,i.i.c.)并受到迭代變化干擾因素影響時,如何分析間接ILC的魯棒性性能,還未有效解決.

本文針對多輸入多輸出線性高相對階受擾系統(tǒng)進行指令信號間接ILC研究.將對期望信號的跟蹤轉(zhuǎn)化為內(nèi)環(huán)指令信號跟蹤和外環(huán)指令信號學(xué)習(xí)調(diào)節(jié)兩個部分.對內(nèi)環(huán)控制器,采用具有極點配置的狀態(tài)反饋魯棒控制器,確保局部控制器對指令信號的跟蹤性能及對擾動信號的抑制性能.ILC用于迭代調(diào)節(jié)外環(huán)指令信號,以使得系統(tǒng)輸出逐漸逼近期望信號.通過引入拉氏變換,建立了高相對階閉環(huán)系統(tǒng)的2?D形式,并利用線性矩陣不等式,分析了ILC的單調(diào)收斂充分條件.最后,研究了在不滿足標(biāo)準(zhǔn)初始條件和具有迭代變化因素影響時控制器的收斂性能.利用空中加油算例對提出的方法進行了驗證.

2 問題描述

考慮在有限時間區(qū)間[0,T]內(nèi)重復(fù)運行的多輸入多輸出線性系統(tǒng):

其中:t為時間,i為迭代次數(shù);xi(t)∈n為系統(tǒng)狀態(tài),ui(t)∈為控制輸入,yi(t)∈為系統(tǒng)輸出,wi(t)∈為時變外部干擾,滿足+1(t)?wi(t)σw<∞;系統(tǒng)矩陣A,B,C和G是適當(dāng)維數(shù)且范數(shù)有界的常矩陣;x0為系統(tǒng)初始狀態(tài).系統(tǒng)(1)相對階為r1,其定義如下[22]:

系統(tǒng)控制目標(biāo)是確定控制律,使得系統(tǒng)輸出yi(t)在外部干擾下能夠盡可能接近期望軌跡yr(t).為了使得閉環(huán)系統(tǒng)在時域具有魯棒穩(wěn)定性,同時能夠在迭代運行過程中不斷學(xué)習(xí)系統(tǒng)中存在的不確定性,改善控制效能,設(shè)計了如圖1所示的間接ILC算法.

圖1 間接ILC算法結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of indirect type ILC

在間接ILC算法中,系統(tǒng)包含兩個環(huán)路,即局部控制器的內(nèi)環(huán)和ILC的外環(huán).系統(tǒng)內(nèi)環(huán)由局部反饋控制器進行控制,以使得系統(tǒng)輸出yi(t)能夠在抑制干擾wi(t)的同時跟蹤指令信號ys,i(t).注意到y(tǒng)s,i(t)是在yr(t)上疊加外環(huán)ILC的調(diào)整信號δys,i(t)所得,即ys,i(t)=yr(t)+δys,i(t).當(dāng)內(nèi)環(huán)局部控制器能夠達到控制需求,就沒有必要使用ILC.此時,可以切斷外環(huán)的ILC控制回路,直接令ys,i(t)=yr(t)作為系統(tǒng)的指令信號.而當(dāng)系統(tǒng)遭遇強烈的外部干擾和不確定性時,其跟蹤性能可能不能夠滿足實際應(yīng)用需要,此時就能將外環(huán)的間接ILC接入控制器,以進一步提高系統(tǒng)跟蹤精度.ILC的加入并不會影響局部控制器的閉環(huán)性能,但可以改善其在進行重復(fù)運動時的跟蹤性能.這種加入方式十分適用于已有局部控制器的迭代運行系統(tǒng),如空中加油的飛行器控制[20].

在間接ILC算法中,定義兩類跟蹤誤差:指令信號跟蹤誤差es,i(t)ys,i(t)?yi(t)和實際輸出跟蹤誤差ei(t)yr(t)?yi(t).es,i(t)用于描述系統(tǒng)內(nèi)環(huán)跟蹤指令信號時的誤差,而ei(t)是系統(tǒng)跟蹤期望信號的誤差,當(dāng)切斷外環(huán)ILC時,有es,i(t)=ei(t).

根據(jù)以上分析,本文提出的控制算法將分為兩步進行研究:內(nèi)環(huán)的反饋控制器和外環(huán)的間接ILC算法.為了便于設(shè)計間接ILC算法,給出以下引理.

引理1(有界實引理[23])給定系統(tǒng)

下面兩個表述等價:1)系統(tǒng)矩陣A是穩(wěn)定的并且zw(s)=(sI ?A)?1B+;2)存在矩陣P >0滿足

其中Tzw(s)是系統(tǒng)中w到z的傳遞函數(shù).

3 基于魯棒H∞控制的內(nèi)環(huán)控制器設(shè)計

對于系統(tǒng)(1)的內(nèi)環(huán)局部控制器,其控制目標(biāo)是使系統(tǒng)的輸出yi(t)跟蹤指令信號ys,i(t),同時能夠有效抑制干擾wi(t).實際上,任何能夠提供期望性能的控制方法,如最優(yōu)控制、極點配置方法等,都能用以設(shè)計局部控制器.本文假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)xi(t)能夠被直接測量,采用狀態(tài)反饋魯棒H∞控制器對內(nèi)環(huán)進行控制.由于局部控制器的設(shè)計并不受系統(tǒng)(1)迭代次數(shù)i的影響,為了簡化表述,在本節(jié)中將進行省略.

引入系統(tǒng)指令信號跟蹤誤差的積分信號η(t)=作為狀態(tài)變量,并定義增廣狀態(tài)xe(t)=[xT(t)ηT(t)]T,可以建立增廣系統(tǒng)為

定義虛擬輸出

其中k0∈是設(shè)定的適當(dāng)?shù)恼?shù).通過在式(7)中引入誤差信號η(t),可以在內(nèi)環(huán)局部控制器中對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差進行抑制.

定義系統(tǒng)增廣狀態(tài)為

內(nèi)環(huán)局部控制器的狀態(tài)反饋控制律設(shè)計如下:

其中K=[KxKp]是m×(n+p)維的反饋增益矩陣.將控制律(9)代入系統(tǒng)(5),可以得到閉環(huán)系統(tǒng)動力學(xué)

其中:Ac=Ae?BeKF,Bc=H?BeKH,Gc=Ge,Cc=Ce.令Ke=KF,則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性由矩陣Ac=Ae?BeKe確定.

為了跟蹤指令信號ys(t),需要設(shè)計反饋增益矩陣K以使得Ac是Hurwitz的.同時為了使得控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定,這里采用H∞性能指標(biāo)

其中γfb為魯棒性能指標(biāo).

因此,控制任務(wù)可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的H∞次優(yōu)化控制問題,并可以通過線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)方法來求解,以使得干擾的傳遞函數(shù)范數(shù)最小化.另外,為了獲得期望的時間響應(yīng)和閉環(huán)阻尼,并避免控制器的過快反映,這里將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到指定區(qū)間.控制結(jié)果總結(jié)于如下定理.

定理1對于受時變外部干擾的系統(tǒng)(1),應(yīng)用反饋控制律(9).如果存在正定矩陣Q>0、矩陣X、正常數(shù)γfb,α1,α2,φ∈[0,π/2],使得下面的LMI成立:

閉環(huán)系統(tǒng)(10)魯棒穩(wěn)定并滿足H∞性能指標(biāo)γfb,同時系統(tǒng)的閉環(huán)極點λk,k∈被配置到指定 的 期 望 區(qū) 間?λ={λk|?α2

證詳見文獻[23]中定理2.2、定理3.1和推論2.3.

注1需要指出,求解LMI(12)時可首先獲得增益Ke=?XQ?1,使得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣Ac=Ae?BeKe是Hurwitz的.在Ke獲得后,可以進一步求取反饋控制律參數(shù)K=KeF?1,得到式(13)所示形式.因此,設(shè)計控制律時可令式(8)F中的k0為正,確保F可逆即可.

4 間接型ILC設(shè)計與收斂性分析

在本節(jié)中,將ILC應(yīng)用于閉環(huán)系統(tǒng)(10),通過迭代調(diào)節(jié)指令信號ys,i(t)來減小跟蹤誤差ei(t).首先,設(shè)計了間接ILC算法,并建立了迭代系統(tǒng)的2?D Roesser模型;然后,給出了學(xué)習(xí)系統(tǒng)單調(diào)收斂條件;最后討論了迭代變化因素及初始條件偏差對系統(tǒng)的影響.

4.1 間接ILC設(shè)計與2?D系統(tǒng)構(gòu)建

設(shè)計更新指令信號δys,i(t)的間接ILC如下:

其中:δys,0(t)=0,Lj為p×p維需要設(shè)計的增益矩陣,為ei(t)的j階導(dǎo)數(shù).

注2由于系統(tǒng)具有高相對階,同時為了使跟蹤誤差在迭代軸上以L2范數(shù)形式單調(diào)收斂,在學(xué)習(xí)律(14)中需要使用e(t)從0至r階的微分信號,這種設(shè)計方法在文獻[16,24]中皆有采用.需要指出的是,由于系統(tǒng)相對階為r,因此系統(tǒng)誤差e(t)的r以下階次導(dǎo)數(shù)一般也具有實際物理含義,在實際執(zhí)行中并不難獲取.

由于系統(tǒng)(1)具有高相對階r,因此傳統(tǒng)的2D系統(tǒng)建立方法[25–26]不能直接適用.為了便于推導(dǎo)學(xué)習(xí)系統(tǒng)的2D形式,本文引入了拉普拉斯變換.對間接ILC(14)進行拉氏變換,可得

根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)(10),系統(tǒng)第i次迭代時的輸出為

其中:Yi(s)=L[yi(t)],ys,i(s)=L[ys,i(t)],Wi(s)=L[wi(t)],T0(s)=Cc(sI ?Ac)?1是系統(tǒng)零輸入響應(yīng)傳遞函數(shù);Tp(s)=Cc(sI ?Ac)?1Bc和Tw(s)=Cc(sI ?Ac)?1Gc分別是閉環(huán)系統(tǒng)指令信號ys,i(s)和外部干擾信號Wi(s)到系統(tǒng)輸出Yi(s)的傳遞函數(shù).

另外,從圖1中的間接ILC的結(jié)構(gòu)可以得知

其中Yr(s)=L[yr(t)].為簡化表述,下文中的s將在不引起歧義的情況下省略.

將相鄰兩次迭代過程中誤差Ei與Ei+1相減,并代入式(15)?(17),可得

因此,從Ei到Ei+1的傳遞函數(shù)為

根據(jù)式(22),可得

考慮式(6)中的Ae,有

注意Ac=Ae?BeKF,結(jié)合式(25)和相對階定義(2)可得

利用式(26)?(27)和相對階定義(2),可以得到以下結(jié)論:

3.切實發(fā)揮好四個作用。黨員領(lǐng)導(dǎo)干部在市場開拓中要發(fā)揮好“管理協(xié)調(diào)”作用，在經(jīng)營創(chuàng)收中要發(fā)揮好“引領(lǐng)激勵”作用，在安全穩(wěn)定中要發(fā)揮好“控制防范”作用，在精細管理中要發(fā)揮好“執(zhí)行表率”作用。切實引導(dǎo)全體干部員工把思想?yún)R聚到打造一流上、智慧集聚到打造一流上、力量凝聚到打造一流上，切實為公司發(fā)展挑重擔(dān)、負責(zé)任，為員工當(dāng)先鋒、作表率。

注意到,式(29)的Te可以認為是如下2–D Roesser 系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù):

其中ξi(t)∈為輔助變量,其具有與文獻[16]相似的形式:

其中?xe,i(t)=xe,i+1(t)?xe,i(t).

4.2 收斂性分析

對于所有ILC算法來說,單調(diào)收斂是能夠確保合理瞬態(tài)響應(yīng)的一種期望收斂形式.為了獲得這種收斂特性,下面將采用文獻[12]和文獻[16]的思想來分析高階閉環(huán)系統(tǒng)(10)的單調(diào)收斂特性,結(jié)論總結(jié)如下.

定理2考慮相對階為r1的閉環(huán)系統(tǒng)(10),在標(biāo)準(zhǔn)初始條件及迭代不變外部干擾假設(shè)下,應(yīng)用ILC控制律(14).如果存在正定矩陣Q>0,0<γ <1和學(xué)習(xí)增益矩陣Lj(j=0,1,…,r),滿足如下LMI:

那么跟蹤誤差ei(t)將以L2范數(shù)形式沿著迭代軸i單調(diào)收斂至0.

注3定理2給出了使誤差ei(t)以L2范數(shù)形式單調(diào)收斂的充分條件,在實際執(zhí)行中,求解LMI(32),即可獲取迭代學(xué)習(xí)控制律的參數(shù)Lj.另外,由下文證明中+1(s)2(s)2可知,學(xué)習(xí)的收斂速度由參數(shù)γ決定.因此,可以通過求解以下γ的最小化問題來增加ILC的收斂速度.

證根據(jù)式(20)可知,Ei+1(s)=Te(s)Ei(s)且

從上式可知,當(dāng)e(s)1 時,有這意味著跟蹤誤差以L2范數(shù)形式單調(diào)收斂.通過應(yīng)用有界實引理(引理1)至2?D系統(tǒng)(30),可以得知e(s)等價于LMI(32)成立.因此,當(dāng)且僅當(dāng)存在0<γ <1使得LMI(32)成立,有e(s)1成立,則學(xué)習(xí)系統(tǒng)單調(diào)收斂. 證畢.

4.3 迭代變化因素下的魯棒性分析

上文考慮了標(biāo)準(zhǔn)初始條件和迭代不變因素下的2?D系統(tǒng)構(gòu)建和單調(diào)收斂性能,然而在系統(tǒng)具有初始狀態(tài)偏差和迭代變化因素時,2?D系統(tǒng)(30)將無法獲得,定理2也不能直接成立.下面,將分析提出的算法在這些因素影響下的魯棒性能.

考慮系統(tǒng)(1)和條件(14)的初始條件如下:

其中σ0與σe為有界常數(shù).

此時,學(xué)習(xí)律(14)的拉氏變換為

根據(jù)式(16)和式(38),有

其中:?fifi+1?fi,f可以表示W(wǎng),x(0)等變量.

利用式(22)與式(28),可以進一步得到

相比式(23),誤差方程(40)多了Tw?W與T0Ei(0)兩項.因此,此時2?D系統(tǒng)無法建立,定理2無法成立.然而,下面將表明,當(dāng)定理2中LMI(32)成立,則ei(t)將以L2范數(shù)收斂至有界區(qū)間.

定理3考慮系統(tǒng)(1),在初始偏差(36)?(37)與迭代變化外部干擾0<σw<∞下,應(yīng)用內(nèi)環(huán)局部控制器(9)與外環(huán)間接ILC(14),如果LMI(32)成立,則跟蹤誤差ei(t)將以L2范數(shù)收斂至有界區(qū)間.

證考慮式(40)的2范數(shù)

從局部控制器的控制目標(biāo)(11)可知wfb.由于+1(t)?wi(t)σw,因此有

由系統(tǒng)(1)可知,c有界,因此上式中ε1有界.

利用式(36)與式(37)初始條件,可以得到

由式(45)可知

因為ε有界,0<γ <1,因此ε/(1?γ)有界.所以,ei(t)以L2范數(shù)收斂至有界區(qū)間. 證畢.

注4從定理3可知,提出的間接ILC算法在有界初始狀態(tài)偏差和迭代變化干擾下,仍然能夠單調(diào)收斂至有界區(qū)間,表現(xiàn)出較好的魯棒性能.由于收斂界限ε/(1?γ)=(γfbσw+ε1ε2)/(1?γ)=γfb(σw+ε2/c||∞)/(1?γ),可以減小式(11)中的γfb和LMI(32)中的γ來減小跟蹤誤差收斂界限.

5 空中加油對接控制仿真分析

考慮BANTAM受油機空中加油對接控制任務(wù)[27].加油機與受油機在h=5000 ft高度以v=500 ft/s的速度按照編隊等速等向定直平飛,兩者保持相對靜止.在加油過程中,加油機保持速度不變,受油機在編隊飛行基礎(chǔ)上進行機動,改變兩者相對位置,從而完成對接加油.由于整個過程受油機是在系統(tǒng)平衡點附近做適量位移變化,其運動滿足小擾動線性化模型.因此,空中加油對接控制,可以轉(zhuǎn)化為對受油機小擾動線性模型的軌跡跟蹤控制.

受油機模型中狀態(tài)矩陣與輸入矩陣詳見文獻[27],本文選取系統(tǒng)輸出為受油機在縱向、垂直、橫向3個方向上的位移量[l,h,y],并令受油機外界干擾輸入矩陣為

在模擬受油機受到加油機后尾流干擾時,為了同時模擬尾流中體現(xiàn)主要規(guī)律的迭代不變部分和隨迭代次數(shù)變化的擾動部分,給定干擾信號為

rand為0?1的隨機函數(shù).考慮到每次加油開始時,受油機在出發(fā)點處與加油機之間相對位置有一定變化,這里假設(shè)受油機出發(fā)位置滿足

其中CB=1 m.

受油機剛開始與加油機編隊飛行,處于加油機右后方位置.為了到達加油對接點,需要進行一系列機動,設(shè)定受油機期望機動軌跡如圖2所示.受油機從編隊位置出發(fā),先向后下機動,然后橫向移動,再前進到達對接點,對接時間t=34 s,因此,每次迭代時間區(qū)間固定為[0,34]s.

圖2 期望三維軌跡Fig.2 The desired three dimensional trajectory

為了實現(xiàn)上述軌跡跟蹤任務(wù),仿真中首先采用文中定理1描述的魯棒控制方法,驗證其作為系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)控制器時的軌跡跟蹤效果.在此基礎(chǔ)上,為進一步提高受油機軌跡跟蹤精度,采用定理2和定理3描述的迭代學(xué)習(xí)控制方法,不斷改善系統(tǒng)應(yīng)對外界干擾的能力,提升其軌跡跟蹤性能.

令式(7)中k0=2,令定理1 中的α1=2,α2=5,?=π/4.通過求解LMI(12),得到相應(yīng)增益矩陣,應(yīng)用于系統(tǒng)得到軌跡跟蹤效果如圖3所示.從圖3可以看到,在魯棒控制器作用下,受油機能夠較好的抑制外部干擾影響,基本跟蹤上期望軌跡.在縱向x軸與豎向z軸上,受油機受到的干擾影響較大,在橫向上有較好的跟蹤性能.在對接點t=34 s處,受油機離指定對接點誤差為e=0.503 m.根據(jù)文獻[28]中的捕獲條件e0.4 m可知,在對接位置受油機離期望對接點誤差大于對接捕獲條件,第1次空中加油對接失敗.

圖3 第1次對接過程期望軌跡與實際軌跡Fig.3 The desired trajectory and tracking trajectory at the first iteration

為了提高軌跡跟蹤效果,應(yīng)用定理2和定理3,求解LMI(32),同時使γ最小化,獲得學(xué)習(xí)增益系數(shù)矩陣并應(yīng)用于中空中加油對接迭代學(xué)習(xí)過程,仿真結(jié)果如圖4?6所示.圖4給出了學(xué)習(xí)20次后的跟蹤過程期望軌跡與實際軌跡的對比圖.從圖中可以看出,受油機很好的克服了初始時刻偏差和迭代變化外部干擾帶來的影響,能夠迅速跟蹤上期望軌跡,并在整個軌跡實現(xiàn)完全跟蹤.圖5和圖6給出了跟蹤誤差隨迭代次數(shù)收斂特性.從圖5可見,2隨迭代次數(shù)增加收斂至有界區(qū)間.這說明系統(tǒng)在不滿足i.i.c.或受到迭代變化因素影響時,不能實現(xiàn)定理2描述的收斂至0的效果,但可以實現(xiàn)定理3描述的收斂至有界區(qū)間的效果.而從圖6可見,對接點誤差隨著迭代次數(shù)增加迅速減小,獲得了較好的收斂效果.需要指出的是,雖然仿真進行了20次學(xué)習(xí),但受油機在第2次執(zhí)行過程中,對接點的跟蹤誤差e=0.288 m<0.4 m,就已達到對接捕獲條件,成功實現(xiàn)對接.此后,隨著迭代次數(shù)增加,對接點跟蹤誤差進一步減小.

圖4 第20次對接過程期望軌跡與實際軌跡Fig.4 The desired trajectory and tracking trajectory at the 20th iteration

圖5 e2隨迭代次數(shù)收斂特性Fig.5 The convergence performance of e2 versus iterations

圖6 對接點的跟蹤誤差隨迭代次數(shù)收斂特性Fig.6 The convergence performance of docking point tracking error versus iterations

6 結(jié)論

本文提出了一種基于魯棒控制與2?D理論的間接ILC方法.這種方法能夠在已有控制器基礎(chǔ)上設(shè)計ILC,使系統(tǒng)同時保持原有局部控制器性能以及迭代學(xué)習(xí)提升性能的優(yōu)勢.用魯棒控制器設(shè)計了局部控制器,用拉普拉斯變換建立了學(xué)習(xí)系統(tǒng)2?D形式,進而研究了閉環(huán)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)收斂性問題,算法魯棒性問題.通過空中加油對接控制算例,驗證了算法的有效性.